例談求動點的軌跡方程

施敏儀

求動點的軌跡方程問題在高中人教A版教科書中必修2第四章第一節及選修2-1第二章第一節中出現，其中選修2-1第二章第一節還給出了求動點的軌跡方程的一般步驟.

求動點的軌跡方程是高考解析幾何題目中常常出現的問題之一，而它是高中數學教學中的一個難點，學生對動點的軌跡方程的理解及動點的軌跡方程的求法都存在困難.本文將列舉近三年高考中常出現的題型及解題方法，供讀者參考.

一、代入法

代入法分為直接代入法和間接代入法兩種.在解析幾何中，代入法就是要求哪個動點的軌跡方程，就設哪個動點的坐標為（x，y），然后根據動點的坐標（x，y）與已知條件的關系列出動點的軌跡方程.

綜觀近幾年的高考題，利用代入法求動點的軌跡方程是高考中常出現的題型，因此讓學生理解并學會運用代入法顯得尤為重要.

1.一般來說，所研究的動點與題目所給的方程或等量關系有直接的聯系，用直接代入法

直接代入法的步驟可簡單歸結為五個：建系；設點；列等式；代入；化簡.

【例1】（2012，四川，理）如圖1，動點M到兩定點A（-1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C.求軌跡C的方程.

分析：題目要求軌跡C的方程，給出的等量關系是∠MBA=2∠MAB.根據點的坐標及給出角的等量關系，我們可以利用兩點斜率公式求出∠MAB和∠MBA的正切值，然后再根據二倍角公式將兩角的正切值聯系起來，得到所要求的軌跡方程.

解析：設軌跡C上任意一點M的坐標為（x，y），顯然有x>0，y≠0.

圖1當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3）；

當∠MBA≠90°時，x≠2，

由∠MBA=2∠MAB，

有tan∠MBA=2tan∠MAB11-tan2∠MAB，

即-|y|1x-2=2y1x+111-（|y|1x+1）2，

化簡得3x2-y2-3=0，方程經過點（2，±3）.

綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）.

評析：（1）根據M、A、B三點構成三角形可得y≠0，由∠MBA=2∠MAB可得x>0；

（2）當∠MBA=90°時，正切值不存在，而題中∠MBA有可能為90°，因此要分情況討論；

（3）由于最后得到軌跡C的方程是雙曲線方程，又因為由題設知x>0，所以可以進一步得到x的范圍為x>1.

2.若所研究的動點與所給的方程或等量關系沒有直接聯系，可以通過找出既與所給方程或等量關系有直接聯系，又與所研究的動點有關系的輔助動點.

如輔助動點Q的坐標可用所研究的動點P的坐標表示，而又找到輔助動點Q的坐標與所給方程或等量關系的聯系，那我們只要將點Q的坐標用點P的坐標表示，再將其代入等式即可.這種方法就是間接代入法.

【例2】（2012，湖北，理）設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|（m>0，m≠1）.當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.

分析：題中所求為動點M的軌跡方程，選取的輔助動點應為點A，它是所給單位圓x2+y2=1上任意一點M，與所求動點存在著這樣的關系：|DM|=m|DA|（m>0，m≠1）.

解析：如圖2-1，設M（x，y），A（x0，y0），則D（x0，0），由|DM|=m|DA|（m>0，m≠1），可得x=x0，|y|=m|y0|，所以x0=x，|y0|=11m|y|①，

因為點A在單位圓上運動，所以x20+y20=1②，

將①式代入②式即得所求曲線C的方程為x2+y21m2=1（m>0，m≠1），

因為m∈（0，1）∪（1，+∞），所以當0

兩焦點坐標分別為（-1-m2，0），（1-m2，0）.

當m>1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（0，-m2-1），（0，m2-1）.

圖2-1圖2-2（01）

評析：根據題目所給的m的范圍，對曲線C為何種曲線進行分類討論.

【例3】（2013，遼寧，理）如圖3，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），點M（x0，y0）在拋物線C2上，過M作C0的切線，切點為A、B（M為原點O時，A、B重合于O）.當x0=1-2時，切線MA的斜率為-112.

圖3（1）求p的值；

（2）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A、B重合于O時，中點為O）.

分析：（1）利用已知條件“當x0=1-2時，切線MA的斜率為-112”及導數的幾何意義，求出當x0=1-2時，A點坐標及切線MA的方程，從而求得y0的取值及p的值.

（2）分別設N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），利用點M是切線MA、MB的交點，得出x0、y0與x1、x2的關系，從而再得到x、y與x0、y0的關系，最后通過代入方程x20=-4y0得出關于x，y的方程，即點N的軌跡方程.

解析：（1）因為拋物線C1：x2=4y上任意一點（x，y）的切線斜率為y′=x12，且切線MA的斜率為-112，所以A點坐標為（-1，114），

故切線MA的方程為y=-112（x+1）+114.

因為點M（1-2，y0）在切線MA及拋物線C2上，

于是y0=-112（2-2）+114=-3-2214，①

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）設N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N為線段AB中點知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因為kmA=x112，kMB=x212，所以切線MA、MB的方程分別為

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交點M（x0，y0）的坐標為x0=x1+x212，y0=x1x214.

因為點M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

將⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

當x1=x2時，A、B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足x2=413y，

因此AB中點N的軌跡方程為x2=413y.

評析：根據題設，通過將⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意討論x1=x2的情況是否也滿足方程x2=413y.

二、定義法

當題目給出的等量關系與圓、橢圓、雙曲線或拋物線定義相一致，我們可以根據題目的已知條件和這幾種圓錐曲線的標準方程直接得出所需要的軌跡方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.求曲線C1的方程.

分析：動點M的軌跡與拋物線的定義相似，因此利用拋物線的方程求出曲線C1的方程.

解析：由題設知，點M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值，

而點M到圓C2上點的距離的最小值為點M到圓心C2（5，0）的距離減去半徑長3，

所以，曲線C1上任意一點M到圓心C2（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，

因此，曲線C1是以（5，0）為焦點，直線x=-5為準線的拋物線，

故其方程為y2=20x.

【例5】（2011，廣東，理）設圓C與兩圓（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一個內切，另一個外切，求圓C的圓心軌跡L的方程.

分析：設圓C的半徑為r，由題可知，圓C的圓心到點（-5，0）的距離為r-2，圓C的圓心到點（5，0）的距離為r+2，因此圓C的圓心到點（-5，0）和點（5，0）的距離之和為4，與橢圓的定義一致.

解析：設圓C的圓心坐標為（x，y），由題設條件知：圓C的圓心到點（-5，0）和點（5，0）的距離之和為4，∴圓C的圓心軌跡L為以（-5，0）和點（5，0）為焦點，2a=4的橢圓.∴圓C的圓心軌跡L的方程為x214-y=1.1endprint

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）設N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N為線段AB中點知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因為kmA=x112，kMB=x212，所以切線MA、MB的方程分別為

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交點M（x0，y0）的坐標為x0=x1+x212，y0=x1x214.

因為點M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

將⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

當x1=x2時，A、B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足x2=413y，

因此AB中點N的軌跡方程為x2=413y.

評析：根據題設，通過將⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意討論x1=x2的情況是否也滿足方程x2=413y.

二、定義法

當題目給出的等量關系與圓、橢圓、雙曲線或拋物線定義相一致，我們可以根據題目的已知條件和這幾種圓錐曲線的標準方程直接得出所需要的軌跡方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.求曲線C1的方程.

分析：動點M的軌跡與拋物線的定義相似，因此利用拋物線的方程求出曲線C1的方程.

解析：由題設知，點M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值，

而點M到圓C2上點的距離的最小值為點M到圓心C2（5，0）的距離減去半徑長3，

所以，曲線C1上任意一點M到圓心C2（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，

因此，曲線C1是以（5，0）為焦點，直線x=-5為準線的拋物線，

故其方程為y2=20x.

【例5】（2011，廣東，理）設圓C與兩圓（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一個內切，另一個外切，求圓C的圓心軌跡L的方程.

分析：設圓C的半徑為r，由題可知，圓C的圓心到點（-5，0）的距離為r-2，圓C的圓心到點（5，0）的距離為r+2，因此圓C的圓心到點（-5，0）和點（5，0）的距離之和為4，與橢圓的定義一致.

解析：設圓C的圓心坐標為（x，y），由題設條件知：圓C的圓心到點（-5，0）和點（5，0）的距離之和為4，∴圓C的圓心軌跡L為以（-5，0）和點（5，0）為焦點，2a=4的橢圓.∴圓C的圓心軌跡L的方程為x214-y=1.1endprint

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）設N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N為線段AB中點知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因為kmA=x112，kMB=x212，所以切線MA、MB的方程分別為

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交點M（x0，y0）的坐標為x0=x1+x212，y0=x1x214.

因為點M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

將⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

當x1=x2時，A、B重合于原點O，AB中點N為O，坐標滿足x2=413y，

因此AB中點N的軌跡方程為x2=413y.

評析：根據題設，通過將⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意討論x1=x2的情況是否也滿足方程x2=413y.

二、定義法

當題目給出的等量關系與圓、橢圓、雙曲線或拋物線定義相一致，我們可以根據題目的已知條件和這幾種圓錐曲線的標準方程直接得出所需要的軌跡方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.求曲線C1的方程.

分析：動點M的軌跡與拋物線的定義相似，因此利用拋物線的方程求出曲線C1的方程.

解析：由題設知，點M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值，

而點M到圓C2上點的距離的最小值為點M到圓心C2（5，0）的距離減去半徑長3，

所以，曲線C1上任意一點M到圓心C2（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，

因此，曲線C1是以（5，0）為焦點，直線x=-5為準線的拋物線，

故其方程為y2=20x.

【例5】（2011，廣東，理）設圓C與兩圓（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一個內切，另一個外切，求圓C的圓心軌跡L的方程.

分析：設圓C的半徑為r，由題可知，圓C的圓心到點（-5，0）的距離為r-2，圓C的圓心到點（5，0）的距離為r+2，因此圓C的圓心到點（-5，0）和點（5，0）的距離之和為4，與橢圓的定義一致.

解析：設圓C的圓心坐標為（x，y），由題設條件知：圓C的圓心到點（-5，0）和點（5，0）的距離之和為4，∴圓C的圓心軌跡L為以（-5，0）和點（5，0）為焦點，2a=4的橢圓.∴圓C的圓心軌跡L的方程為x214-y=1.1endprint