幾何畫板在二次函數最值問題中的應用

鐘俊浪

用幾何畫板可以動態地表現函數圖像的變化過程，化抽象為形象.解決函數最值時我們用圖像分析法能直觀、容易地得出結論，但含參數的二次函數的最值問題，由于參數是可變的，用傳統的靜態圖像有很多學生是比較難掌握的.利用幾何畫板進行數學動態教學，通過具體的感性的圖像呈現，能給學生留下深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感地去把握它.結合幾何畫板畫出含參數的函數圖像，結合圖像的動態變化過程為學生創設數形結合的情境，體現數學的本質.從而更好地理解在哪里取最大值、哪里取最小值，幫助學生直觀地發現、總結出自己的結論.下面以二次函數為例來說明幾何畫板動態教學的應用.

一、函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值的動態演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點（-1，0）和B點（3.2，0），即區間[-1，3.2].在線段AB上構造一個點C，度量出C點的橫坐標，記為x，再計算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.過D點作y軸的垂線段交y軸于E點.C點在線段AB上移動時，D點的縱坐標與E點的縱坐標一樣.通過E點的值的變化可以清晰地反映函數f（x）=x2-2x+2在區間[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.選擇點E【編輯】|【操作類按鈕】|【動畫】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點在圖像上運動起來，觀察出何時取最大值和最小值，最后將E、F的標簽改為x、f（x），如圖1.

圖1

二、函數f（x）=x2-2x+2在區間[t，t+2]上的最大值和最小值的動態演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點A，度量A的橫坐標，記為t，計算t+2；繪制點B（t+2，0），構造線段AB，在線段AB取一點P，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點M（x，f（x））；選擇P、M【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出函數圖像的對稱軸，過A、B兩點作x軸的垂線段，作出線段PM，再過M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.

圖2

3.拖動點t讓函數f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動起來.觀察函數在區間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結出需要的結論.

4.當t≤-1時，函數的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當-11時，函數的最大值為f（t+2），最小值為f（t）.

三、函數f（x）=x2-2tx+2在區間[-1，1]上的最大值和最小值的動態演示

1.在x軸上構造一點A，過A點構造x軸的垂線，再在垂線上構造一點B，度量其縱坐標，記為t，并將B點標簽改為t.

2.繪制函數f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點C（-1，0）、D（1，0），構造線段CD，在線段CD上取一點E，度量其橫坐標，記為x，計算f（x），繪制點F（x，f（x））；選擇E、F【構造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.

3.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡潔.作出對稱軸，并作出線段EF，再過F作y軸的垂線段（虛線）.將點E、F的標簽改為x，f（x）.

4.拖動參數t，觀察圖像的變化，然后保持參數t不變，再拖動點x，觀察其函數值的變化，得出函數f（x）=x2-2tx+2在區間[-1，1]上的最大值和最小值（圖略）.

5.當t≤-1時，函數的最大值為f（1），最小值為f（-1）；當-11時，函數的最大值為f（-1），最小值為f（1）.

（責任編輯黃桂堅）