一道2013年高考壓軸題的探究

郭勝光

2013年全國高考數學山東卷理科第22題：橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為32，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點.設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

此題題設簡明、立意新穎，主要考查橢圓方程、直線方程、三角形內角平分線、直線和橢圓的位置關系、兩點連線的斜率公式等基礎知識，考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.是較好的壓軸題.

筆者將此題作為能力測試題，對所教高二兩個理科實驗班學生測試，測試時間為20分鐘，滿分為14分，結果兩班108位同學只有2個同學得14分，10分以上的同學22人，8分以上的同學41人，平均得分6.9分，難度系數為0.49.筆者所教兩個班是全年級學生程度最好的兩個班，尚且得分率不高，何況大部分學生主要靠第（Ⅰ）小題得分，鑒于此，筆者對此題做了認真探究.

1.解法探究

（Ⅰ）由題意容易求得橢圓C的方程為x24+y2=1.

（Ⅱ）解法1：設P（x0，y0）（y0≠0）.又F1（-3，0），F2（3，0）所以直線PF1，PF2的方程分別為lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0=0，lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0=0.由題意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2=|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于點P在橢圓上，所以x204+y20=1，則|m+3|（32x0-2）2=|m-3|（32x0+2）2.所以m=34x0.

因為-3

解法2 設P（x0，y0）（y0≠0）.由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即（2+32x0）（3-m）=（2-32x0）（3+m），解得m=34x0.因為-2

（Ⅲ） 證法1：設P（x0，y0）（y0≠0），則直線l方程為y=y0=k（x-x0）.將l方程代入橢圓方程x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）=0，由題意得Δ=0，即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0.又x24+y20=1，所以16y20k2+8x0y0k+x20=0，故k=-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2=x0+3y0+x0-3y0=2x0y0.則1kk1+1kk2=1k（1k1+1k2）=（-4y0x0）·2x0y0=-8=定值.

證法2 設P（x0，y0）（y0≠0），因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，則直線l是過P點與橢圓C相切的切線. 在方程x24+y2=1兩邊對x求導得12x+2yy′=0，所以k=-x04y0.以下證法與證法1相同.

2. 結論推廣

定理1 橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的內角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），則-a2-b2a

為證定理1，先證引理1.

引理1 橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.則∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

證明 設P（x0，y0）（y0≠0），∠F1PF2的內角平分線PM交C的長軸于點M（m，0）.

由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即a+ex0a-ex0=m+cc-m（其中e為橢圓的離心率，c2=a2-b2），解得m=e2x0.

若x0=0，顯然∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

若x0≠0，因為m=e2x0，所以直線PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因為PH⊥PM，所以外角平分線PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而過點P與橢圓C相切的切線斜率為-b2x0a2y0，則∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

定理1 證明： 設P（x0，y0）（y0≠0）.由引理1的證明得m=e2x0，因為-a

定理2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是雙曲線C上除頂點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的外角平分線PH交C的實軸于點H（m，0），則m<-a2+b2a，或m>a2+b2a；若過點P雙曲線切線的斜率k≠0，則1kk1+1kk2為定值.為證定理2，先證引理2.

引理2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是雙曲線C上除頂點外的任一點，連接PF1，PF2.則∠F1PF2的內角平分線與雙曲線相切.

證明：設P（x0，y0（y0≠0），∠F1PF2的內角平分線PM交C的實軸于點M（t，0）.

由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即ex0+aex0-a=t+cc-t（其中e為雙曲線的離心率，c2=a2+b2），解得t=a2x0.所以∠F1PF2的內角平分線PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2，又x20a2-y20b2=1，則kPM=b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2=1兩邊對x求導得2xa2-2yy′b2=0，即y′=b2xa2y，則過點P與雙曲線相切的切線斜率=b2x0a2y0=kPM，故∠F1PF2的內角平分線與雙曲線相切.

定理2證明： 設P（x0，y0）（y0≠0），由引理2證明知∠F1PF2的內角平分線PM的斜率kPM=b2x0a2y0，因為PH⊥PM，所以∠F1PF2外角平分線PH的斜率kPH=-a2y0b2x0，則直線PH的方程為y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0得x=e2x0，即m=e2x0，又x0<-a或x0>a.則m<-a2+b2a，或m>a2+b2a.1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，k=kPM=b2x0a2y0，1k=a2y0b2x0， 則1kk1=1kk2=2x0y0·a2y0b2x0=2a2b2=定值.

2013年全國高考數學山東卷理科第22題：橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為32，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點.設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

此題題設簡明、立意新穎，主要考查橢圓方程、直線方程、三角形內角平分線、直線和橢圓的位置關系、兩點連線的斜率公式等基礎知識，考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.是較好的壓軸題.

筆者將此題作為能力測試題，對所教高二兩個理科實驗班學生測試，測試時間為20分鐘，滿分為14分，結果兩班108位同學只有2個同學得14分，10分以上的同學22人，8分以上的同學41人，平均得分6.9分，難度系數為0.49.筆者所教兩個班是全年級學生程度最好的兩個班，尚且得分率不高，何況大部分學生主要靠第（Ⅰ）小題得分，鑒于此，筆者對此題做了認真探究.

1.解法探究

（Ⅰ）由題意容易求得橢圓C的方程為x24+y2=1.

（Ⅱ）解法1：設P（x0，y0）（y0≠0）.又F1（-3，0），F2（3，0）所以直線PF1，PF2的方程分別為lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0=0，lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0=0.由題意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2=|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于點P在橢圓上，所以x204+y20=1，則|m+3|（32x0-2）2=|m-3|（32x0+2）2.所以m=34x0.

因為-3

解法2 設P（x0，y0）（y0≠0）.由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即（2+32x0）（3-m）=（2-32x0）（3+m），解得m=34x0.因為-2

（Ⅲ） 證法1：設P（x0，y0）（y0≠0），則直線l方程為y=y0=k（x-x0）.將l方程代入橢圓方程x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）=0，由題意得Δ=0，即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0.又x24+y20=1，所以16y20k2+8x0y0k+x20=0，故k=-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2=x0+3y0+x0-3y0=2x0y0.則1kk1+1kk2=1k（1k1+1k2）=（-4y0x0）·2x0y0=-8=定值.

證法2 設P（x0，y0）（y0≠0），因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，則直線l是過P點與橢圓C相切的切線. 在方程x24+y2=1兩邊對x求導得12x+2yy′=0，所以k=-x04y0.以下證法與證法1相同.

2. 結論推廣

定理1 橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的內角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），則-a2-b2a

為證定理1，先證引理1.

引理1 橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.則∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

證明 設P（x0，y0）（y0≠0），∠F1PF2的內角平分線PM交C的長軸于點M（m，0）.

由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即a+ex0a-ex0=m+cc-m（其中e為橢圓的離心率，c2=a2-b2），解得m=e2x0.

若x0=0，顯然∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

若x0≠0，因為m=e2x0，所以直線PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因為PH⊥PM，所以外角平分線PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而過點P與橢圓C相切的切線斜率為-b2x0a2y0，則∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

定理1 證明： 設P（x0，y0）（y0≠0）.由引理1的證明得m=e2x0，因為-a

定理2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是雙曲線C上除頂點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的外角平分線PH交C的實軸于點H（m，0），則m<-a2+b2a，或m>a2+b2a；若過點P雙曲線切線的斜率k≠0，則1kk1+1kk2為定值.為證定理2，先證引理2.

引理2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是雙曲線C上除頂點外的任一點，連接PF1，PF2.則∠F1PF2的內角平分線與雙曲線相切.

證明：設P（x0，y0（y0≠0），∠F1PF2的內角平分線PM交C的實軸于點M（t，0）.

由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即ex0+aex0-a=t+cc-t（其中e為雙曲線的離心率，c2=a2+b2），解得t=a2x0.所以∠F1PF2的內角平分線PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2，又x20a2-y20b2=1，則kPM=b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2=1兩邊對x求導得2xa2-2yy′b2=0，即y′=b2xa2y，則過點P與雙曲線相切的切線斜率=b2x0a2y0=kPM，故∠F1PF2的內角平分線與雙曲線相切.

定理2證明： 設P（x0，y0）（y0≠0），由引理2證明知∠F1PF2的內角平分線PM的斜率kPM=b2x0a2y0，因為PH⊥PM，所以∠F1PF2外角平分線PH的斜率kPH=-a2y0b2x0，則直線PH的方程為y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0得x=e2x0，即m=e2x0，又x0<-a或x0>a.則m<-a2+b2a，或m>a2+b2a.1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，k=kPM=b2x0a2y0，1k=a2y0b2x0， 則1kk1=1kk2=2x0y0·a2y0b2x0=2a2b2=定值.

2013年全國高考數學山東卷理科第22題：橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，離心率為32，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點.設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個定值.

此題題設簡明、立意新穎，主要考查橢圓方程、直線方程、三角形內角平分線、直線和橢圓的位置關系、兩點連線的斜率公式等基礎知識，考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.是較好的壓軸題.

筆者將此題作為能力測試題，對所教高二兩個理科實驗班學生測試，測試時間為20分鐘，滿分為14分，結果兩班108位同學只有2個同學得14分，10分以上的同學22人，8分以上的同學41人，平均得分6.9分，難度系數為0.49.筆者所教兩個班是全年級學生程度最好的兩個班，尚且得分率不高，何況大部分學生主要靠第（Ⅰ）小題得分，鑒于此，筆者對此題做了認真探究.

1.解法探究

（Ⅰ）由題意容易求得橢圓C的方程為x24+y2=1.

（Ⅱ）解法1：設P（x0，y0）（y0≠0）.又F1（-3，0），F2（3，0）所以直線PF1，PF2的方程分別為lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0=0，lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0=0.由題意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2=|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于點P在橢圓上，所以x204+y20=1，則|m+3|（32x0-2）2=|m-3|（32x0+2）2.所以m=34x0.

因為-3

解法2 設P（x0，y0）（y0≠0）.由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即（2+32x0）（3-m）=（2-32x0）（3+m），解得m=34x0.因為-2

（Ⅲ） 證法1：設P（x0，y0）（y0≠0），則直線l方程為y=y0=k（x-x0）.將l方程代入橢圓方程x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）=0，由題意得Δ=0，即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0.又x24+y20=1，所以16y20k2+8x0y0k+x20=0，故k=-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2=x0+3y0+x0-3y0=2x0y0.則1kk1+1kk2=1k（1k1+1k2）=（-4y0x0）·2x0y0=-8=定值.

證法2 設P（x0，y0）（y0≠0），因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，則直線l是過P點與橢圓C相切的切線. 在方程x24+y2=1兩邊對x求導得12x+2yy′=0，所以k=-x04y0.以下證法與證法1相同.

2. 結論推廣

定理1 橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的內角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），則-a2-b2a

為證定理1，先證引理1.

引理1 橢圓C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2.則∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

證明 設P（x0，y0）（y0≠0），∠F1PF2的內角平分線PM交C的長軸于點M（m，0）.

由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即a+ex0a-ex0=m+cc-m（其中e為橢圓的離心率，c2=a2-b2），解得m=e2x0.

若x0=0，顯然∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

若x0≠0，因為m=e2x0，所以直線PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因為PH⊥PM，所以外角平分線PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而過點P與橢圓C相切的切線斜率為-b2x0a2y0，則∠F1PF2的外角平分線PH與橢圓C相切.

定理1 證明： 設P（x0，y0）（y0≠0）.由引理1的證明得m=e2x0，因為-a

定理2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是雙曲線C上除頂點外的任一點，連接PF1，PF2.設∠F1PF2的外角平分線PH交C的實軸于點H（m，0），則m<-a2+b2a，或m>a2+b2a；若過點P雙曲線切線的斜率k≠0，則1kk1+1kk2為定值.為證定理2，先證引理2.

引理2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2.點P是雙曲線C上除頂點外的任一點，連接PF1，PF2.則∠F1PF2的內角平分線與雙曲線相切.

證明：設P（x0，y0（y0≠0），∠F1PF2的內角平分線PM交C的實軸于點M（t，0）.

由題意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即ex0+aex0-a=t+cc-t（其中e為雙曲線的離心率，c2=a2+b2），解得t=a2x0.所以∠F1PF2的內角平分線PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2，又x20a2-y20b2=1，則kPM=b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2=1兩邊對x求導得2xa2-2yy′b2=0，即y′=b2xa2y，則過點P與雙曲線相切的切線斜率=b2x0a2y0=kPM，故∠F1PF2的內角平分線與雙曲線相切.

定理2證明： 設P（x0，y0）（y0≠0），由引理2證明知∠F1PF2的內角平分線PM的斜率kPM=b2x0a2y0，因為PH⊥PM，所以∠F1PF2外角平分線PH的斜率kPH=-a2y0b2x0，則直線PH的方程為y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0得x=e2x0，即m=e2x0，又x0<-a或x0>a.則m<-a2+b2a，或m>a2+b2a.1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，k=kPM=b2x0a2y0，1k=a2y0b2x0， 則1kk1=1kk2=2x0y0·a2y0b2x0=2a2b2=定值.