讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生思維轉(zhuǎn)化能力

陳萬斌

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，而語言的教學(xué)是離不開閱讀的.大部分學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的學(xué)生正是因為對于數(shù)學(xué)語言的理解困難而造成的.加強閱讀能力的培養(yǎng)，有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高.其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是包括對概念的閱讀理解，所求問題的理解，只有這些環(huán)節(jié)暢通，確實讀懂了題目的條件和要求，才會用相關(guān)知識去解決問題.這幾年高考對學(xué)生的閱讀數(shù)學(xué)的語言要求很高，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，不斷讓學(xué)生學(xué)會閱讀，提高思維轉(zhuǎn)化能力.本文以幾個函數(shù)為例闡明對“任意性”和“存在性”的理解.

類型一：單個函數(shù)型

例1 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

（x2-3x+a）min≥0.

解 設(shè)f（x）=x2-3x+a，只需1≤x≤2時，f（x）min≥0.

因為f（x）min=-94+a，所以a≥94.

例2 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求a的范圍

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為（x2-3x+a）max≥0.

解 x∈[1，2]，使x2-3x+a≥0成立，設(shè)

f（x）=x2-3x+a，

只需1≤x≤2時，f（x）max≥0.

因為f（x）max=a-2，所以可得a≥2.

例3 已知f（x）=x3-3x2，x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

f（x）max-f（x）min≤m.

解 f（x）=x3-3x2（-1≤x≤1），

由f ′（x）=3x2-6x知

fmax=f（0）=0，fmin=f（-1）=-4.

所以由題意知：0-（-4）≤m，即m≥4.

類型二：兩個函數(shù)型

例4 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a.

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，均有f（x1）>g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，轉(zhuǎn)化為：f（x）min>[g（x）max]

解 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）min=3，g（x）max=a，

所以3>a，即a<3.

例5 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，恒有f（x1）>g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

f（x）min>g（x）min.

解 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）min=3，g（x）min=a-1.

所以3>a-1，即a<4.

例6 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，x1∈[1，2]，有f（x1）≥g（x1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

[f（x）-g（x）]min≥0.

解 當(dāng)1≤x≤2時，f（x）-g（x）=-x2+4x+1-a，

所以[f（x）-g（x）]min=f（1）-g（1）=4-a.

由4-a≥0，得a≤4.

例7 f（x）=4x2-12x-32x+1（0≤x≤1），g（x）=x3-3a2x-2a（0≤x≤1，a≥1）.x1∈[0，1]，總x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：兩函數(shù)值域之間關(guān)系.

解 設(shè)函數(shù)f（x）的值域為A，函數(shù)g（x）值域為B.

令t=2x+1，因為0≤x≤1，所以t∈[1，3]，

f（x）=t+4t-8，所以知A=[-4，-3].

又g′（x）=3（x2-a2）（0≤x≤1，a≥1），

易知B=[1-3a2-2a，-2a].

由題意知AB，

a≥1，得到1≤a≤32.

只要我們能一如既往地引導(dǎo)學(xué)生注重閱讀，學(xué)會閱讀，就能讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，掌握問題的解決方法，真正地培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，而語言的教學(xué)是離不開閱讀的.大部分學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的學(xué)生正是因為對于數(shù)學(xué)語言的理解困難而造成的.加強閱讀能力的培養(yǎng)，有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高.其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是包括對概念的閱讀理解，所求問題的理解，只有這些環(huán)節(jié)暢通，確實讀懂了題目的條件和要求，才會用相關(guān)知識去解決問題.這幾年高考對學(xué)生的閱讀數(shù)學(xué)的語言要求很高，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，不斷讓學(xué)生學(xué)會閱讀，提高思維轉(zhuǎn)化能力.本文以幾個函數(shù)為例闡明對“任意性”和“存在性”的理解.

類型一：單個函數(shù)型

例1 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

（x2-3x+a）min≥0.

解 設(shè)f（x）=x2-3x+a，只需1≤x≤2時，f（x）min≥0.

因為f（x）min=-94+a，所以a≥94.

例2 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求a的范圍

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為（x2-3x+a）max≥0.

解 x∈[1，2]，使x2-3x+a≥0成立，設(shè)

f（x）=x2-3x+a，

只需1≤x≤2時，f（x）max≥0.

因為f（x）max=a-2，所以可得a≥2.

例3 已知f（x）=x3-3x2，x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

f（x）max-f（x）min≤m.

解 f（x）=x3-3x2（-1≤x≤1），

由f ′（x）=3x2-6x知

fmax=f（0）=0，fmin=f（-1）=-4.

所以由題意知：0-（-4）≤m，即m≥4.

類型二：兩個函數(shù)型

例4 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a.

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，均有f（x1）>g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，轉(zhuǎn)化為：f（x）min>[g（x）max]

解 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）min=3，g（x）max=a，

所以3>a，即a<3.

例5 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，恒有f（x1）>g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

f（x）min>g（x）min.

解 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）min=3，g（x）min=a-1.

所以3>a-1，即a<4.

例6 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，x1∈[1，2]，有f（x1）≥g（x1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

[f（x）-g（x）]min≥0.

解 當(dāng)1≤x≤2時，f（x）-g（x）=-x2+4x+1-a，

所以[f（x）-g（x）]min=f（1）-g（1）=4-a.

由4-a≥0，得a≤4.

例7 f（x）=4x2-12x-32x+1（0≤x≤1），g（x）=x3-3a2x-2a（0≤x≤1，a≥1）.x1∈[0，1]，總x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：兩函數(shù)值域之間關(guān)系.

解 設(shè)函數(shù)f（x）的值域為A，函數(shù)g（x）值域為B.

令t=2x+1，因為0≤x≤1，所以t∈[1，3]，

f（x）=t+4t-8，所以知A=[-4，-3].

又g′（x）=3（x2-a2）（0≤x≤1，a≥1），

易知B=[1-3a2-2a，-2a].

由題意知AB，

a≥1，得到1≤a≤32.

只要我們能一如既往地引導(dǎo)學(xué)生注重閱讀，學(xué)會閱讀，就能讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，掌握問題的解決方法，真正地培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，而語言的教學(xué)是離不開閱讀的.大部分學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的學(xué)生正是因為對于數(shù)學(xué)語言的理解困難而造成的.加強閱讀能力的培養(yǎng)，有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高.其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是包括對概念的閱讀理解，所求問題的理解，只有這些環(huán)節(jié)暢通，確實讀懂了題目的條件和要求，才會用相關(guān)知識去解決問題.這幾年高考對學(xué)生的閱讀數(shù)學(xué)的語言要求很高，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，不斷讓學(xué)生學(xué)會閱讀，提高思維轉(zhuǎn)化能力.本文以幾個函數(shù)為例闡明對“任意性”和“存在性”的理解.

類型一：單個函數(shù)型

例1 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

（x2-3x+a）min≥0.

解 設(shè)f（x）=x2-3x+a，只需1≤x≤2時，f（x）min≥0.

因為f（x）min=-94+a，所以a≥94.

例2 x∈[1，2]，x2-3x+a≥0，求a的范圍

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為（x2-3x+a）max≥0.

解 x∈[1，2]，使x2-3x+a≥0成立，設(shè)

f（x）=x2-3x+a，

只需1≤x≤2時，f（x）max≥0.

因為f（x）max=a-2，所以可得a≥2.

例3 已知f（x）=x3-3x2，x1，x2∈[-1，1]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

f（x）max-f（x）min≤m.

解 f（x）=x3-3x2（-1≤x≤1），

由f ′（x）=3x2-6x知

fmax=f（0）=0，fmin=f（-1）=-4.

所以由題意知：0-（-4）≤m，即m≥4.

類型二：兩個函數(shù)型

例4 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a.

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，均有f（x1）>g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，轉(zhuǎn)化為：f（x）min>[g（x）max]

解 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）min=3，g（x）max=a，

所以3>a，即a<3.

例5 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，

x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，恒有f（x1）>g（x2）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

f（x）min>g（x）min.

解 當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）min=3，g（x）min=a-1.

所以3>a-1，即a<4.

例6 已知f（x）=2x+1，g（x）=x2-2x+a，x1∈[1，2]，有f（x1）≥g（x1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：

[f（x）-g（x）]min≥0.

解 當(dāng)1≤x≤2時，f（x）-g（x）=-x2+4x+1-a，

所以[f（x）-g（x）]min=f（1）-g（1）=4-a.

由4-a≥0，得a≤4.

例7 f（x）=4x2-12x-32x+1（0≤x≤1），g（x）=x3-3a2x-2a（0≤x≤1，a≥1）.x1∈[0，1]，總x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求實數(shù)a的取值范圍.

讀懂題意，本題轉(zhuǎn)化為：兩函數(shù)值域之間關(guān)系.

解 設(shè)函數(shù)f（x）的值域為A，函數(shù)g（x）值域為B.

令t=2x+1，因為0≤x≤1，所以t∈[1，3]，

f（x）=t+4t-8，所以知A=[-4，-3].

又g′（x）=3（x2-a2）（0≤x≤1，a≥1），

易知B=[1-3a2-2a，-2a].

由題意知AB，

a≥1，得到1≤a≤32.

只要我們能一如既往地引導(dǎo)學(xué)生注重閱讀，學(xué)會閱讀，就能讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，掌握問題的解決方法，真正地培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.