二次函數圖象在解題中的應用

劉曉輝

二次函數是一種重要的函數，它有很多重要的性質，其中對稱性和根的存在性就是其中的兩個重要的性質.本文基于這兩個重要的性質得出兩個推論，旨在拋磚引玉，引起大家對二次函數圖象的探究.

一、基本理論1

根據對稱性知二次函數f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a<0時，若|t1-x0|>|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|<|-1-213|.

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續函數，且f（a）·f（b）<0，則必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續，由基本理論2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函數圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數型的函數的值域

【例5】求函數y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關于t的二次函數，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關于t的二次函數，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

∴函數y=3cos2x-4cosx+1的值域為[-113，8].

評析：對于定義域不全為全體實數集的二次函數，若用配方法求值域，尚需分類討論，顯然不如用圖象來得簡便.

（責任編輯金鈴）

二次函數是一種重要的函數，它有很多重要的性質，其中對稱性和根的存在性就是其中的兩個重要的性質.本文基于這兩個重要的性質得出兩個推論，旨在拋磚引玉，引起大家對二次函數圖象的探究.

一、基本理論1

根據對稱性知二次函數f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a<0時，若|t1-x0|>|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|<|-1-213|.

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續函數，且f（a）·f（b）<0，則必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續，由基本理論2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函數圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數型的函數的值域

【例5】求函數y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關于t的二次函數，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關于t的二次函數，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

∴函數y=3cos2x-4cosx+1的值域為[-113，8].

評析：對于定義域不全為全體實數集的二次函數，若用配方法求值域，尚需分類討論，顯然不如用圖象來得簡便.

（責任編輯金鈴）

二次函數是一種重要的函數，它有很多重要的性質，其中對稱性和根的存在性就是其中的兩個重要的性質.本文基于這兩個重要的性質得出兩個推論，旨在拋磚引玉，引起大家對二次函數圖象的探究.

一、基本理論1

根據對稱性知二次函數f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則f（x0-t）=f（x0+t）（其中t為常數）.

推論：對于f（x）=ax2+bx+c，若對稱軸為x=x0，則

（1）當a>0時，若|t1-t0|>|t2-x0|，則f（t1）>f（t2）；

（2）當a<0時，若|t1-x0|>|t2-x0|，則f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a與b的關系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函數f（x）=3x2+2x+b，試比較5+b與b+1的大小關系.

解：由題意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的對稱軸為x=-213，

顯然有|1-213|<|-1-213|.

故由理論可知f（1）

二、基本理論2

若f（x）為[a，b]上的連續函數，且f（a）·f（b）<0，則必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推論：若f（x）=0為一元二次方程，且x=x1根的范圍是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件：較小的根小于1，較大的根在1和3之間，求a的取值范圍.

解：設f（x）=ax2-2x+1，則f（x）在（-∞，+∞）上連續，當然在（-∞，1），及（1，3）上也連續，由基本理論2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

評析：本題的解法避免了用判別式的繁雜計算，使解題過程大大簡化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件：一根在0與1之間，另一根在1與2之間，求m的集合.

分析：由上述理論可知，應有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函數圖象的對稱性特征還可求一些可化為二次函數型的函數的值域

【例5】求函數y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，則y=3t2-4t+1，這是一個關于t的二次函數，從而可求值域.

解：令cosx=t，則-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，這是一個關于t的二次函數，從而可利用圖象求值域.

由前述理論可知，當t=-1時，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

當t=213時，ymin=-113.

∴函數y=3cos2x-4cosx+1的值域為[-113，8].

評析：對于定義域不全為全體實數集的二次函數，若用配方法求值域，尚需分類討論，顯然不如用圖象來得簡便.

（責任編輯金鈴）