應用中線性質解幾何題

陸建亮

一、三角形中線將原三角形面積分半.

圖1【例1】如圖1，在三角形ABC中，BD是中線，AD=CD=112AC，BE⊥AC于E，即BE是△ABC的邊AC上的高，同時BE也是△ABD高，也是鈍角三角形BCD的高.

解：根據三角形的面積公式，S△ABD、S△BCD的面積可表示為S△ABD=112AD×BE=112×112AC×BE=112DC×BE=S△BDC=112S△ABC.所以△ABD、△BCD的面積相等，都等于△ABC面積的一半.

本題由中線可得D是AC的中點，由性質就有底AD、DC相等，而高BE是同一條的，故面積相等.可以簡記：等底同高積相等.

圖2【例2】如圖2，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線.（1）在△BED中作BD邊上的高；（2）若△ABC的面積為20，BD=5，則點E到BC邊的距離為多少？

解：因為AD是△ABC的中線，

所以S△ABD=112S△ABC.同理，S△BDE=112S△ABD.

所以S△BDE=112×112S△ABC=112BD×EF=112×112×20，EF=2.

這題考查的知識點并不是很多，一是要會做三角形的高，另外就是理解點E到BC邊的距離就是△BED底邊上的高EF；二是掌握中線能把三角形分成兩個面積相等的小三角形的性質，本題就是兩次運用這一性質很快求出結果.

二、證明或計算三角形中線的問題，常作的輔助線是延長中線使延長的線段比原中線長一倍，或過中點作第三邊的平行線，構造成全等三角形或平行四邊形.

圖3【例3】如圖3，已知：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD.

解：延長AD到點E，使DE=AD，即DE是AE的一半.

∵D是CB的中點，

∴CD=BD.

∵△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE..

在△ABE中，AB+BE>AE，∴AB+AC>AE，即AB+AC>2AD.

本題如果直接證明就會很困難，但是考慮到AD是中線，通過延長線段的方法，使得AD=DE，再連結BE，構成三角形，就能將原來分散的條件集中在一起，結合三角形兩邊之和大于第三邊的性質，問題得以解決.

三、由三角形中位線定義可知，同一條件下有兩層關系：位置和數量.在運用這個定義時，根據問題的求解進行選擇，是平行關系還是數量關系.若遇到三角形兩條中線（或兩邊的中點）同時出現時，可以考慮加輔助線，構造成中位線，再利用三角形中位線的性質來解題.

【例4】如圖4，已知△ADC是銳角三角形，分別以AD、AC為邊向外側作兩個等邊△ABC和△AED，H、G、F分別是CD、BC、DE的中點，連結GH，HF，求證：HF=GH.

圖4解：連結CE、BD.

∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，

∴∠CAB=∠DAE=60°，CA=BA，DA=EA.

又∵∠CAD是公共角，∴∠CAE=∠DAB.

∴△CAE≌△BAD（ASA），∴CE=BD.

又∴G、H、F都是中點，∴2HF=CE，2GH=BD.

∴HF=GH.

本來GH、HF看似與三角形的邊沒有關系，但想到了點G、H、F都是點，就聯想到三角形中位線，由此連結BD、CE，則GH、HF就成了△BDC、△CED的中位線，故此題得以解決.

由三角形中位線可想到梯形的中位線，它也有類似的性質.在考試中常見的有（1）順次連結對角線相等的四邊形（常見有等腰梯形）的中點四邊形是菱形；（2）順次連結對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形.

從以上一些例題看出，由中點到中線再到中位線的過程中都滲透了歸納、類比等數學思想，學生只要在探究學習中學會了分析，懂得了應用性質，就能快速找到解題的突破口.

（責任編輯金鈴）endprint