用已知求未知

劉正權

一、含參不等式的解法

1.分類討論

如果想要解不等式ax2-2（a+1）x+4>0，首先需要討論x2項的系數，看它是不是等于0，如果a=0，那么原不等式就可以被寫成-2x+4>0，解這個不等式可以得到x<2；如果a≠0，此不等式為二次不等式，把這個不等式整理之后可以得到（x-2）（ax-2）>0，這個不等式對應的方程的兩個根為2和21a，緊接著就要對a進行討論.在這道題目中參數有兩方面的影響，一方面參數的值能夠決定不等式的類型，再者參數的值能夠影響到不等式解的大小，所以必須進行分類討論，但在解題的過程中需要注意的一點就是，要通過對參數的討論去確定不等式的解，而不是要通過不等式的解去看如何對參數進行討論.

2.變換主元

已知一個不等式2x-1>m（x2-1），如果m滿足|m|≤2，那么這個不等式恒成立，試求x的范圍.已知m的取值范圍，想要求的是x的取值范圍，這時就可以采用變換主元的方法，把這個不等式變形之后得到m（x2-1）-（2x-1）<0，這個不等式在|m|≤2的時候是恒成立的.下面構造一個自變量為m的函數.令f（m）=m（x2-1）-（2x-1），在|m|≤2即-2≤m≤2時，函數的值是小于0的，也就是說f（-2）小于0，f（2）也小于0，通過這兩個條件可以解得x的范圍.

3.數形結合

如果不等式|3x+6|+1≥ax是恒成立的話，試求a的取值范圍.可以把這個不等式的兩端看成是兩個函數，f（x）=|3x+6|+1，g（x）=ax，可以在同一個坐標系中把這兩個函數的圖像畫出來，根據圖像可以知道直線的斜率只有在一個范圍內才可以使不等式恒成立.利用數形結合的方法處理不等式的問題是非常直觀的，但是如果想要得到準確的結果首先需要確保所畫的函數的圖像是正確的.

二、利用導數解決含參問題

1.利用導數求含參函數的單調性

利用導數去求函數的單調區間，事實上只需要解f′（x）>0，f′（x）<0時x的值.首先必須想辦法求出f′（x），此時如果f′（x）可以實現因式分解的話，就先把它進行因式分解，然后根據兩根的大小去對函數的單調性進行判斷，如果不能進行因式分解，就需要進行分類討論了.比如已知一個函數是f（x）=ln2x-ax，試求這個函數的單調區間.首先對這個函數求導，f′（x）=11x-a（x>0）， 因為x>0，所以11x>0，當a≤0時，f′（x）>0，也就是說當x>0時，函數f（x）是單調遞增的.如果a>0，首先令f′（x）=0求出相應的x值，x=11a，如果00，此時函數f（x）是單調遞增的.如果x>11a，那么f′（x）<0，此時函數f（x）是單調遞減的.

2.利用導數研究含參函數的最（極）值

在利用導數對含參函數的最（極）值進行研究的過程中，分類討論思想是經常需要用到的.比如，求函數f（x）=ln2x-ax（a>0）在區間[1，2]內的最小值.首先對這個函數求導，f′（x）=11x-a（x>0），令f′（x）=0得x=11a，當11a≤1時得到a≥1，此時f′（x）<0，也就是說函數在區間[1，2]內是單調遞減的，所以函數f（x）在區間[1，2]內的最小值為f（2）=ln4-2a，當11a≥2時，得到a≤112，此時f′（x）>0，也就是說函數在區間[1，2]內是單調遞增的，所以函數f（x）在區間[1，2]內的最小值為f（1）=ln2-a.當1<11a<2時，得到1120，函數在區間[1，11a]內是單調遞增的，如果11a≤x<2，那么f′（x）<0，函數在區間[11a，2]內是單調遞減的，同理可求得函數的最值.

3.利用導數研究含參函數的恒成立問題

如果所研究的范圍問題具有函數背景，首先需要根據已知的條件把所要求的變量跟某個已知變量建立函數關系.比如，已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），令f（x）=a·b，函數f（x）在區間（-1，1）的范圍內是增函數，試求t的范圍.根據向量的數量積公式可以得到f（x）的表達式f（x）=-x3+x2+tx+t，對這個函數求導可以得到f′（x）=-3x2+2x+t，由題意可以知道函數f（x）在區間（-1，1）的范圍內是增函數，也就是說f′（x）>0變形得2x2-2x≤t，接下來就需要解這個不等式，需要讓這個不等式在區間（-1，1]內恒成立.

（責任編輯金鈴）