數(shù)學(xué)變式教學(xué)初探

廖助會(huì)

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是一種注重結(jié)果但更注重過程的教學(xué)方式.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要求教師根據(jù)學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知水平和教學(xué)材料，通過對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景進(jìn)行有效的變化，使條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生變化，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系.通過設(shè)計(jì)變式，激發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的不平衡，幫助學(xué)生在解答問題的過程中去尋找類似或相似問題的解題思路、方法，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，進(jìn)而抓住問題的本質(zhì)特征.

圖1【原題】如圖1，已知點(diǎn)A（1，1）、B（3，4），P為直線l：x-y+2=0上的點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最小值.

解：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l于點(diǎn)P，則l⊥BB′且l平分BB′.

設(shè)B′（x，y），則y-41x-3×1=-1

x+312-y+412+2=0x=2

y=5，故B′（2，5）.

所以，|PA|+|PB|的最小值為|AB′|=（2-1）2+（5-1）2=17.

【點(diǎn)評(píng)】變式教學(xué)應(yīng)取材于簡(jiǎn)單、普遍的問題，學(xué)生都能接受.原題目不宜過難，重視通性、通法，重在激活學(xué)生思維，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

【變式1】已知點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B（3，4），P為直線l：x-y+2=0上的點(diǎn)，求|PB|-|PA|的最大值.

圖2解：如圖2所示，連接BA并延長(zhǎng)BA交直線于點(diǎn)P，則|PB|-|PA|的最大值為|AB|=（3-1）2+（4-1）2=13.

【點(diǎn)評(píng)】變式1由原題產(chǎn)生，改變對(duì)原題的問法，把求和的最小值自然過渡為求差的最大值.通過改變結(jié)論，教師有的放矢地進(jìn)行引導(dǎo)，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

【變式2】設(shè)點(diǎn)P是拋物線C：y2=4x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn).已知點(diǎn)A（4，1），求|PA|+|PF|的最小值.

圖3解：如圖3，過A作AD⊥準(zhǔn)線l，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)D，當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|=|AP|+|PD|=|AD|=5（最小）.

【點(diǎn)評(píng)】變式2在原題的基礎(chǔ)上把在直線上找一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小演變成在拋物線（曲線）上找一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和最小.“變式”結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，符合教學(xué)目標(biāo).如果變式脫離學(xué)生實(shí)際，偏離了教學(xué)目標(biāo)，那么這樣的變式就顯得毫無意義.

【變式3】已知雙曲線x219-y2116=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A（9，2），P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn).求：

（1）|PA|+|PF2|的最小值.

（2）|PA|+315|PF2|的最小值.

圖4解：（1）由題意可知a2=9，b2=16，c2=25，F(xiàn)1（-5，0），要使|PA|+|PF2|最小，顯然點(diǎn)P要在雙曲線的右支上.

由雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a，即|PF2|=|PF1|-2a，

所以|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a=（|PA|+|PF1|）-2a.

當(dāng)P、A、F1共線時(shí)，|PA|+|PF1|取得最小值|AF1|=142+22=102.

連接AF1交雙曲線的右支于點(diǎn)P1，即當(dāng)A、P1、F1共線時(shí)，（|PA|+|PF2|）min=102-6.

（2）設(shè)l為雙曲線的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)P作PH⊥l于H，

由雙曲線的第二定義有|PF2|1|PH|=513得|PF2|=513|PH|，即315|PF2|=|PH|，

∴|PA|+315|PF2|=|PA|+|PH|≥|AH|.

當(dāng)且僅當(dāng)P為AH與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí)，即A、P2、H共線時(shí)，|PA|+315|PF2|取得最小值|AH|=9-a21c=9-915=3615.

【點(diǎn)評(píng)】在學(xué)過的曲線中，除了拋物線外，還有雙曲線和橢圓，通過改變條件，把上面的問題進(jìn)一步變式.把在直線上找一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的問題，轉(zhuǎn)化成在曲線上找一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的問題.通過改變條件，找出不同知識(shí)之間的聯(lián)系與規(guī)律，加深對(duì)問題的理解能力.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint