巧解漸近線方程

黃耿躍

題目 對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數），對任給的正數m，存在相應的x0∈D，使得當x∈D且x>x0時，總有0

01}的四組函數如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲線y=f（x）與y=g（x）存在“分漸近線”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本題是福建省2010高考理科第10題，要求考生先讀懂“分漸近線”的定義，然后類比所學過的雙曲線漸近線的定義，通過畫草圖，結合極限的知識進行問題求解.很多教輔資料在解答這題時，一般都是采用數形結合的思想方法，再結合排除法，進而選出正確答案為C.華羅庚講過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微.單純地利用作圖法求解，總讓人感覺說服力不夠，無法揭示問題的本質.而如果能用代數法把第②④組函數的“分漸近線”求出來，那就使問題的解決顯得有理有據.帶著這個問題，筆者通過查閱高等數學中極限的知識，得到了一種代數解法，現把它整理出來，供同行參考.圖1

一、漸近線的定義

在平面直角坐標系中，設曲線C∶y=f（x），點P是曲線C上的一動點，沿著曲線C趨向無窮遠時，點P和直線l∶y=kx+b的距離越來越短，直至趨向于0，則稱直線l∶y=kx+b為曲線C的一條漸近線.

二、漸近線定義的形式語言

當x→+∞（或-∞）時，f（x）-（kx+b）→0.

三、漸近線方程中k，b的求法

解 設M（x，y）為曲線C∶y=f（x）上一點，則點M到直線l的距離d=|kx+b-f（x）|1+k2.因為直線l∶y=kx+b為曲線C∶y=f（x）的漸近線，所以x→∞（+∞或-∞）時，d→0的充要條件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因為limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因為limx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考試題巧解

對①f（x）=x2，g（x）=x若存在分漸近線，因為k=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①組函數不存在分漸近線.對②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分漸近線，因為k=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②組函數中存在分漸近線方程為： y=2.對③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分漸近線，

因為k=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③組函數不存在分漸近線.對④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分漸近線，因為k=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④組函數中存在分漸近線方程為：y=2x-2.故選C.

題目 對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數），對任給的正數m，存在相應的x0∈D，使得當x∈D且x>x0時，總有0

01}的四組函數如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲線y=f（x）與y=g（x）存在“分漸近線”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本題是福建省2010高考理科第10題，要求考生先讀懂“分漸近線”的定義，然后類比所學過的雙曲線漸近線的定義，通過畫草圖，結合極限的知識進行問題求解.很多教輔資料在解答這題時，一般都是采用數形結合的思想方法，再結合排除法，進而選出正確答案為C.華羅庚講過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微.單純地利用作圖法求解，總讓人感覺說服力不夠，無法揭示問題的本質.而如果能用代數法把第②④組函數的“分漸近線”求出來，那就使問題的解決顯得有理有據.帶著這個問題，筆者通過查閱高等數學中極限的知識，得到了一種代數解法，現把它整理出來，供同行參考.圖1

一、漸近線的定義

在平面直角坐標系中，設曲線C∶y=f（x），點P是曲線C上的一動點，沿著曲線C趨向無窮遠時，點P和直線l∶y=kx+b的距離越來越短，直至趨向于0，則稱直線l∶y=kx+b為曲線C的一條漸近線.

二、漸近線定義的形式語言

當x→+∞（或-∞）時，f（x）-（kx+b）→0.

三、漸近線方程中k，b的求法

解 設M（x，y）為曲線C∶y=f（x）上一點，則點M到直線l的距離d=|kx+b-f（x）|1+k2.因為直線l∶y=kx+b為曲線C∶y=f（x）的漸近線，所以x→∞（+∞或-∞）時，d→0的充要條件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因為limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因為limx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考試題巧解

對①f（x）=x2，g（x）=x若存在分漸近線，因為k=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①組函數不存在分漸近線.對②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分漸近線，因為k=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②組函數中存在分漸近線方程為： y=2.對③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分漸近線，

因為k=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③組函數不存在分漸近線.對④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分漸近線，因為k=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④組函數中存在分漸近線方程為：y=2x-2.故選C.

題目 對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數），對任給的正數m，存在相應的x0∈D，使得當x∈D且x>x0時，總有0

01}的四組函數如下：

①f（x）=x2，g（x）=x； ②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x；③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx；④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）.

其中，曲線y=f（x）與y=g（x）存在“分漸近線”的是（ ）.

A.①④ B.②③ C.②④ D. ③④

本題是福建省2010高考理科第10題，要求考生先讀懂“分漸近線”的定義，然后類比所學過的雙曲線漸近線的定義，通過畫草圖，結合極限的知識進行問題求解.很多教輔資料在解答這題時，一般都是采用數形結合的思想方法，再結合排除法，進而選出正確答案為C.華羅庚講過：數缺形時少直觀，形缺數時難入微.單純地利用作圖法求解，總讓人感覺說服力不夠，無法揭示問題的本質.而如果能用代數法把第②④組函數的“分漸近線”求出來，那就使問題的解決顯得有理有據.帶著這個問題，筆者通過查閱高等數學中極限的知識，得到了一種代數解法，現把它整理出來，供同行參考.圖1

一、漸近線的定義

在平面直角坐標系中，設曲線C∶y=f（x），點P是曲線C上的一動點，沿著曲線C趨向無窮遠時，點P和直線l∶y=kx+b的距離越來越短，直至趨向于0，則稱直線l∶y=kx+b為曲線C的一條漸近線.

二、漸近線定義的形式語言

當x→+∞（或-∞）時，f（x）-（kx+b）→0.

三、漸近線方程中k，b的求法

解 設M（x，y）為曲線C∶y=f（x）上一點，則點M到直線l的距離d=|kx+b-f（x）|1+k2.因為直線l∶y=kx+b為曲線C∶y=f（x）的漸近線，所以x→∞（+∞或-∞）時，d→0的充要條件是limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0.因為limx→∞|kx+b-f（x）|1+k2=0limx→∞（kx+b-f（x））=0limx→∞x（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k+bx-f（x）x）=0limx→∞（k-f（x）x）=0k=limx→∞（f（x）x）.

又因為limx→∞（kx+b-f（x））=0，所以b=limx→∞（f（x）-kx）.

四、高考試題巧解

對①f（x）=x2，g（x）=x若存在分漸近線，因為k=limx→∞（x2x）=limx→∞（xx）不成立，故①組函數不存在分漸近線.對②f（x）=10-x+2，g（x）=2x-3x若存在分漸近線，因為k=limx→∞（10-x+2x）=limx→∞（2x-3xx）=0，b=limx→∞（10-x+2）=limx→∞2x-3x=2均成立，故②組函數中存在分漸近線方程為： y=2.對③f（x）=x2+1x，g（x）=x·lnx+1lnx若存在分漸近線，

因為k=limx→∞（x2+1xx）=limx→∞（x·lnx+1lnxx）=1成立，但limx→∞（x2+1xx-x）≠limx→∞（2x-3x-x），故③組函數不存在分漸近線.對④f（x）=2x2x+1，g（x）=2（x-1-e-x）若存在分漸近線，因為k=limx→∞（2x2x+1x）=limx→∞（2（x-1-e-x）x）=2，又b=limx→∞（2x2x+1，-2x）=limx→∞[2（x-1-e-x）-2x]=-2，故④組函數中存在分漸近線方程為：y=2x-2.故選C.