關于恒成立問題的求解策略

謝曉強

2013年的高考已然結束，但余熱尚存，它留給我們的不僅僅是過去，更是給我們2014年的高考提供了復習的方向和思考的空間.回顧2013年的高考，在眾多省市的考卷當中，我們依然可以發(fā)現與“f（x）>g（x）”這類題目相關的存在性和恒成立問題，這類題目在考查的知識點上都圍繞著函數的單調性、極值和最值問題展開，結合眾多數學思想方法，在考查內容方面向縱向深入，而在知識的結構方面向橫向擴展，綜合考查了學生解決和分析問題的能力.這類題目由于在題面上包含了諸如lnx，sinx，cosx……混合形式以及字母參數，難度陡增，思維量增大.那么如何迅速尋找這類問題的突破口，從而給學生提供行之有效的解決辦法是我們復習備考的主要內容之一.

一、掌握通法

所謂通法是指學生容易想到的，使用頻率較高的，應用范圍較廣的一類典型方法.這類方法由于入口容易，過程便于操作而為學生首選.大體上有兩種：一種是將f（x）>g（x）轉化為h（x）=f（x）-g（x），即求h（x）min>0；而另一種是大家熟悉的“參變量分離”.

【例1】（2013全國新課標卷Ⅱ，理，21）已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調區(qū)間；

（2）當m≤2時，證明：f（x）>0.

解析：（1）略.

（2）（利用參變量分離）

∵f（x）=ex-ln（x+m）>0，

∴m

令h（x）=eex-x（x>-m），

∵h′（x）=eex·ex-1.

若h′（x）=0，解得ex0=-x0.

如圖所示.

①當x0≤-m時，

∴h′（x）≥0，

∴h（x）在（x0，+∞）單調遞增，

h（x）>h（-m）=ee-m+m≥eex0+x0=e-x0+ex0≥2（“=”不能同時取到）.

②當x0>-m時，h（x）在（-m，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，

∴h（x）≥h（x0）=eex0-x0=e-x0+ex0≥2（“=”不能同時取到）.

綜上所述，m≤2.

二、熟記結論

在導數學習的這一部分內容當中，有許多被我們熟悉的而且是比較重要的“基本不等式”，這些不等式不僅結構形式簡潔，兼有數形結合的特點，而且含有高等數學的知識背景.有些考題正是對這些“高等知識”進行了巧妙地包裝和改造，這些含有高等數學知識背景的不等關系，若能對它們進行合理地運用，將會在解題的道路上為我們提供有力的支撐.

【例2】（同例1）

解析：由于ex≥x+1，

且由x-1≥lnx可得x+1≥ln（x+2），

∴ex≥x+1≥ln（x+2）（“=”不能同時取到）.

∴當m≤2時，ln（x+m）≤ln（x+2）

由此可以看出該解題過程的高效和簡潔，常見的重要不等式及其轉化如下：

在上述關系中，如果對x賦予不同的值或代數式，便會得到其他有用的不等關系：如令x=11n，則會得到ln（1+11n）≤11n及e≥（1+11n）n等.這種代換的技巧在解數列不等式中發(fā)揮著重要的作用.

另外，在2013年的遼寧卷壓軸題所給出的參考解答中還用到了諸如“1-112x2≤cosx≤1-114x2，x∈（0，1）”這樣的不等式.那么我們是否應該在復習的過程中有意識地去歸納和整理這些“基本不等式”呢？

三.合理分拆

整體和局部是同一事物的兩個方面.有些數學問題，如果單純從整體的角度去處理難以解決時，就必須先研究問題的某一部分，對問題進行局部的處理.而局部的調整正是局部處理的一個方面，它能夠重新調整原來的題面結構，使得這種結構更加清楚和有序，從而使得解題思路豁然開朗.因此，在上述方法難以奏效的情況下，有必要對原來的式子進行合理分拆和重新組合.

【例3】已知f（x）=1+x1a（1-x）lnx，求證：對x∈（0，1），恒有f（x）<-2.

解析：將f（x）<-2轉化為-2a>1+x11-xlnx或11a>2（x-1）1（x+1）lnx，求右側的最值較難，因此可考慮將原式轉化為lnx+2a（1-x）11+x<0.

∵x∈（0，1），

∴當a<0時不合題意，舍去.

當a>0時，

令g（x）=lnx+2a（1-x）11+x，

則g′（x）=x2+（2-4a）x+11x（1+x）2.

令g′（x）=0.

當Δ≤0時，0

g（x）在（0，1）遞增，

∴g（x）>g（1）=0.

當Δ>0，即a>1時，

∵兩根x1，x2滿足x1x2=1，故y=g（x）在（0，x1）遞增，（x1，1）遞減.

∴x∈（x1，1），g（x）>g（1）=0，矛盾，舍去.

合理分拆有別于通法h（x）=f（x）-g（x）>0，它是在原有的基礎上進行改造和加工，將原來混亂的形式結構進行調配，從而使知識的運用更加合理簡便.特別是在含有指數、對數、三角等式子的函數當中，將它們分離出來是不錯的選擇和突破.

四、巧用放縮

放縮是一種解題的技巧，更是一種解題的能力.通過放縮它可以跳過紛繁復雜的運算，回避一些由于字母帶來的過多討論，舍棄一些常規(guī)套路的構造思想，在解題中是一種大膽的創(chuàng)新.借助于放縮達到合理的轉換，能夠將題面所掩蓋的信息更直接地表現出來，同時也更能深入地暴露題目的本質.

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）a=1，k∈Z且當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）當a=1時，原式化簡為（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同時取到）.

若k≥3，則（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又當x=1時，右式=4-2e<0，與x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

該題在文獻[3]的參考解答中給出的評價是：“本題考查了邏輯推理能力和運算能力以及轉化意識，難度很大”.但從上述分析過程中我們看到，通過放縮來確定k的大致范圍，再通過反例驗證確定k的取值，可以大大縮短解題步驟.當然放縮手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通過式子的添項和舍項等來進行，還可以通過取特殊值來縮小參數字母的范圍等，需要注意的是放縮要合理恰當.

以上我們談了四個方面的解題策略，當然策略也不僅僅是上述幾個，諸如還有極端化思考：將原題轉化為f（x）min>g（x）max，分別求兩個函數的最值等.這在處理有些題目中也是可行的.策略只是一種解題的方向且不是孤立的.它需要我們在解題過程中不斷調整自己的思維，優(yōu)化自己的知識結構，提升自己的解題能力.波利亞說過，一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平.

參考文獻

[1]吳成強.例談一種分離函數技巧的應用[J].中學數學教學參考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2012.

[4]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

（責任編輯金鈴）

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）a=1，k∈Z且當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）當a=1時，原式化簡為（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同時取到）.

若k≥3，則（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又當x=1時，右式=4-2e<0，與x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

該題在文獻[3]的參考解答中給出的評價是：“本題考查了邏輯推理能力和運算能力以及轉化意識，難度很大”.但從上述分析過程中我們看到，通過放縮來確定k的大致范圍，再通過反例驗證確定k的取值，可以大大縮短解題步驟.當然放縮手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通過式子的添項和舍項等來進行，還可以通過取特殊值來縮小參數字母的范圍等，需要注意的是放縮要合理恰當.

以上我們談了四個方面的解題策略，當然策略也不僅僅是上述幾個，諸如還有極端化思考：將原題轉化為f（x）min>g（x）max，分別求兩個函數的最值等.這在處理有些題目中也是可行的.策略只是一種解題的方向且不是孤立的.它需要我們在解題過程中不斷調整自己的思維，優(yōu)化自己的知識結構，提升自己的解題能力.波利亞說過，一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平.

參考文獻

[1]吳成強.例談一種分離函數技巧的應用[J].中學數學教學參考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2012.

[4]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

（責任編輯金鈴）

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）a=1，k∈Z且當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）當a=1時，原式化簡為（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同時取到）.

若k≥3，則（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又當x=1時，右式=4-2e<0，與x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

該題在文獻[3]的參考解答中給出的評價是：“本題考查了邏輯推理能力和運算能力以及轉化意識，難度很大”.但從上述分析過程中我們看到，通過放縮來確定k的大致范圍，再通過反例驗證確定k的取值，可以大大縮短解題步驟.當然放縮手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通過式子的添項和舍項等來進行，還可以通過取特殊值來縮小參數字母的范圍等，需要注意的是放縮要合理恰當.

以上我們談了四個方面的解題策略，當然策略也不僅僅是上述幾個，諸如還有極端化思考：將原題轉化為f（x）min>g（x）max，分別求兩個函數的最值等.這在處理有些題目中也是可行的.策略只是一種解題的方向且不是孤立的.它需要我們在解題過程中不斷調整自己的思維，優(yōu)化自己的知識結構，提升自己的解題能力.波利亞說過，一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平.

參考文獻

[1]吳成強.例談一種分離函數技巧的應用[J].中學數學教學參考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2012.

[4]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

（責任編輯金鈴）