高中數學不等式解法探討

馬漢敏

不等式是數學知識的重要組成部分，是數學對現實世界中不等關系的反映，是學生以后研究數量大小關系的基礎，也是學習數學和其他學科的基礎.加強不等式的解法指導，提高不等式的教學效果，可以很好地提高學生的數學能力.下面筆者就此談談幾點體會.

一、不等式的概念及形式

所謂不等式就是由數學符號（“>”、“<”等符號）連接的兩個數或代數式，并表示它們之間不等的關系，這個式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下幾種：

1.一元一次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數為一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數為二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有兩個未知數且未知數的最高次數均為一次的不等式.

4.高次不等式：未知數的最高次數大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數的不等式.

6.無理不等式：含有根號且根號中含有未知數的不等式.

下面簡單分析、探討高中數學部分不等式的解法.

二、不同類型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0兩種形式.在高中解一元二次不等式時，應該結合一元二次函數[2]，利用二次函數的圖像幫助學生理解不等式的解集.如，當a>0時，一元二次不等式解集如下：（1）當Δ>0時，方程ax2+bx+c=0有兩個不同的實根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當Δ<0，方程ax2+bx+c=0無實根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.

當a<0時，可以在不等式的兩邊同時乘以-1，從而轉化為a>0時來解.

2.根軸法解一元高次不等式

一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），當x>xn時，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲線在x軸下方的負區間則是f（x）<0的解集，這就是根軸法解一元高次不等式[3].

在用這種方法解不等式時，首先要求不等式的右邊為零，左邊因式的最高次項的系數要為正.同時要分清方程根的大小，在線軸上標根時要考慮根的大小，而不是根的距離；其次曲線要從左上方開始；最后遇到重根時，奇次重根則要穿透線軸，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.寫不等式解集時，應做到：遇“=”取根，無“=”不取.

3.分式不等式的解法

無論何種分式不等式，都應通過變形將其變為“左邊分式，右邊為0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化為3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根為xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集為{x∣x<-1/2或14}.

4.含絕對值的不等式的解法

眾所周知，解含有絕對值的不等式關鍵就是要去絕對值符號，一般方法主要有公式法、零點區間討論法和平方法[4].

（1）平方法

當不等式兩邊都是非負數時，可以進行平方處理且不等號的方向不會發生改變.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集為{x∣0

（2）討論法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根據不等式的意義可知.當x<0或者x=0時，這個不等式是恒成立的.所以我們要討論x>0的情況.

當x>0時，不等式可化為x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是數學知識的重要組成部分，是數學對現實世界中不等關系的反映，是學生以后研究數量大小關系的基礎，也是學習數學和其他學科的基礎.加強不等式的解法指導，提高不等式的教學效果，可以很好地提高學生的數學能力.下面筆者就此談談幾點體會.

一、不等式的概念及形式

所謂不等式就是由數學符號（“>”、“<”等符號）連接的兩個數或代數式，并表示它們之間不等的關系，這個式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下幾種：

1.一元一次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數為一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數為二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有兩個未知數且未知數的最高次數均為一次的不等式.

4.高次不等式：未知數的最高次數大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數的不等式.

6.無理不等式：含有根號且根號中含有未知數的不等式.

下面簡單分析、探討高中數學部分不等式的解法.

二、不同類型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0兩種形式.在高中解一元二次不等式時，應該結合一元二次函數[2]，利用二次函數的圖像幫助學生理解不等式的解集.如，當a>0時，一元二次不等式解集如下：（1）當Δ>0時，方程ax2+bx+c=0有兩個不同的實根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當Δ<0，方程ax2+bx+c=0無實根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.

當a<0時，可以在不等式的兩邊同時乘以-1，從而轉化為a>0時來解.

2.根軸法解一元高次不等式

一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），當x>xn時，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲線在x軸下方的負區間則是f（x）<0的解集，這就是根軸法解一元高次不等式[3].

在用這種方法解不等式時，首先要求不等式的右邊為零，左邊因式的最高次項的系數要為正.同時要分清方程根的大小，在線軸上標根時要考慮根的大小，而不是根的距離；其次曲線要從左上方開始；最后遇到重根時，奇次重根則要穿透線軸，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.寫不等式解集時，應做到：遇“=”取根，無“=”不取.

3.分式不等式的解法

無論何種分式不等式，都應通過變形將其變為“左邊分式，右邊為0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化為3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根為xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集為{x∣x<-1/2或14}.

4.含絕對值的不等式的解法

眾所周知，解含有絕對值的不等式關鍵就是要去絕對值符號，一般方法主要有公式法、零點區間討論法和平方法[4].

（1）平方法

當不等式兩邊都是非負數時，可以進行平方處理且不等號的方向不會發生改變.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集為{x∣0

（2）討論法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根據不等式的意義可知.當x<0或者x=0時，這個不等式是恒成立的.所以我們要討論x>0的情況.

當x>0時，不等式可化為x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是數學知識的重要組成部分，是數學對現實世界中不等關系的反映，是學生以后研究數量大小關系的基礎，也是學習數學和其他學科的基礎.加強不等式的解法指導，提高不等式的教學效果，可以很好地提高學生的數學能力.下面筆者就此談談幾點體會.

一、不等式的概念及形式

所謂不等式就是由數學符號（“>”、“<”等符號）連接的兩個數或代數式，并表示它們之間不等的關系，這個式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下幾種：

1.一元一次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數為一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數為二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有兩個未知數且未知數的最高次數均為一次的不等式.

4.高次不等式：未知數的最高次數大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數的不等式.

6.無理不等式：含有根號且根號中含有未知數的不等式.

下面簡單分析、探討高中數學部分不等式的解法.

二、不同類型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0兩種形式.在高中解一元二次不等式時，應該結合一元二次函數[2]，利用二次函數的圖像幫助學生理解不等式的解集.如，當a>0時，一元二次不等式解集如下：（1）當Δ>0時，方程ax2+bx+c=0有兩個不同的實根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當Δ<0，方程ax2+bx+c=0無實根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.

當a<0時，可以在不等式的兩邊同時乘以-1，從而轉化為a>0時來解.

2.根軸法解一元高次不等式

一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），當x>xn時，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲線在x軸下方的負區間則是f（x）<0的解集，這就是根軸法解一元高次不等式[3].

在用這種方法解不等式時，首先要求不等式的右邊為零，左邊因式的最高次項的系數要為正.同時要分清方程根的大小，在線軸上標根時要考慮根的大小，而不是根的距離；其次曲線要從左上方開始；最后遇到重根時，奇次重根則要穿透線軸，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.寫不等式解集時，應做到：遇“=”取根，無“=”不取.

3.分式不等式的解法

無論何種分式不等式，都應通過變形將其變為“左邊分式，右邊為0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化為3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根為xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集為{x∣x<-1/2或14}.

4.含絕對值的不等式的解法

眾所周知，解含有絕對值的不等式關鍵就是要去絕對值符號，一般方法主要有公式法、零點區間討論法和平方法[4].

（1）平方法

當不等式兩邊都是非負數時，可以進行平方處理且不等號的方向不會發生改變.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集為{x∣0

（2）討論法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根據不等式的意義可知.當x<0或者x=0時，這個不等式是恒成立的.所以我們要討論x>0的情況.

當x>0時，不等式可化為x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0