怎樣簡(jiǎn)化或避免分類討論

杜菊森

分類討論思想是高中重要的數(shù)學(xué)思想，也是高考考查的重點(diǎn).

一、正難則反思想，有效避免討論

有時(shí)正面直接思考問(wèn)題，需要分多種情況考慮.而如果考察對(duì)立面，可能情況會(huì)顯得更簡(jiǎn)單，這就是正難則反的補(bǔ)集思想.這種思想在函數(shù)、概率等問(wèn)題中很常見(jiàn).

例1 已知函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

解 至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0，情況很多.而我們考慮反面的話，即是對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意的數(shù)c，都有f（c）≤0.結(jié)合圖形可知，只需要滿足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取補(bǔ)集可得范圍為p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免討論

例2 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .

分析 如果利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解，則需要對(duì)公比q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問(wèn)題容易得到解決.

解析 因?yàn)镾n+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

評(píng)析 對(duì)于涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題，若能直接運(yùn)用已知條件中的各個(gè)量的關(guān)系求解，既可避免討論又可使問(wèn)題得到靈活解決.

三、分離參數(shù)，有效避免討論

例3 已知奇函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，若對(duì)任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，將f（kx）+f（-x2+x-2）>0化為f（kx）>f（x2-x+2）.再根據(jù)f（x）是R上的減函數(shù)，得到x2-（1+k）x+2>0.若記φ（x）=x2-（1+k）x+2，則需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函數(shù)的最小值時(shí)需要分類討論.如果我們將x2-（1+k）x+2>0進(jìn)行參數(shù)分離，即k

解析 因?yàn)閒（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

評(píng)析 按照常規(guī)思路，由⑴式轉(zhuǎn)化為x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立問(wèn)題，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱軸位置的變化，進(jìn)行分類討論，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣.因此有些不等式在區(qū)間上的“恒成立”問(wèn)題，一般通過(guò)分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，就可以避免分類討論，使得解題過(guò)程簡(jiǎn)明快捷，少走彎路.

分類討論思想是高中重要的數(shù)學(xué)思想，也是高考考查的重點(diǎn).

一、正難則反思想，有效避免討論

有時(shí)正面直接思考問(wèn)題，需要分多種情況考慮.而如果考察對(duì)立面，可能情況會(huì)顯得更簡(jiǎn)單，這就是正難則反的補(bǔ)集思想.這種思想在函數(shù)、概率等問(wèn)題中很常見(jiàn).

例1 已知函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

解 至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0，情況很多.而我們考慮反面的話，即是對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意的數(shù)c，都有f（c）≤0.結(jié)合圖形可知，只需要滿足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取補(bǔ)集可得范圍為p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免討論

例2 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .

分析 如果利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解，則需要對(duì)公比q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問(wèn)題容易得到解決.

解析 因?yàn)镾n+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

評(píng)析 對(duì)于涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題，若能直接運(yùn)用已知條件中的各個(gè)量的關(guān)系求解，既可避免討論又可使問(wèn)題得到靈活解決.

三、分離參數(shù)，有效避免討論

例3 已知奇函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，若對(duì)任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，將f（kx）+f（-x2+x-2）>0化為f（kx）>f（x2-x+2）.再根據(jù)f（x）是R上的減函數(shù)，得到x2-（1+k）x+2>0.若記φ（x）=x2-（1+k）x+2，則需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函數(shù)的最小值時(shí)需要分類討論.如果我們將x2-（1+k）x+2>0進(jìn)行參數(shù)分離，即k

解析 因?yàn)閒（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

評(píng)析 按照常規(guī)思路，由⑴式轉(zhuǎn)化為x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立問(wèn)題，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱軸位置的變化，進(jìn)行分類討論，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣.因此有些不等式在區(qū)間上的“恒成立”問(wèn)題，一般通過(guò)分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，就可以避免分類討論，使得解題過(guò)程簡(jiǎn)明快捷，少走彎路.

分類討論思想是高中重要的數(shù)學(xué)思想，也是高考考查的重點(diǎn).

一、正難則反思想，有效避免討論

有時(shí)正面直接思考問(wèn)題，需要分多種情況考慮.而如果考察對(duì)立面，可能情況會(huì)顯得更簡(jiǎn)單，這就是正難則反的補(bǔ)集思想.這種思想在函數(shù)、概率等問(wèn)題中很常見(jiàn).

例1 已知函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

解 至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0，情況很多.而我們考慮反面的話，即是對(duì)于區(qū)間[-1，1]上任意的數(shù)c，都有f（c）≤0.結(jié)合圖形可知，只需要滿足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取補(bǔ)集可得范圍為p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免討論

例2 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .

分析 如果利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解，則需要對(duì)公比q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問(wèn)題容易得到解決.

解析 因?yàn)镾n+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

評(píng)析 對(duì)于涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題，若能直接運(yùn)用已知條件中的各個(gè)量的關(guān)系求解，既可避免討論又可使問(wèn)題得到靈活解決.

三、分離參數(shù)，有效避免討論

例3 已知奇函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，若對(duì)任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，將f（kx）+f（-x2+x-2）>0化為f（kx）>f（x2-x+2）.再根據(jù)f（x）是R上的減函數(shù)，得到x2-（1+k）x+2>0.若記φ（x）=x2-（1+k）x+2，則需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函數(shù)的最小值時(shí)需要分類討論.如果我們將x2-（1+k）x+2>0進(jìn)行參數(shù)分離，即k

解析 因?yàn)閒（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

評(píng)析 按照常規(guī)思路，由⑴式轉(zhuǎn)化為x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立問(wèn)題，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱軸位置的變化，進(jìn)行分類討論，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣.因此有些不等式在區(qū)間上的“恒成立”問(wèn)題，一般通過(guò)分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，就可以避免分類討論，使得解題過(guò)程簡(jiǎn)明快捷，少走彎路.