嚴謹思考 規范表述

劉劍平

一、真題再現及試題評述

16.（本小題滿分14分）

如圖1，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，

點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：（1）平面EFC∥平面ABC；

（2）BC⊥SA.

試題以三棱錐為載體，主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理及性質定理，檢驗了學生的空間想象能力和推理論證能力.試題考查知識點廣泛，條件簡明，表述清晰，立意明確，思路明朗，有利于學生上手，使學生從緊張的填空題中走出來，緩和學生的緊張情緒，對于鼓勵學生信心，促使學生進入正常思維狀態有著積極作用，屬于承上啟下的常規題.

二、本題解法綜述

1.省教育考試院發布的官方解答

（1）因為SA=AB且AF⊥SB，垂足為F，所以F為SB的中點.

又因為E為SA的中點，所以，EF∥AB.

因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E，所以，平面EFG∥平面ABC .

（2）因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，又AF平面ASB，AF⊥SB，所以，AF⊥平面SBC.

因為BC平面SBC，所以，AF⊥BC.

又因為AB⊥BC，AF∩AB=A，AF、AB平面SAB，所以，BC⊥平面SAB.因為SA平面SAB，所以，BC⊥SA.

2.其他解法

本題思路單一，入口較窄，其他解法只是幾個條件的不同排列而已.

（1）因為E、G分別為SA、SC的中點，所以EG∥AC.又因為EG平面ABC，AC平面ABC，所以EG∥平面ABC.因為AS=AB，AF⊥SB，所以F為SB中點.

因為G為SC中點，所以FG∥BC.

又因為FG平面ABC，BC平面ABC， 所以FG∥平面ABC.

因為FG∥平面ABC，EG∥平面ABC，FG∩EG=G，FG、EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

（2）另解一：因為平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB ，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF⊥平面SBC.又因為FG平面SBC，所以AF⊥FG.

由（1）知FG∥BC且AB⊥BC，所以AB⊥FG.

因為AF⊥FG，AB⊥FG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG⊥平面SAB.因為SA面SAB，所以FG⊥SA.因為FG∥BC，所以BC⊥SA.

另解二：因為平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF⊥平面SBC.又因為FG平面SBC，所以AF⊥FG.

由（1）知FG∥BC且AB⊥BC，所以AB⊥FG.

因為AF⊥FG，AB⊥FG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG⊥平面SAB.因為FG∥BC，所以，BC⊥平面SAB.

因為SA平面SAB，所以，BC⊥SA.

三、閱卷過程中發現的主要問題

1.審題不清，書寫不準，筆誤導致錯誤

部分同學看到題中條件“點E，G分別是棱SA，SC的中點”，就想當然的把F也當做中點，以此為邏輯起點來證明線線平行.這反映了這部分同學心里急躁，審題不清，根本沒把題中條件看好，平時沒有形成良好的解題習慣.部分同學書寫時過急，或者過于隨意，例如把“AS=AB”寫成“SA=SB”，或者把“面SAB”寫成“SBC”，其他證明過程沒有任何問題.這些丟分實在可惜，讓人心疼.

2.概念不清，條件缺失，基礎必須夯實

閱卷過程中發現，部分同學直接用一條直線平行于平面證明面面平行，還有部分同學利用“面面垂直性質定理”時只寫了一個面面垂直，缺少“垂直于交線”這個線線垂直的條件.這些都說明了這些同學對于最基本的定理都沒有掌握，何談靈活運用.經過認真分析發現，絕大部分犯此類錯誤的同學不是粗心丟失條件，而是對題目考查的定理缺乏認知.這反映了這部分同學基礎知識不牢，對立體幾何中最基本的定理理解不到位.也給我們教師一些啟示，被平時作業或練習表面繁榮遮蔽了眼睛，或者為追求進度效率而忽視了部分學習困難生.

3.謀劃不全，思路混亂，邏輯推理要加強

在證明（1）的過程中，有些同學首先用“F為SB中點”作為邏輯起點證明線線平行，然后在后面邏輯段中證明“F為SB中點”.這種順序顛倒的背后反應了學生對問題理解不深刻，分析不透徹，謀劃不到位.還有的同學在證明（2）的過程中先在面SBC內向SB作了一條垂線，然后順著這種思路往下證.雖然這種解法邏輯上說得通，但是浪費了寶貴的考試時間，而且其中部分細節值得推敲.這些情況反映了學生的推理論證能力不強，邏輯思維能力有待于進一步提高.此外，還有部分考生卷面有大篇幅的涂改、刪除現象.這固然是考試時的緊張心理所致，但答題時草率上手、匆匆讀完題后就急于答題、對題意不求甚解、思考不充分必然導致邏輯混亂，從而出現漏寫、多寫、錯寫等各種錯誤，只好大面積的涂改.這些不良的答題習慣與平時的數學復習訓練不到位有很大關系.

四、對今后的教學啟示

1.構建知識網絡，提升思維水平

立體幾何中涉及的概念、性質和定理比較多，但知識點之間的聯系也比較緊密.在平時練習中要注意歸納和概括，對知識點準確把握，掌握對一類題目的常規解法，熟記定理中的每一個條件.高考復習時更要不斷總結反思、強化知識體系.教師可以運用概念圖或其他的知識框架幫助學生梳理知識形成系統. 筆者在一輪教學時就設計了知識框架圖（如下圖），帶領學生通過回憶知識點，在相應的線上填上相應的定理及條件，從而加強學生對定理的掌握.同時 還應鼓勵學生一題多解、善于用不同方法解題，培養學生多角度思考問題的能力，比較不同解法

一、真題再現及試題評述

16.（本小題滿分14分）

如圖1，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，

點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：（1）平面EFC∥平面ABC；

（2）BC⊥SA.

試題以三棱錐為載體，主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理及性質定理，檢驗了學生的空間想象能力和推理論證能力.試題考查知識點廣泛，條件簡明，表述清晰，立意明確，思路明朗，有利于學生上手，使學生從緊張的填空題中走出來，緩和學生的緊張情緒，對于鼓勵學生信心，促使學生進入正常思維狀態有著積極作用，屬于承上啟下的常規題.

二、本題解法綜述

1.省教育考試院發布的官方解答

（1）因為SA=AB且AF⊥SB，垂足為F，所以F為SB的中點.

又因為E為SA的中點，所以，EF∥AB.

因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E，所以，平面EFG∥平面ABC .

（2）因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，又AF平面ASB，AF⊥SB，所以，AF⊥平面SBC.

因為BC平面SBC，所以，AF⊥BC.

又因為AB⊥BC，AF∩AB=A，AF、AB平面SAB，所以，BC⊥平面SAB.因為SA平面SAB，所以，BC⊥SA.

2.其他解法

本題思路單一，入口較窄，其他解法只是幾個條件的不同排列而已.

（1）因為E、G分別為SA、SC的中點，所以EG∥AC.又因為EG平面ABC，AC平面ABC，所以EG∥平面ABC.因為AS=AB，AF⊥SB，所以F為SB中點.

因為G為SC中點，所以FG∥BC.

又因為FG平面ABC，BC平面ABC， 所以FG∥平面ABC.

因為FG∥平面ABC，EG∥平面ABC，FG∩EG=G，FG、EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

（2）另解一：因為平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB ，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF⊥平面SBC.又因為FG平面SBC，所以AF⊥FG.

由（1）知FG∥BC且AB⊥BC，所以AB⊥FG.

因為AF⊥FG，AB⊥FG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG⊥平面SAB.因為SA面SAB，所以FG⊥SA.因為FG∥BC，所以BC⊥SA.

另解二：因為平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF⊥平面SBC.又因為FG平面SBC，所以AF⊥FG.

由（1）知FG∥BC且AB⊥BC，所以AB⊥FG.

因為AF⊥FG，AB⊥FG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG⊥平面SAB.因為FG∥BC，所以，BC⊥平面SAB.

因為SA平面SAB，所以，BC⊥SA.

三、閱卷過程中發現的主要問題

1.審題不清，書寫不準，筆誤導致錯誤

部分同學看到題中條件“點E，G分別是棱SA，SC的中點”，就想當然的把F也當做中點，以此為邏輯起點來證明線線平行.這反映了這部分同學心里急躁，審題不清，根本沒把題中條件看好，平時沒有形成良好的解題習慣.部分同學書寫時過急，或者過于隨意，例如把“AS=AB”寫成“SA=SB”，或者把“面SAB”寫成“SBC”，其他證明過程沒有任何問題.這些丟分實在可惜，讓人心疼.

2.概念不清，條件缺失，基礎必須夯實

閱卷過程中發現，部分同學直接用一條直線平行于平面證明面面平行，還有部分同學利用“面面垂直性質定理”時只寫了一個面面垂直，缺少“垂直于交線”這個線線垂直的條件.這些都說明了這些同學對于最基本的定理都沒有掌握，何談靈活運用.經過認真分析發現，絕大部分犯此類錯誤的同學不是粗心丟失條件，而是對題目考查的定理缺乏認知.這反映了這部分同學基礎知識不牢，對立體幾何中最基本的定理理解不到位.也給我們教師一些啟示，被平時作業或練習表面繁榮遮蔽了眼睛，或者為追求進度效率而忽視了部分學習困難生.

3.謀劃不全，思路混亂，邏輯推理要加強

在證明（1）的過程中，有些同學首先用“F為SB中點”作為邏輯起點證明線線平行，然后在后面邏輯段中證明“F為SB中點”.這種順序顛倒的背后反應了學生對問題理解不深刻，分析不透徹，謀劃不到位.還有的同學在證明（2）的過程中先在面SBC內向SB作了一條垂線，然后順著這種思路往下證.雖然這種解法邏輯上說得通，但是浪費了寶貴的考試時間，而且其中部分細節值得推敲.這些情況反映了學生的推理論證能力不強，邏輯思維能力有待于進一步提高.此外，還有部分考生卷面有大篇幅的涂改、刪除現象.這固然是考試時的緊張心理所致，但答題時草率上手、匆匆讀完題后就急于答題、對題意不求甚解、思考不充分必然導致邏輯混亂，從而出現漏寫、多寫、錯寫等各種錯誤，只好大面積的涂改.這些不良的答題習慣與平時的數學復習訓練不到位有很大關系.

四、對今后的教學啟示

1.構建知識網絡，提升思維水平

立體幾何中涉及的概念、性質和定理比較多，但知識點之間的聯系也比較緊密.在平時練習中要注意歸納和概括，對知識點準確把握，掌握對一類題目的常規解法，熟記定理中的每一個條件.高考復習時更要不斷總結反思、強化知識體系.教師可以運用概念圖或其他的知識框架幫助學生梳理知識形成系統. 筆者在一輪教學時就設計了知識框架圖（如下圖），帶領學生通過回憶知識點，在相應的線上填上相應的定理及條件，從而加強學生對定理的掌握.同時 還應鼓勵學生一題多解、善于用不同方法解題，培養學生多角度思考問題的能力，比較不同解法

一、真題再現及試題評述

16.（本小題滿分14分）

如圖1，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，

點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：（1）平面EFC∥平面ABC；

（2）BC⊥SA.

試題以三棱錐為載體，主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理及性質定理，檢驗了學生的空間想象能力和推理論證能力.試題考查知識點廣泛，條件簡明，表述清晰，立意明確，思路明朗，有利于學生上手，使學生從緊張的填空題中走出來，緩和學生的緊張情緒，對于鼓勵學生信心，促使學生進入正常思維狀態有著積極作用，屬于承上啟下的常規題.

二、本題解法綜述

1.省教育考試院發布的官方解答

（1）因為SA=AB且AF⊥SB，垂足為F，所以F為SB的中點.

又因為E為SA的中點，所以，EF∥AB.

因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E，所以，平面EFG∥平面ABC .

（2）因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，又AF平面ASB，AF⊥SB，所以，AF⊥平面SBC.

因為BC平面SBC，所以，AF⊥BC.

又因為AB⊥BC，AF∩AB=A，AF、AB平面SAB，所以，BC⊥平面SAB.因為SA平面SAB，所以，BC⊥SA.

2.其他解法

本題思路單一，入口較窄，其他解法只是幾個條件的不同排列而已.

（1）因為E、G分別為SA、SC的中點，所以EG∥AC.又因為EG平面ABC，AC平面ABC，所以EG∥平面ABC.因為AS=AB，AF⊥SB，所以F為SB中點.

因為G為SC中點，所以FG∥BC.

又因為FG平面ABC，BC平面ABC， 所以FG∥平面ABC.

因為FG∥平面ABC，EG∥平面ABC，FG∩EG=G，FG、EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

（2）另解一：因為平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB ，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF⊥平面SBC.又因為FG平面SBC，所以AF⊥FG.

由（1）知FG∥BC且AB⊥BC，所以AB⊥FG.

因為AF⊥FG，AB⊥FG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG⊥平面SAB.因為SA面SAB，所以FG⊥SA.因為FG∥BC，所以BC⊥SA.

另解二：因為平面SAB⊥平面SBC，AF⊥SB，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF⊥平面SBC.又因為FG平面SBC，所以AF⊥FG.

由（1）知FG∥BC且AB⊥BC，所以AB⊥FG.

因為AF⊥FG，AB⊥FG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG⊥平面SAB.因為FG∥BC，所以，BC⊥平面SAB.

因為SA平面SAB，所以，BC⊥SA.

三、閱卷過程中發現的主要問題

1.審題不清，書寫不準，筆誤導致錯誤

部分同學看到題中條件“點E，G分別是棱SA，SC的中點”，就想當然的把F也當做中點，以此為邏輯起點來證明線線平行.這反映了這部分同學心里急躁，審題不清，根本沒把題中條件看好，平時沒有形成良好的解題習慣.部分同學書寫時過急，或者過于隨意，例如把“AS=AB”寫成“SA=SB”，或者把“面SAB”寫成“SBC”，其他證明過程沒有任何問題.這些丟分實在可惜，讓人心疼.

2.概念不清，條件缺失，基礎必須夯實

閱卷過程中發現，部分同學直接用一條直線平行于平面證明面面平行，還有部分同學利用“面面垂直性質定理”時只寫了一個面面垂直，缺少“垂直于交線”這個線線垂直的條件.這些都說明了這些同學對于最基本的定理都沒有掌握，何談靈活運用.經過認真分析發現，絕大部分犯此類錯誤的同學不是粗心丟失條件，而是對題目考查的定理缺乏認知.這反映了這部分同學基礎知識不牢，對立體幾何中最基本的定理理解不到位.也給我們教師一些啟示，被平時作業或練習表面繁榮遮蔽了眼睛，或者為追求進度效率而忽視了部分學習困難生.

3.謀劃不全，思路混亂，邏輯推理要加強

在證明（1）的過程中，有些同學首先用“F為SB中點”作為邏輯起點證明線線平行，然后在后面邏輯段中證明“F為SB中點”.這種順序顛倒的背后反應了學生對問題理解不深刻，分析不透徹，謀劃不到位.還有的同學在證明（2）的過程中先在面SBC內向SB作了一條垂線，然后順著這種思路往下證.雖然這種解法邏輯上說得通，但是浪費了寶貴的考試時間，而且其中部分細節值得推敲.這些情況反映了學生的推理論證能力不強，邏輯思維能力有待于進一步提高.此外，還有部分考生卷面有大篇幅的涂改、刪除現象.這固然是考試時的緊張心理所致，但答題時草率上手、匆匆讀完題后就急于答題、對題意不求甚解、思考不充分必然導致邏輯混亂，從而出現漏寫、多寫、錯寫等各種錯誤，只好大面積的涂改.這些不良的答題習慣與平時的數學復習訓練不到位有很大關系.

四、對今后的教學啟示

1.構建知識網絡，提升思維水平

立體幾何中涉及的概念、性質和定理比較多，但知識點之間的聯系也比較緊密.在平時練習中要注意歸納和概括，對知識點準確把握，掌握對一類題目的常規解法，熟記定理中的每一個條件.高考復習時更要不斷總結反思、強化知識體系.教師可以運用概念圖或其他的知識框架幫助學生梳理知識形成系統. 筆者在一輪教學時就設計了知識框架圖（如下圖），帶領學生通過回憶知識點，在相應的線上填上相應的定理及條件，從而加強學生對定理的掌握.同時 還應鼓勵學生一題多解、善于用不同方法解題，培養學生多角度思考問題的能力，比較不同解法