發現—歸納—猜想—證明

季新宇

摘 要： 在傳統教學過程中，教師經常說“請認真聽，請注意聽”，殊不知“聽”在學生的腦海中留下的痕跡是模糊的、不深刻的.面對“老師難教，學生難學”的現狀，作者以“發現—歸納—猜想—證明”為主脈絡組織教學，鼓勵學生積極思考、探索，不斷地讓他們體驗成就感，走出了“教”和“學”的兩難境地.

關鍵詞： 發現 歸納 猜想 證明

美國心理學家布魯納說過：我聽了，我就忘了；我看了，我就記住了；我做了，我就理解了.在傳統的教學過程中，教師經常說“請認真聽，請注意聽”，殊不知“聽”在學生的腦海中留下的痕跡是模糊的、不深刻的，不久即忘了，于是又強調“做”，“題山”也就必然出現在學生面前，在教學過程中本該予以強調的“思維、探索、體驗”被索之高閣，棄而不用.我在組織學生進行《三角函數》的學習過程中，面對“老師難教，學生難學”，我以“發現—歸納—猜想—證明”為主脈絡組織教學，鼓勵學生積極思考、探索，不斷地讓他們體驗成就感，走出了“教”和“學”的兩難境地，取得了良好的教學效果，形成了自己的教學理念.

一、引導學生運用已有的知識和經驗，讓他們主動探索知識的產生與發展

問題的引入：1、在一個30°的斜坡上，鋪設水管，并建造如圖中的支架，問（1）鋪設的水管為100米時，支架高度多少米？（2）鋪設水管為200米時，支架高度為多少米？（3）若支架高度為150米時，鋪設水管為多長？（4）支架的高度與鋪設水管之間有什么關系？

學生根據已有的知識尋求到答案，（1）為支架高為50米；（2）支架高為100米；（3）水管長為300米；（4）支架的高度是水管長度的一半，其依據為直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半.

將30°分別改為45°，60°等情況予以研究，學生不難得出，這些角所對的直角邊與斜邊之比為一定值.

二、通過猜想進一步拓展知識

若這一角度是銳角呢？讓學生充分想象，學生不難得出如圖中：■=■，進而得出在直角三角形中，當∠A固定不變時，∠A所對的直角邊與斜邊之比為一定值.

三、讓學生從證明猜想的過程中體驗成功的喜悅

學生已掌握了相似三角形的判定和性質，得出△ABC∽△ADE，從而證明了■=■猜想的正確性，體驗到成就感.此時啟發學生思考：在圖中還有哪些線段成比例，學生容易得出：■=■，■=■，■=■，總結出：在直角三角形中，當銳角A固定不變時，■、■、■、■均為定值，為了進一步研究方便，我們分別予以定義為正弦，余弦，正切和余切.

四、注重知識的產生和發展過程

“一個銳角的正弦（或余弦）同它的余角的余弦（或正弦）相等的教學活動中”，我先讓學生運用定義求出sin30°=■，sin60°=■，cos30°=■，cos60°=■，再觀察總結：sin30°=cos60°，cos30°=sin60°，提問：30°和60°的角是什么關系？（互余）拓展猜想：一個銳角的正弦（或余弦）同它的余角的余弦（或正弦）什么關系？（相等）；運用定義再進行證明，轉化為表達式：sinA=cos（90°-A）；cosA=Sin（90°-A）.

五、激勵學生活學活用，不拘泥于書本

以sinA=cos（90°-A），cosA=sinA（90°-A）為基本知識點的有這樣基本題例：將下列各角的正弦（或余弦）轉化為余弦（或正弦），書中的例題的解答是這樣的：

sin20°=sin（90°-70°）=cos70°

cos35°15，=cos（90°-54°45′）=sin54°45′

我讓學生閱讀此例，思考是否還有其他方法，并分組進行討論.這時有幾個小組發現了一種新的解法：

sin20°=cos（90°-20°）=cos20°

cos35°15′=sin（90°-35°15′）=sin54°45′

哪一種解法最優呢？贊成書上的解法的同學寥寥無幾，而解法二得到了認同.我進一步提問：解法2優在何處？一個學生說：書中的解法是公式的反用，難以理解sin20°=sin（90°-70°） cos35°15′=cos（90°-54°45′），要寫出這兩式子都必須先寫出20°，35°15′的余角，很不方便；而解法二中是公式的正用，是不需要計算20°，35°15′的余角，所以最優.這學生的發言博得滿堂彩.

六、 從“笑話”中汲取知識

在講解正切，余切的定義時，我說到■的值叫∠A的正切，■的值叫∠A的……此時一位學生脫口而出：倒切.哄笑過后，我問那個學生：為什么認為是倒切呢？他說：■和■互為倒數，既然■是正切，那么顯然■叫倒切了.這個學生說明他定義“倒切”的理由時，顯而易見地引導其他學生注意到了正切和余切的倒數關系.

參考文獻：

[1]中學教學（數學）.2011.

[2]數學課程標準（實驗稿）.

[3]郭思樂著.漫話數學歸納法.