運用《幾何畫板》演示圓錐曲線的統一定義

徐家銀

圓錐曲線的統一定義：平面內與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當01時是雙曲線.

從以上定義可知，只要給出一個定點、一條定直線和離心率e的值，就可以確定相應的圓錐曲線.那么，怎么由一個定點、一條定直線和離心率e的值畫出圓錐曲線并能方便地演示給學生看呢？利用《幾何畫板》這個工具就能很好地實現這個目的，現介紹如下.

打開幾何畫板5.03迷你增強版，點擊編輯按鈕→點參數選項→選擇角度為弧度，精確度調為十萬分之一；畫一直線標簽為“定直線（準線）”，在直線右方取一點F并標簽為“定點（焦點）”.

取點A、B，標記B為中心，讓點A關于B旋轉180°得A′，構造線段AA′，在線段AA′上取點C；度量點C、A間的距離及點C、A′間的距離，計算|CA|與|CA′|的比值，標簽為離心率e，左右滑動點C可以調節離心率e的大小，將點C的標簽改為“左右滑動此點調節離心率”，隱藏點A、B、A′，隱藏距離|CA|與|CA′|的度量值，度量點F到直線l的距離并標簽為p（拋物線的焦半徑，對于橢圓和雙曲線，它的值等于|a21c-c|）.

調節離心率小于1（將會畫出橢圓），計算pe1|1-e2|并標簽為a（橢圓和雙曲線通用），計算a與e的積并標簽為c（半焦距，橢圓和雙曲線通用），計算a2-c2標簽為b（橢圓專用）.

因為定點F在定直線l的右方，所以定點F和定直線l分別為橢圓的左焦點和左準線.將點F向右平移c個單位得一點標簽為O，并將此點定義為原點建立坐標系，以點O為圓心作單位圓，在該圓上取點P，單位圓與x軸的交點標簽為Z，度量∠ZOP的值，因為橢圓的參數方程為x=acosα

y=bsinα，所以，計算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分別以這兩個值為橫、縱坐標繪制點M，以點M、P構造軌跡便可以得到橢圓；生成點P的動畫并設置按鈕，標簽為“橢圓動畫”.隱藏坐標系等.

將離心率調節為1，使橢圓的畫面消失.計算-|1-e|+p12并標簽為“拋物線調節量”，設計這個調節量是本文的獨到之處，目的是當調節離心率小于或大于1時拋物線不會出現.在定直線l任取一點G，度量點G的橫坐標XG，計算“拋物線調節量”與XG的和，并以這個值為橫坐標、0為縱坐標繪制一點H，過H作一直線與過點F且垂直于準線l的直線垂直，設垂足為N，將點N定義為原點建立新的坐標系.在準線l上任取一點J，度量點J的縱坐標yJ，計算y2j12p的值，以y2j12p的值為橫坐標，yJ為縱坐標繪制點M，選擇點M、J構造軌跡便可得到拋物線.生成點J的動畫并設置按鈕，標簽該按鈕為“拋物線動畫”.度量點M、F間的距離及點M到準線l的距離，計算這兩個距離的比值，該比值即為拋物線的離心率（值正好為1），按下“拋物線動畫”按鈕時，盡管點M、F間的距離及點M到準線l的距離在不斷變化，但是它們始終相等，即離心率的值始終為1.隱藏坐標系、點G、J、H等.

調節離心率大于1（小于1時只出現橢圓，等于1時只出現拋物線）時拋物線消失，此時c>a，計算c2-a2的值記為b雙，計算a21c的值，過點F作準線l的垂線，垂足為L，因為此時點F為雙曲線的右焦點，所以要將點L向左平移a21c個單位得到點O，將O標記為原點建立新的坐標系，以O和K構造圓，在該圓上取一點P，度量∠KOP的值.因為雙曲線的參數方程為x=asecα

y=btanα，所以，計算a1cos∠KOP、b雙·tan∠KOP的值，分別以這兩個值作為橫坐標和縱坐標繪制點M，以點M、P構造軌跡便可得到雙曲線.生成點P的動畫，并設置按鈕，標簽為“雙曲線動畫”，度量MF及M到準線l的距離，計算它們的比值（等于離心率的值），隱藏以上過程中的坐標系和輔助點等.

至此，整個課件制作完成.演示時，拖動調節點調節離心率小于1時得到橢圓，按下動畫按鈕，讓學生觀察動點到定點和定直線的距離的比有何變化.調節離心率等于1時得到拋物線，調節離心率大于1時得到雙曲線.通過以上的演示，加深學生對圓錐曲線統一定義的理解.

（責任編輯黃桂堅）