“導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

馬科

【教學(xué)目標(biāo)】

一、知識(shí)與能力

1.本節(jié)課是高三復(fù)習(xí)課.通過對“導(dǎo)數(shù)、平均變化率”的復(fù)習(xí)，明確探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義可依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑.

2.利用割線逼近的方法直觀定義切線，概括導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3.通過例題分類解析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線問題，加深對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解.在學(xué)習(xí)過程中感受數(shù)形結(jié)合、極限思想方法.

二、過程與方法

1.學(xué)生通過觀察感知、動(dòng)手探究等方法培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手和動(dòng)腦的能力.

2.分類探究和分層練習(xí)，各種層次的學(xué)生都可以憑借自己的知識(shí)能力獨(dú)立解決問題.

3.學(xué)生通過思考探究的3個(gè)問題，深化對切線定義的認(rèn)知，小結(jié)形成求切線的步驟.

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.在探究過程中滲透極限思想，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.

2.采用示范剖析、學(xué)生自主實(shí)踐的方式，讓學(xué)生理解和掌握基本數(shù)學(xué)技能、思想方法.

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：理解和掌握切線的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

難點(diǎn)：體會(huì)數(shù)形結(jié)合、極限思想；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線.

【教學(xué)方法】分層探究、自主實(shí)踐.

【教學(xué)過程】

一、回顧舊知，引入新課

1.師：平均變化率Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx的幾何意義是什么？

生：割線的斜率.

2.函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的定義：

f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx.

（即Δx→0，平均變化率趨于的確定常數(shù)就是該點(diǎn)導(dǎo)數(shù).）

師：那么當(dāng)Q點(diǎn)無限逼近P點(diǎn)時(shí)（Δx→0）即lim1Δx→0Δy1Δx，在圖中又表示什么呢？今天我們就一起來探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用.

二、引導(dǎo)探究，獲得新知

1.動(dòng)畫演示，得到切線的新定義

已知曲線上點(diǎn)P處的切線PT和割線PQ，動(dòng)畫演示Q點(diǎn)無限逼近P點(diǎn)，即Δx→0，割線PQ的變化趨勢.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系？并體會(huì)從割線到切線的變化過程：

k割線=Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

↓

當(dāng) Q點(diǎn)無限逼近P點(diǎn)時(shí)，即Δx→0時(shí)，割線 PQ的斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.

↓

k切線=f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

學(xué)生觀察，得出一般曲線的切線的定義：

曲線上Q點(diǎn)無限逼近P點(diǎn)，即Δx→0，割線PQ趨近于確定的位置PT，這個(gè)確定位置上的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.

2.數(shù)形結(jié)合，概括導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義：函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，即k=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.

三、分層解析，鞏固理解

師：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以解決“切點(diǎn)—斜率—切線”知一求二問題，接下來我們重點(diǎn)研究曲線求切線問題.

1.分類解析（四種常見的類型）

題型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程.

此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)得到斜率，并代入點(diǎn)斜式方程即可.

【例1】曲線y=x3-3x2+1在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程為（）.

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

答案：B.

題型二：已知斜率，求曲線的切線方程.

此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決.

【例2】與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0

答案：D.

題型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程.

過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法.

【例3】求過曲線y=x3-2x上的點(diǎn)（1，-1）的切線方程.

題型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程.

【變式訓(xùn)練】求函數(shù)y=x3-2x過點(diǎn)（0，16）的切線方程.

2.動(dòng)手實(shí)踐

【例4】已知曲線f（x）=x2+1.

（1）求曲線在點(diǎn)（2，5）處的切線方程；

（2）求曲線過點(diǎn)（2，-11）的切線方程.

3.方法總結(jié)

曲線y=f（x）“過”點(diǎn)P（x0，y0）與“在”點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的區(qū)別：

①曲線y=f（x）過點(diǎn)P（x0，y0）的切線，是指切線經(jīng)過P點(diǎn)，P點(diǎn)可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條；

②曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線是指P為切點(diǎn)，若切線斜率存在時(shí)，切線斜率為k=f′（x0），有唯一的一條切線.那么如果切線斜率不存在時(shí)，又會(huì)怎么樣呢？請看思考探究.

四、思考探究，深化理解

1.如果曲線y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)不存在，那么曲線y=f（x）在x0處還存在切線嗎，若存在，是什么？

2.曲線在某一點(diǎn)處的切線只能與曲線有唯一公共點(diǎn)嗎？

3.說說曲線的切線定義與初中學(xué)習(xí)圓的切線定義有什么不同.

五、歸納總結(jié)，深化認(rèn)識(shí)

1.知識(shí)：

（1）切線的定義；

（2）函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義.

2.思想：體會(huì)數(shù)形結(jié)合、極限等思想方法.

3.應(yīng)用：

（1）“切點(diǎn)—斜率—切線”知一求二；

（2）學(xué)生歸納出求切線的一般步驟.

【教學(xué)反思】

本節(jié)課是高三第一輪的復(fù)習(xí)課，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義都有了一定的認(rèn)識(shí)，但很多學(xué)生由于初學(xué)時(shí)對知識(shí)掌握不牢固或理解不到位，往往知其然，而不知其所以然.因此，本節(jié)課從導(dǎo)數(shù)概念的復(fù)習(xí)入手，利用多媒體技術(shù)動(dòng)畫展示從割線到切線的形成過程并概括導(dǎo)數(shù)的幾何意義，既讓學(xué)生理解了曲線切線的定義，又讓學(xué)生明確了探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義可依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問題的途徑.利用數(shù)形結(jié)合思想方法讓學(xué)生理解了割線通過無限逼近的方法，得到割線斜率的極限就是曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，深化了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)，更體現(xiàn)了新課程背景下對知識(shí)發(fā)生過程推導(dǎo)所占據(jù)的舉足輕重的作用.

同時(shí)，為了適應(yīng)高考對解題能力的要求，對導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用做了分類訓(xùn)練，便于學(xué)生理清思路，讓學(xué)生在主動(dòng)實(shí)踐中歸納方法，舉一反三，提高效率.通過“在”某點(diǎn)處和“過”某點(diǎn)的切線的對比，明確求解切線問題的關(guān)鍵是切點(diǎn)坐標(biāo)，無論是已知切線斜率還是切線經(jīng)過某一點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)都是化解難點(diǎn)的關(guān)鍵所在.最后，通過思考探究的3個(gè)問題的探討，進(jìn)一步深化對切線形成及導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint