三角形面積在幾何題中的巧妙應用

劉敏

一、利用“圖形的各部分面積之和等于該圖形的面積”解題

將一個圖形分成幾個部分，這些部分的面積之和就是整個圖形的面積.這個看似非常簡單的知識點，如果在解題時能夠巧妙地加以運用，有時能起到事半功倍的效果.

圖1【例1】如圖1，△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BH是三角形的高.求證：DE+DF=BH.

分析：連接AD，使DE、DF分別成為△ABD和△ACD的高，利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，并且AB=AC，證得結論.

證明：連接AD，∵DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BH是三角形的高.

∴S△ABD=112AB×DE，S△ACD=112AC×DF，

S△ABC=112AC×BH.

∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，

∴112AB×DE+112AC×DF=112AC×BH.

又∵AB=AC，∴DE+DF=BH.

圖2變式練習題：如圖2，點P是等邊△ABC內的一點，過點P分別畫各邊的垂線段PD、PE、PF，且PD=1，PE=3，PF=5，則等邊△ABC的邊長=.

簡析：設等邊△ABC的邊長為a，連接PA、PB、PC，與上題同理可得，

112a（PD+PE+PF）=314a2，

將數據代入，求得a=63.

二、利用三角形的面積列方程解決圖形中的計算問題

在幾何計算題中，運用方程思想解決問題是一種常用的方法.而運用圖形的面積來列方程往往使得方程簡單易解.

圖3【例2】如圖3，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，點D是BC上一點，將AB沿AD折疊，點B恰好落在斜邊AC上的點E處.求BD的長.

分析：由折疊可知，AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED=90°，設BD=x，則利用2S△ADC=AC×DE=CD×AB，可列出方程，求得BD的長.

解：∵將AB沿AD折疊，點B落在斜邊AC上的點E處，

∴AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED=90°.

∵△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，

∴AC=10，設BD=x，∵2S△ADC=AC×DE=CD×AB，

∴10x=6（8-x），解得x=3.

變式練習題：△ABC的周長為l，面積為S，試求△ABC的內切圓半徑r.

簡析：連接圓心與三角形各頂點，將△ABC的面積轉化為三個小三角形的面積之和.而三個小三角形的底分別為AB、BC、AC，高都是內切圓的半徑，因此得112lr=S，解得r=2S1l.

三、運用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解題

【例3】如圖4，△ABC內接于⊙O，過點A的切線交BC的延長線于點D.試證明CD1BD=AC21AB2.

圖4分析：由B、C、D三點共線，得S△ACD1S△ABD=CD1BD，

再證得△ACD∽△BAD，得S△ACD1S△BAD=AC21AB2，

所以，CD1BC=AC21AB2.

解：作直徑AE，連接CE.

∵AD切⊙O于點A，∴AE⊥AD∴∠CAD+∠EAC=90°.

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°∴∠E+∠EAC=90°.

∴∠E=∠CAD，又∵∠B=∠E，∴∠B=∠CAD，

又∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD，∴S△ACD1S△BAD=AC21AB2.

又∵S△ACD1S△ABD=CD1BD，∴CD1BD=AC21AB2.

（責任編輯黃桂堅）endprint