兩種圖像在摩擦力教學中的應用

黎中明

摩擦力是物理教學中的重點與難點，不少高三學生對運動過程分析處理能力較差，究其原因，摩擦力分析不當是其中之一。一方面是學生無法判斷其屬于靜摩擦力還是滑動摩擦力，另一方面是無法確定摩擦力的方向。教師可在教學過程中用f-t圖像結合v-t圖像，把更多的抽象思維轉化為形象思維，培養學生用圖像分析問題的能力，這樣不僅能幫助學生分析、理解問題，也能展示學生的思維過程，有助于教師進行針對性的教學。

一、水平面上的問題分析

【例1】（2013·安徽）一物體放在水平地面上，如圖1所示，已知物體所受水平拉力F隨時間t的變化情況如圖2所示，物體相應的速度v隨時間t的變化關系如圖3所示。求：

（1）0～8s時間內拉力的沖量；

（2）0～6s時間內物體的位移；

（3）0～10s時間內，物體克服摩擦力所做的功。

解析：本題雖考查的知識面較廣，但相對比較基礎，也是進行摩擦力教學的典型題，此時涉及靜摩擦力、滑動摩擦力，對方向要求相對較低。

圖4由圖3分析可以得出，0～2s物體處于靜止狀態，2～6s內物體處于勻加速直線運動狀態，6～8s內物體處于勻速直線運動狀態，8～10s內物體處于勻減速直線運動狀態。比較分析得出0～2s時間段內，摩擦力屬于靜摩擦力，方向與拉力F方向相反，大小與F相同，2～10s屬于滑動摩擦力，方向與相對運動方向相反，大小結合圖2可知為2N，即如圖4所示。

通過圖示，學生能較直觀地分析出物體各階段所受合外力情況，問題（3）也就能更直觀地得以解答：

W=-fs=-112×[（8-6）+（10-2）]×3×（10-8）=-30（J）。

圖5【例2】（2013·全國Ⅱ）一長木板在水平地面上運動，在t=0時刻將一相對于地面靜止的物塊輕放到木板上，以后木板運動的速度-時間圖像如圖5所示。已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦。物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物塊與木板間，木板與地面間的動摩擦因數。

（2）從t=0時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移大小。

圖6解析：（1）由題意結合木板速度與時間圖像可以得出，木板受木塊與地面所給的兩個摩擦力，且兩者均為滑動摩擦力，即可以得出：

木塊對木板的摩擦力：f1=μ1mg

地面對木板的摩擦力：f2=μ2mg（關鍵是分析正壓力的大小）

在0.5s內，在兩個力的作用下木板做勻減速直線運動，能得出：

a1=5-110.5=8（m/s2），a2=110.5=2（m/s2）（假設a1、a2分別表示木板與木塊前0.5s內兩者的加速度大小）

如果用m表示兩者各自的質量，不難分析出：

μ1=0.2，μ2=0.3

圖7問題2的關鍵是木塊與木板到底如何運動，為此，需要考慮摩擦力是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，如果是靜摩擦力則有兩者相對靜止，則兩物體成為整體，反之則有相對運動。

從簡單入手先考慮兩者相對靜止（a′1=a′2），則整體摩擦力所產生加速度a′1=μ2g。

f=μ1mg=ma′1比較分析得知，兩者存在著相對運動。

由此可得f-t圖像如圖7所示。

圖8由上圖可得f1只是改變了方向，大小未變，即v-t圖像中木塊速度以0.5為分界線左右對稱。這樣一來

v=1m/s=a′2t=f2-f11mt，則t=0.25s

即木板停下來時為T=0.75s，如圖8所示。

兩者的位移差，即木板的位移減去木塊的位移。得出答案為1.125m。

點評：本例問題（1）相對較為簡單，學生在分析摩擦力時也較為方便，但問題（2）對摩擦力的分析往往不知如何下手，通過f-t圖像的分析，使學生積極主動地分析它的大小與方向，一旦展示，學生就把思維的過程用圖像表達，自我分析、自我檢查過程也隨之而來，建模過程也正式成功，問題（2）的v-t圖像也水到渠成，學生對摩擦力與整個過程的理解也更為深刻。

二、斜面上的問題分析

圖9【例3】長直木板的上表面的一端放置一個鐵塊，木板放置在水平面上，將放置鐵塊的一端由水平位置緩慢地向上抬起，木板另一端相對水平面的位置保持不變，如圖9所示。鐵塊受到的摩擦力f隨木板傾角α變化的圖線可能正確的是圖10中的（設最大靜摩擦力的大小等于滑動摩擦力大小）（）。

圖10圖11解析：本題首先要考慮的是靜摩擦力，還是滑動摩擦力。當傾角α比較小時，mgsinθ小于μmgcosθ，故有f=mgsinθ，隨著夾角增大，mgsinθ大于μmgcosθ，產生滑動摩擦力，即此時f=μmgcosθ，也就是說前半段是正弦圖像，后半部分是余弦圖像，但方向一直不變，如圖11，故答案為C。v-t圖像上，速度不斷增加，鐵塊做變速直線運動。

點評：滑動摩擦力在斜面上時對F、N的分析，要求比較高，尤其是多物體時，要明確研究對象，用圖像分析時多融合數學知識。

三、傳送帶上物體的分析

【例4】如圖12所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A→B長度為16m，傳送帶以10m/s的速率轉動。在傳送帶上端A無初速度地放上一個質量為0.5kg的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5，求物體從A運動到B所需時間。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

圖12解析：（1）若傳送帶逆時針轉動，沿傳送帶向下方向為正方向，則物體放到傳送帶上后，開始的階段，由于傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿傳送帶向下的滑動摩擦力，滑動摩擦力作為動力之一，大小為μmgcosθ，之后速度不斷增大。當物體速度大于傳送帶速度時，摩擦力方向改變，如果μmgcosθ

圖13圖14

其中，t1代表與傳送帶具有相同速度的時刻，t2代表到達B點的時刻，這樣問題的分析已經比較明確了，關鍵是求解兩段的加速度，而關聯因素是傳送帶的速度。

第一段：mgsinθ+μmgcosθ=ma1

a1=10×（0.6+0.5×0.8）m/s2=10m/s2

v=a1t1t1=10/10=1（s）

s1=112a1t1=5（m）

第二段：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，a2=2m/s2

s2=16-s1=v1（t2-t1）+112a2（t2-t1）2

t2=2（s）

故從A到B物體運動了2s。

（2）若傳送帶順時針方向轉動，摩擦力向上方向，則必然需μ

摩擦力是物理教學中的重點與難點，不少高三學生對運動過程分析處理能力較差，究其原因，摩擦力分析不當是其中之一。一方面是學生無法判斷其屬于靜摩擦力還是滑動摩擦力，另一方面是無法確定摩擦力的方向。教師可在教學過程中用f-t圖像結合v-t圖像，把更多的抽象思維轉化為形象思維，培養學生用圖像分析問題的能力，這樣不僅能幫助學生分析、理解問題，也能展示學生的思維過程，有助于教師進行針對性的教學。

一、水平面上的問題分析

【例1】（2013·安徽）一物體放在水平地面上，如圖1所示，已知物體所受水平拉力F隨時間t的變化情況如圖2所示，物體相應的速度v隨時間t的變化關系如圖3所示。求：

（1）0～8s時間內拉力的沖量；

（2）0～6s時間內物體的位移；

（3）0～10s時間內，物體克服摩擦力所做的功。

解析：本題雖考查的知識面較廣，但相對比較基礎，也是進行摩擦力教學的典型題，此時涉及靜摩擦力、滑動摩擦力，對方向要求相對較低。

圖4由圖3分析可以得出，0～2s物體處于靜止狀態，2～6s內物體處于勻加速直線運動狀態，6～8s內物體處于勻速直線運動狀態，8～10s內物體處于勻減速直線運動狀態。比較分析得出0～2s時間段內，摩擦力屬于靜摩擦力，方向與拉力F方向相反，大小與F相同，2～10s屬于滑動摩擦力，方向與相對運動方向相反，大小結合圖2可知為2N，即如圖4所示。

通過圖示，學生能較直觀地分析出物體各階段所受合外力情況，問題（3）也就能更直觀地得以解答：

W=-fs=-112×[（8-6）+（10-2）]×3×（10-8）=-30（J）。

圖5【例2】（2013·全國Ⅱ）一長木板在水平地面上運動，在t=0時刻將一相對于地面靜止的物塊輕放到木板上，以后木板運動的速度-時間圖像如圖5所示。已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦。物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物塊與木板間，木板與地面間的動摩擦因數。

（2）從t=0時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移大小。

圖6解析：（1）由題意結合木板速度與時間圖像可以得出，木板受木塊與地面所給的兩個摩擦力，且兩者均為滑動摩擦力，即可以得出：

木塊對木板的摩擦力：f1=μ1mg

地面對木板的摩擦力：f2=μ2mg（關鍵是分析正壓力的大小）

在0.5s內，在兩個力的作用下木板做勻減速直線運動，能得出：

a1=5-110.5=8（m/s2），a2=110.5=2（m/s2）（假設a1、a2分別表示木板與木塊前0.5s內兩者的加速度大小）

如果用m表示兩者各自的質量，不難分析出：

μ1=0.2，μ2=0.3

圖7問題2的關鍵是木塊與木板到底如何運動，為此，需要考慮摩擦力是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，如果是靜摩擦力則有兩者相對靜止，則兩物體成為整體，反之則有相對運動。

從簡單入手先考慮兩者相對靜止（a′1=a′2），則整體摩擦力所產生加速度a′1=μ2g。

f=μ1mg=ma′1比較分析得知，兩者存在著相對運動。

由此可得f-t圖像如圖7所示。

圖8由上圖可得f1只是改變了方向，大小未變，即v-t圖像中木塊速度以0.5為分界線左右對稱。這樣一來

v=1m/s=a′2t=f2-f11mt，則t=0.25s

即木板停下來時為T=0.75s，如圖8所示。

兩者的位移差，即木板的位移減去木塊的位移。得出答案為1.125m。

點評：本例問題（1）相對較為簡單，學生在分析摩擦力時也較為方便，但問題（2）對摩擦力的分析往往不知如何下手，通過f-t圖像的分析，使學生積極主動地分析它的大小與方向，一旦展示，學生就把思維的過程用圖像表達，自我分析、自我檢查過程也隨之而來，建模過程也正式成功，問題（2）的v-t圖像也水到渠成，學生對摩擦力與整個過程的理解也更為深刻。

二、斜面上的問題分析

圖9【例3】長直木板的上表面的一端放置一個鐵塊，木板放置在水平面上，將放置鐵塊的一端由水平位置緩慢地向上抬起，木板另一端相對水平面的位置保持不變，如圖9所示。鐵塊受到的摩擦力f隨木板傾角α變化的圖線可能正確的是圖10中的（設最大靜摩擦力的大小等于滑動摩擦力大小）（）。

圖10圖11解析：本題首先要考慮的是靜摩擦力，還是滑動摩擦力。當傾角α比較小時，mgsinθ小于μmgcosθ，故有f=mgsinθ，隨著夾角增大，mgsinθ大于μmgcosθ，產生滑動摩擦力，即此時f=μmgcosθ，也就是說前半段是正弦圖像，后半部分是余弦圖像，但方向一直不變，如圖11，故答案為C。v-t圖像上，速度不斷增加，鐵塊做變速直線運動。

點評：滑動摩擦力在斜面上時對F、N的分析，要求比較高，尤其是多物體時，要明確研究對象，用圖像分析時多融合數學知識。

三、傳送帶上物體的分析

【例4】如圖12所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A→B長度為16m，傳送帶以10m/s的速率轉動。在傳送帶上端A無初速度地放上一個質量為0.5kg的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5，求物體從A運動到B所需時間。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

圖12解析：（1）若傳送帶逆時針轉動，沿傳送帶向下方向為正方向，則物體放到傳送帶上后，開始的階段，由于傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿傳送帶向下的滑動摩擦力，滑動摩擦力作為動力之一，大小為μmgcosθ，之后速度不斷增大。當物體速度大于傳送帶速度時，摩擦力方向改變，如果μmgcosθ

圖13圖14

其中，t1代表與傳送帶具有相同速度的時刻，t2代表到達B點的時刻，這樣問題的分析已經比較明確了，關鍵是求解兩段的加速度，而關聯因素是傳送帶的速度。

第一段：mgsinθ+μmgcosθ=ma1

a1=10×（0.6+0.5×0.8）m/s2=10m/s2

v=a1t1t1=10/10=1（s）

s1=112a1t1=5（m）

第二段：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，a2=2m/s2

s2=16-s1=v1（t2-t1）+112a2（t2-t1）2

t2=2（s）

故從A到B物體運動了2s。

（2）若傳送帶順時針方向轉動，摩擦力向上方向，則必然需μ

摩擦力是物理教學中的重點與難點，不少高三學生對運動過程分析處理能力較差，究其原因，摩擦力分析不當是其中之一。一方面是學生無法判斷其屬于靜摩擦力還是滑動摩擦力，另一方面是無法確定摩擦力的方向。教師可在教學過程中用f-t圖像結合v-t圖像，把更多的抽象思維轉化為形象思維，培養學生用圖像分析問題的能力，這樣不僅能幫助學生分析、理解問題，也能展示學生的思維過程，有助于教師進行針對性的教學。

一、水平面上的問題分析

【例1】（2013·安徽）一物體放在水平地面上，如圖1所示，已知物體所受水平拉力F隨時間t的變化情況如圖2所示，物體相應的速度v隨時間t的變化關系如圖3所示。求：

（1）0～8s時間內拉力的沖量；

（2）0～6s時間內物體的位移；

（3）0～10s時間內，物體克服摩擦力所做的功。

解析：本題雖考查的知識面較廣，但相對比較基礎，也是進行摩擦力教學的典型題，此時涉及靜摩擦力、滑動摩擦力，對方向要求相對較低。

圖4由圖3分析可以得出，0～2s物體處于靜止狀態，2～6s內物體處于勻加速直線運動狀態，6～8s內物體處于勻速直線運動狀態，8～10s內物體處于勻減速直線運動狀態。比較分析得出0～2s時間段內，摩擦力屬于靜摩擦力，方向與拉力F方向相反，大小與F相同，2～10s屬于滑動摩擦力，方向與相對運動方向相反，大小結合圖2可知為2N，即如圖4所示。

通過圖示，學生能較直觀地分析出物體各階段所受合外力情況，問題（3）也就能更直觀地得以解答：

W=-fs=-112×[（8-6）+（10-2）]×3×（10-8）=-30（J）。

圖5【例2】（2013·全國Ⅱ）一長木板在水平地面上運動，在t=0時刻將一相對于地面靜止的物塊輕放到木板上，以后木板運動的速度-時間圖像如圖5所示。已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦。物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度的大小g=10m/s2求：

（1）物塊與木板間，木板與地面間的動摩擦因數。

（2）從t=0時刻到物塊與木板均停止運動時，物塊相對于木板的位移大小。

圖6解析：（1）由題意結合木板速度與時間圖像可以得出，木板受木塊與地面所給的兩個摩擦力，且兩者均為滑動摩擦力，即可以得出：

木塊對木板的摩擦力：f1=μ1mg

地面對木板的摩擦力：f2=μ2mg（關鍵是分析正壓力的大小）

在0.5s內，在兩個力的作用下木板做勻減速直線運動，能得出：

a1=5-110.5=8（m/s2），a2=110.5=2（m/s2）（假設a1、a2分別表示木板與木塊前0.5s內兩者的加速度大小）

如果用m表示兩者各自的質量，不難分析出：

μ1=0.2，μ2=0.3

圖7問題2的關鍵是木塊與木板到底如何運動，為此，需要考慮摩擦力是靜摩擦力，還是滑動摩擦力，如果是靜摩擦力則有兩者相對靜止，則兩物體成為整體，反之則有相對運動。

從簡單入手先考慮兩者相對靜止（a′1=a′2），則整體摩擦力所產生加速度a′1=μ2g。

f=μ1mg=ma′1比較分析得知，兩者存在著相對運動。

由此可得f-t圖像如圖7所示。

圖8由上圖可得f1只是改變了方向，大小未變，即v-t圖像中木塊速度以0.5為分界線左右對稱。這樣一來

v=1m/s=a′2t=f2-f11mt，則t=0.25s

即木板停下來時為T=0.75s，如圖8所示。

兩者的位移差，即木板的位移減去木塊的位移。得出答案為1.125m。

點評：本例問題（1）相對較為簡單，學生在分析摩擦力時也較為方便，但問題（2）對摩擦力的分析往往不知如何下手，通過f-t圖像的分析，使學生積極主動地分析它的大小與方向，一旦展示，學生就把思維的過程用圖像表達，自我分析、自我檢查過程也隨之而來，建模過程也正式成功，問題（2）的v-t圖像也水到渠成，學生對摩擦力與整個過程的理解也更為深刻。

二、斜面上的問題分析

圖9【例3】長直木板的上表面的一端放置一個鐵塊，木板放置在水平面上，將放置鐵塊的一端由水平位置緩慢地向上抬起，木板另一端相對水平面的位置保持不變，如圖9所示。鐵塊受到的摩擦力f隨木板傾角α變化的圖線可能正確的是圖10中的（設最大靜摩擦力的大小等于滑動摩擦力大小）（）。

圖10圖11解析：本題首先要考慮的是靜摩擦力，還是滑動摩擦力。當傾角α比較小時，mgsinθ小于μmgcosθ，故有f=mgsinθ，隨著夾角增大，mgsinθ大于μmgcosθ，產生滑動摩擦力，即此時f=μmgcosθ，也就是說前半段是正弦圖像，后半部分是余弦圖像，但方向一直不變，如圖11，故答案為C。v-t圖像上，速度不斷增加，鐵塊做變速直線運動。

點評：滑動摩擦力在斜面上時對F、N的分析，要求比較高，尤其是多物體時，要明確研究對象，用圖像分析時多融合數學知識。

三、傳送帶上物體的分析

【例4】如圖12所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，從A→B長度為16m，傳送帶以10m/s的速率轉動。在傳送帶上端A無初速度地放上一個質量為0.5kg的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5，求物體從A運動到B所需時間。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

圖12解析：（1）若傳送帶逆時針轉動，沿傳送帶向下方向為正方向，則物體放到傳送帶上后，開始的階段，由于傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿傳送帶向下的滑動摩擦力，滑動摩擦力作為動力之一，大小為μmgcosθ，之后速度不斷增大。當物體速度大于傳送帶速度時，摩擦力方向改變，如果μmgcosθ

圖13圖14

其中，t1代表與傳送帶具有相同速度的時刻，t2代表到達B點的時刻，這樣問題的分析已經比較明確了，關鍵是求解兩段的加速度，而關聯因素是傳送帶的速度。

第一段：mgsinθ+μmgcosθ=ma1

a1=10×（0.6+0.5×0.8）m/s2=10m/s2

v=a1t1t1=10/10=1（s）

s1=112a1t1=5（m）

第二段：mgsinθ-μmgcosθ=ma2，a2=2m/s2

s2=16-s1=v1（t2-t1）+112a2（t2-t1）2

t2=2（s）

故從A到B物體運動了2s。

（2）若傳送帶順時針方向轉動，摩擦力向上方向，則必然需μ