二次函數(shù)的對(duì)稱美

姚曉娟

摘 要： 二次函數(shù)的圖像拋物線是軸對(duì)稱圖形，解決有關(guān)拋物線的問(wèn)題時(shí)，若能巧用拋物線的對(duì)稱性，則?？梢越o出簡(jiǎn)捷的解法，化難為易，形象直觀.

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 拋物線 軸對(duì)稱性

數(shù)學(xué)美，美在哪里？一種美是因?yàn)樗膶?duì)稱和諧，對(duì)稱美，是指組成某種事物或?qū)ο蟮膬蓚€(gè)部分的對(duì)等性，是統(tǒng)一性的特殊表現(xiàn).數(shù)學(xué)的對(duì)稱美絕不單單體現(xiàn)在一些因?qū)ΨQ而美的圖形，更體現(xiàn)在應(yīng)用軸對(duì)稱性簡(jiǎn)單地解決一些問(wèn)題.二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像為拋物線，她具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如對(duì)稱性、單調(diào)性、凹凸性等.本文主要研究二次函數(shù)的軸對(duì)稱性，解決有關(guān)拋物線的問(wèn)題時(shí)，若能巧用拋物線的對(duì)稱性，則?？梢越o出簡(jiǎn)捷的解法，化難為易，形象直觀.

一、美在形

（一）作圖

研究函數(shù)都要先研究函數(shù)的圖像，列表、描點(diǎn)、連線，用光滑的曲線連接，會(huì)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，可以讓學(xué)生自己嘗試畫(huà)圖，感受一下，也可以用軟件精準(zhǔn)地展示出二次函數(shù)的圖形.由于二次函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，因此列表時(shí)我們可以在對(duì)稱軸兩側(cè)找，簡(jiǎn)化作圖步驟，即“五點(diǎn)作圖法”.

（二）二次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)式

二次函數(shù)y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像與x軸相交于點(diǎn)A（x■，0）和B（x■，0），也就是一元二次方程ax■+bx+c=0的解為x■，x■，則根據(jù)韋達(dá)定理有x■+x■=-■，x■x■=■.所以

y=ax■+bx+c=a（x■+■x+■）=a[x■-（-■）x+■]=a[x■-（x■+x■）x+x■x■]=a（x-x■）（x-x■）.

點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線上的一組特殊的對(duì)稱點(diǎn)，于是我們得到了二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x■）（x-x■），但這種形式僅僅適用于與x軸有交點(diǎn)的二次函數(shù)，使用時(shí)有其局限性.但是由此我們可以得到二次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)式，相當(dāng)于把二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)上下平移，也就是把函數(shù)圖像上下平移，這樣A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)就變?yōu)椋▁■，k），（x■，k），即y=a（x-x■）（x-x■）+k，這就是二次函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)式.有了它，我們只要知道拋物線上的一組對(duì)稱點(diǎn)就可以使用對(duì)稱點(diǎn)式求出函數(shù)解析式.反過(guò)來(lái)，如果我們有條件：（x■，k），（x■，k）是拋物線y=ax■+bx+c（a≠0）上的一組對(duì)稱點(diǎn)，也就可以得出此拋物線的對(duì)稱軸是直線x=■.

二、美在隱

在求二次函數(shù)解析式的問(wèn)題時(shí)，要挖掘題中的隱含的條件，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性解題.例：已知x=2m+n+2和x=m+2n時(shí)，多項(xiàng)式x■+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當(dāng)x=3（m+n+1）時(shí)，多項(xiàng)式x■+4x+6的值等于？搖 ？搖.

本題可以引入一個(gè)變量，設(shè)多項(xiàng)式為y=x■+4x+6=（x+2）■+2.

當(dāng)x=2m+n+2和x=m+2n時(shí)，多項(xiàng)式x■+4x+6的值相等，y值相等，且m-n+2≠0，意味著2m+n+2≠m+2n，那么x=2m+n+2和x=m+2n這兩點(diǎn)是拋物線上的一組對(duì)稱點(diǎn)，所以2m+n+2+m+2n=-4，即m+n=-2.所以當(dāng)x=3（m+n+1）時(shí)，多項(xiàng)式y(tǒng)=x■+4x+6=（x+2）■+2=（3m+3n+5）■+2=[3×（-2）+5]■+2=3.

三、美在簡(jiǎn)

二次函數(shù)圖像是一條具有對(duì)稱性的拋物線，如果能合理利用二次函數(shù)的對(duì)稱性解決相關(guān)問(wèn)題，就會(huì)大大簡(jiǎn)化解題，達(dá)到事半功倍的效果.

例1.初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點(diǎn)法”畫(huà)二次函數(shù)y=ax■+bx+c的圖像時(shí)，列了如下表格：

根據(jù)表格上的信息回答問(wèn)題：該二次函數(shù)y=ax■+bx+c在x=3時(shí)，y=？搖 ？搖.

本題乍一看需要帶入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出a、b、c的值，得到二次函數(shù)關(guān)系式，然后再代入當(dāng)x=3時(shí)求y的值.但是仔細(xì)觀察一下，當(dāng)x分別取0和2時(shí)，對(duì)應(yīng)的y值都是-2■，根據(jù)二次函數(shù)的軸對(duì)稱性可以確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，再來(lái)看要求x=3時(shí)求y的值，根據(jù)二次函數(shù)的軸對(duì)稱性應(yīng)該等于x=-1時(shí)的y值，從而可以很快得到y(tǒng)=-4.巧妙運(yùn)用二次函數(shù)的軸對(duì)稱性可以大大簡(jiǎn)化解題，從而節(jié)省解題時(shí)間.

例2.已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO.

（1）試直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連接OP.

①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大.

本題最后一問(wèn)要用二次函數(shù)的對(duì)稱性解決，存在點(diǎn)T，使得|TO-TB|的值最大.由前面可得拋物線y=■x■-■x的對(duì)稱軸為直線x=■，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（■，0），∵點(diǎn)O、點(diǎn)E關(guān)于直線x=■對(duì)稱∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即使得|TE-TB|的值最大.根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)T、E、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，|TE-TB|的值最大.設(shè)過(guò)B、E兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），∴3k+b=2■k+b=0，解得：k=■b=-2，∴直線BE的解析式為y=■x-2.當(dāng)x=■時(shí)，y=■×■-2=-1，∴存在一點(diǎn)T（■，-1）使得|TO-TB|最大.

本題借助拋物線的軸對(duì)稱性，把位于對(duì)稱軸兩側(cè)的點(diǎn)變換到了同一側(cè)，使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的邊之間的關(guān)系，使得解題思路簡(jiǎn)單清晰.

古代哲學(xué)家普洛克拉斯說(shuō)過(guò)：哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美.作為科學(xué)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)，具有一般語(yǔ)言文學(xué)與藝術(shù)所共有的美的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都具有自身的某種美，即數(shù)學(xué)美.就二次函數(shù)而言，由于拋物線是軸對(duì)稱圖形，因此對(duì)稱性在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的過(guò)程中發(fā)揮了非常重要的作用.對(duì)于有關(guān)二次函數(shù)的一些題目，如果用其他方法解決可能就會(huì)繞很長(zhǎng)的彎路，但若利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合地解決問(wèn)題，就會(huì)事半功倍.