教材題目的一題多解與一題多變

周根旺

教學中緊扣課本，挖掘教材中的經典練習題潛在的內涵，讓學生進行對比、聯想，采取一題多解與一題多變是一種有效的教學手段.巧用典型題的多解與多變，既能加深學生對各章節基礎知識的理解，又可培養學生的探索問題和解決問題的能力.本文將通過教材中兩個例題的教學，談談對一題多解與一題多變的認識.

一、一題多解

一題多解，即一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路與解法.

【例1】斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長.（人教版第二冊（上）P131例3，教材給出兩種解法）

變式：斜率為1的直線經過橢圓x2+4y2=4的右焦點，與橢圓相交于兩點A、B，求線段AB的長.

解法一：先將直線方程和橢圓方程聯立求A、B坐標，然后利用距離公式求AB的長.

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），由題知l的方程為y=x-3.

聯立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦長公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

圖1解法三：由橢圓的第二定義知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（幾何法）由圖1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，進而AB=AF+BF.

該法是利用幾何關系建立方程，此方法也可靈活解決以下題目：

1.（2009年全國卷Ⅱ，11）已知雙曲線C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過F且斜率為3的直線交C于A、B兩點，若AF=4FB，則C的離心率為（）.

2.（2010年全國卷Ⅱ，12）已知橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的離心率為312，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點.若AF=3FB，則k=.

解法五：（點差法）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0），其在準線上的射影為M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直線AB上，則y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′為梯形的中位線，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一題多變

一題多變，對一道數學題或聯想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結論.

圖2【例2】過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個焦點的縱坐標為y1、y2，求證：y1y2=-p2.（人教材第二冊（上）P133第7題）

變式：如圖2，設A（x1，y1），B（x2，y2）.求證：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ為直線的傾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

（6）（教材第2題）過拋物線的焦點的直線與拋物線相較于、兩點，自、向準線作垂線，垂足分別為、，求證.

（7）設線段AB中點M在準線上的射影為N，證明：.

（8）設線段AB中點M在準線上的射影為N，MN交拋物線點Q，證明：MQ=NQ.

（9）（教材第6題）過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，經過兩點P和拋物線頂點的直線交準線與M點，求證直線MQ平行于拋物線的稱軸.

（10）求證：存在實數使得.

實質：證明A、O、D三點共線.（2001年高考題）設拋物線（）的焦點為，經過點的直線交拋物線于、兩點.點在拋物線的準線上，且軸.證明直線經過原點.

2.題設變更變式

（1）一條直線與拋物線交于兩點P、Q，經過兩點P和拋物線頂點的直線交準線與M點，求且直線MQ平行于拋物線的稱軸，求證直線過拋物線焦點.

將此變式與上面的（8）、（9）聯系起來，更能體現問題的本質.

（2）（教材例2）如圖，直線與拋物線相較于點、，求證.

實質：直線與拋物線相較于點、，且，則直線恒過點.

積極開展多種變式題的求解，不僅可以滲透、活化所學的知識，而且可以培養學生的發散、創新思維能力，引導學生能從問題的解法中概括推廣出同類問題的解法，起到“講好一題，帶活一片”的效果.

總之，在數學教學中，讓學生學會一題多解與一題多變，有利于培養了學生的綜合分析能力；有利于啟迪思維，培養學生的發散思維能力和解題技巧，提高學生思維的敏捷性、靈活性和深刻性；有利于創新意識的形成和發展，是培養學生良好思維品質與創新精神的好方法.

（責任編輯金鈴）endprint

教學中緊扣課本，挖掘教材中的經典練習題潛在的內涵，讓學生進行對比、聯想，采取一題多解與一題多變是一種有效的教學手段.巧用典型題的多解與多變，既能加深學生對各章節基礎知識的理解，又可培養學生的探索問題和解決問題的能力.本文將通過教材中兩個例題的教學，談談對一題多解與一題多變的認識.

一、一題多解

一題多解，即一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路與解法.

【例1】斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長.（人教版第二冊（上）P131例3，教材給出兩種解法）

變式：斜率為1的直線經過橢圓x2+4y2=4的右焦點，與橢圓相交于兩點A、B，求線段AB的長.

解法一：先將直線方程和橢圓方程聯立求A、B坐標，然后利用距離公式求AB的長.

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），由題知l的方程為y=x-3.

聯立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦長公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

圖1解法三：由橢圓的第二定義知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（幾何法）由圖1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，進而AB=AF+BF.

該法是利用幾何關系建立方程，此方法也可靈活解決以下題目：

1.（2009年全國卷Ⅱ，11）已知雙曲線C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過F且斜率為3的直線交C于A、B兩點，若AF=4FB，則C的離心率為（）.

2.（2010年全國卷Ⅱ，12）已知橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的離心率為312，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點.若AF=3FB，則k=.

解法五：（點差法）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0），其在準線上的射影為M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直線AB上，則y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′為梯形的中位線，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一題多變

一題多變，對一道數學題或聯想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結論.

圖2【例2】過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個焦點的縱坐標為y1、y2，求證：y1y2=-p2.（人教材第二冊（上）P133第7題）

變式：如圖2，設A（x1，y1），B（x2，y2）.求證：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ為直線的傾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

（6）（教材第2題）過拋物線的焦點的直線與拋物線相較于、兩點，自、向準線作垂線，垂足分別為、，求證.

（7）設線段AB中點M在準線上的射影為N，證明：.

（8）設線段AB中點M在準線上的射影為N，MN交拋物線點Q，證明：MQ=NQ.

（9）（教材第6題）過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，經過兩點P和拋物線頂點的直線交準線與M點，求證直線MQ平行于拋物線的稱軸.

（10）求證：存在實數使得.

實質：證明A、O、D三點共線.（2001年高考題）設拋物線（）的焦點為，經過點的直線交拋物線于、兩點.點在拋物線的準線上，且軸.證明直線經過原點.

2.題設變更變式

（1）一條直線與拋物線交于兩點P、Q，經過兩點P和拋物線頂點的直線交準線與M點，求且直線MQ平行于拋物線的稱軸，求證直線過拋物線焦點.

將此變式與上面的（8）、（9）聯系起來，更能體現問題的本質.

（2）（教材例2）如圖，直線與拋物線相較于點、，求證.

實質：直線與拋物線相較于點、，且，則直線恒過點.

積極開展多種變式題的求解，不僅可以滲透、活化所學的知識，而且可以培養學生的發散、創新思維能力，引導學生能從問題的解法中概括推廣出同類問題的解法，起到“講好一題，帶活一片”的效果.

總之，在數學教學中，讓學生學會一題多解與一題多變，有利于培養了學生的綜合分析能力；有利于啟迪思維，培養學生的發散思維能力和解題技巧，提高學生思維的敏捷性、靈活性和深刻性；有利于創新意識的形成和發展，是培養學生良好思維品質與創新精神的好方法.

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教學中緊扣課本，挖掘教材中的經典練習題潛在的內涵，讓學生進行對比、聯想，采取一題多解與一題多變是一種有效的教學手段.巧用典型題的多解與多變，既能加深學生對各章節基礎知識的理解，又可培養學生的探索問題和解決問題的能力.本文將通過教材中兩個例題的教學，談談對一題多解與一題多變的認識.

一、一題多解

一題多解，即一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路與解法.

【例1】斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長.（人教版第二冊（上）P131例3，教材給出兩種解法）

變式：斜率為1的直線經過橢圓x2+4y2=4的右焦點，與橢圓相交于兩點A、B，求線段AB的長.

解法一：先將直線方程和橢圓方程聯立求A、B坐標，然后利用距離公式求AB的長.

解法二：設A（x1，y1），B（x2，y2），由題知l的方程為y=x-3.

聯立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦長公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

圖1解法三：由橢圓的第二定義知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（幾何法）由圖1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，進而AB=AF+BF.

該法是利用幾何關系建立方程，此方法也可靈活解決以下題目：

1.（2009年全國卷Ⅱ，11）已知雙曲線C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F，過F且斜率為3的直線交C于A、B兩點，若AF=4FB，則C的離心率為（）.

2.（2010年全國卷Ⅱ，12）已知橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的離心率為312，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點.若AF=3FB，則k=.

解法五：（點差法）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0），其在準線上的射影為M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直線AB上，則y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′為梯形的中位線，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一題多變

一題多變，對一道數學題或聯想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結論.

圖2【例2】過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個焦點的縱坐標為y1、y2，求證：y1y2=-p2.（人教材第二冊（上）P133第7題）

變式：如圖2，設A（x1，y1），B（x2，y2）.求證：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ為直線的傾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

（6）（教材第2題）過拋物線的焦點的直線與拋物線相較于、兩點，自、向準線作垂線，垂足分別為、，求證.

（7）設線段AB中點M在準線上的射影為N，證明：.

（8）設線段AB中點M在準線上的射影為N，MN交拋物線點Q，證明：MQ=NQ.

（9）（教材第6題）過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，經過兩點P和拋物線頂點的直線交準線與M點，求證直線MQ平行于拋物線的稱軸.

（10）求證：存在實數使得.

實質：證明A、O、D三點共線.（2001年高考題）設拋物線（）的焦點為，經過點的直線交拋物線于、兩點.點在拋物線的準線上，且軸.證明直線經過原點.

2.題設變更變式

（1）一條直線與拋物線交于兩點P、Q，經過兩點P和拋物線頂點的直線交準線與M點，求且直線MQ平行于拋物線的稱軸，求證直線過拋物線焦點.

將此變式與上面的（8）、（9）聯系起來，更能體現問題的本質.

（2）（教材例2）如圖，直線與拋物線相較于點、，求證.

實質：直線與拋物線相較于點、，且，則直線恒過點.

積極開展多種變式題的求解，不僅可以滲透、活化所學的知識，而且可以培養學生的發散、創新思維能力，引導學生能從問題的解法中概括推廣出同類問題的解法，起到“講好一題，帶活一片”的效果.

總之，在數學教學中，讓學生學會一題多解與一題多變，有利于培養了學生的綜合分析能力；有利于啟迪思維，培養學生的發散思維能力和解題技巧，提高學生思維的敏捷性、靈活性和深刻性；有利于創新意識的形成和發展，是培養學生良好思維品質與創新精神的好方法.

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