一道IMO試題的另解與探究

秦建華

一、試題呈現

設P是△ABC內的一點，直線AP、BP、CP與△ABC的外接圓Γ的另一個交點分別為K、L、M，圓Γ在點C處的切線與直線AB交于點S.若SC=SP，證明：MK=ML[1].（第51屆IMO）

證明：如下圖，設AC>BC，由切割線定理知SC2=SP2=SB·SA，就有△APS∽△PBS，△ACS∽△CBS，

于是BC1AC=BP1AP①

由相交弦定理知ML1BC=PM1PB②，AC1MK=PA1PM③，

②×③得ML·AC1MK·BC=PA1PB④，

①×④得ML1MK=1，故MK=ML.

二、題目條件減弱

設P是△ABC的外接圓內的一點，直線AP、BP、CP與△ABC的外接圓Γ的另一個交點分別為K、L、M，圓Γ在點C處的切線與直線AB交于點S.若SC=SP，證明：MK=ML.（證明同上，故從略.）

三、逆命題也成立

設P（除圓心）是△ABC的外接圓內的一點，直線AP、BP、CP與△ABC的外接圓Γ的另一個交點分別為K、L、M，圓Γ在點C處的切線與直線AB交于點S.若MK=ML，證明：SC=SP.

證明（同一法）：設AC>BC，△ABP的外接圓Ω在P點的切線交直線AB于S′，由切割線定理注意到：

△CBS∽△ACS，△PBS′∽△APS′

有SB1SC=SC1SA=CB1CA①，

S′B1S′P=S′P1S′A=PB1PA②，

①②知SB1SA=CB21CA2③，S′B1S′A=PB21PA2④.

由相交弦定理注意到CB1PB=ML1PM，CA1PA=MK1PM，又ML=MK，有CB1CA=PB1PA⑤，由③④⑤知SB1SA=S′B1S′A，于是就有SB1AB=S′B1AB，故S和S′重合（由題設知S′與A處于B的異側）.綜上①②⑤知SC=SP.

參考文獻

[1]2010第51屆IMO[J].中等數學，2010（9）.

（責任編輯黃桂堅）endprint