淺議有關(guān)橢圓上動點(diǎn)最值問題的求解

陸衛(wèi)杰

在學(xué)習(xí)橢圓簡單幾何性質(zhì)的時候，大家都會學(xué)習(xí)到橢圓方程中的幾何意義，它們分別表示了橢圓長軸，短軸的端點(diǎn)到橢圓中心的距離.但很少有人注意到這也是有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值性質(zhì)，它們表示了橢圓上動點(diǎn)到橢圓中心距離的最大值與最小值.從而，在解決有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題時感到很困難.而如果我們在學(xué)習(xí)的時候能抓住這一性質(zhì)的內(nèi)涵，那么在解決有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題時就顯得游刃有余.

下面，我們就來看看常見的橢圓上動點(diǎn)的最值問題與這一性質(zhì)的聯(lián)系.

一、橢圓上的動點(diǎn)與平面內(nèi)一定點(diǎn)距離的最值問題

題1 已知P是橢圓x24+y23=1上的任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則PO的最大值是 ，最小值是 .

解析 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)易得：PO的最大值是2，最小值是3.

題2 已知P是橢圓x24+y23=1上的任意一點(diǎn)，A（1，0）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA的最值.

解析 因為A是橢圓的右焦點(diǎn)，故當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的左頂點(diǎn)時，PA的最大值為3，當(dāng)點(diǎn)P是橢圓的右頂點(diǎn)時，PA的最小值為1.

題2將坐標(biāo)原點(diǎn)變成了焦點(diǎn)，還是可以由橢圓的簡單幾何性質(zhì)易得PA的最值，那如果將這兩類特殊的點(diǎn)變成了橢圓坐標(biāo)軸上的任意點(diǎn)呢？

題3 已知P是橢圓x24+y23=1上的任意一點(diǎn)，A（14，0）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA的最值.

解析 設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則x24+y23=1y2=3（1-x24），所以PA2=（x-14）2+y2=x2-12x+116+3（1-x24）=14x2-12x+4916=14（x-1）2+4516.因為-2≤x≤2，所以當(dāng)x=-2時，PA取得最大值為94；當(dāng)x=1時，PA取得最小值為354.

題3將特殊點(diǎn)變成了非特殊點(diǎn)，此時沒有橢圓的幾何性質(zhì)可以使用，我們就應(yīng)牢牢抓住P是橢圓上任意一點(diǎn)，而取得最值時的點(diǎn)P是橢圓上某個位置的點(diǎn)這一關(guān)系，先用坐標(biāo)法表示出橢圓上任意的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離，將此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

以上3題將橢圓簡單幾何性質(zhì)中a，b的意義進(jìn)行了簡單的變遷，在變遷的過程中比較完美地體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.如果我們能抓住這一變遷思想，那我們就能較為輕松地解決以下兩類相關(guān)的最值問題.

二、橢圓上的動點(diǎn)到直線距離的最值問題

題4 已知P（x，y）是橢圓x24+y23=1上的任意一點(diǎn)，求P到直線l∶3x+4y=25的最值.

解析一 作與直線l平行的直線m∶3x+4y=t （t≠25），

由3x+4y=t，

x24+y23=1消去y得21x2-6tx+t2-48=0.

由Δ=36t2-84（t2-48）=0得t=±221，直線m與直線l的距離是25±2215.所以P到直線l：3x+4y=25距離的最大值是25+2215，最小值是25-2215.

解析二 令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，

則P到直線l：3x+4y=25的距離

d=|6cosθ+43sinθ-25|5=|221sin（θ+α）-25|5

=25-221sin（θ+α）5 （其中sinα=321，cosα=2321）.

所以d的最大值為25+2215，最小值為25-2215.

因此P到直線l：3x+4y=25的最大值是25+2215，

P到直線l：3x+4y=25的最小值是25-2215.

題4將橢圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)榱藱E圓上的動點(diǎn)到定直線的距離最值問題.解析一從幾何法（把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化成兩平行線間的距離），解析二從代數(shù)法（三角換元）兩個不同的角度進(jìn)行了分析與求解.

題5 已知P（x，y）是橢圓x24+y23=1上的任意一點(diǎn)，求3x+4y的最值.

解析一 令3x+4y=t，由3x+4y=t，

x24+y23=1消去y得：21x2-6tx+t2-48=0，Δ=36t2-84（t2-48）=0，得t=±221，所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.

解析二 令x=2cosθ，y=3sinθ，θ∈R，則3x+4y=6cosθ+43sinθ=221sin（θ+α）（其中sinα=321，cosα=2321）.所以3x+4y的最大值是221，3x+4y的最小值是-221.

此題是題4的變遷，是將題4中的定直線進(jìn)一步變遷為動直線.

題6 已知P（x，y）是橢圓x24+y23=1上的任意一點(diǎn)，求yx+6的最值.

解析 yx+6的幾何意義是橢圓x24+y23=1上的點(diǎn)P與定點(diǎn)（-6，0）連線的斜率.故本題求的是過定點(diǎn)（-6，0）且與橢圓x24+y23=1有公共點(diǎn)的直線斜率的最值.由題意可得，直線的斜率一定存在，設(shè)過定點(diǎn)（-6，0）且與橢圓x24+y23=1有公共點(diǎn)的直線方程為y=k（x+6）（k∈R），由y=k（x+6），

x24+y23=1消去y得（3+4k2）x2+48k2x+144k2-12=0.，Δ=（48k2）2-4（3+4k2）（144k2-12）≥0 得-68≤k≤68.所以，yx+6的最大值為68，最小值為-68.

此題是題5的一種變遷，將題5中定斜率的動直線變成了過定點(diǎn)的動直線.

三、橢圓上的動點(diǎn)到定點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題

題7 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，2）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+PF1的最小值.

解析 因為14+43>1，所以，點(diǎn)A在橢圓外.連結(jié)F1A，F(xiàn)1A與橢圓的交點(diǎn)即是所求的P點(diǎn).因此，PA+PF1的最小值為F1A=（1+1）2+22=22.

題8 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，1）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+PF1的最值.

解析 因為14+43<1，所以，點(diǎn)A在橢圓內(nèi).此時PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因為-AF2≤PA-PF2≤AF2，連結(jié)F2A，AF2的延長線與橢圓的交點(diǎn)即是PA+PF1取最大值時的P點(diǎn).F2A的延長線與橢圓的交點(diǎn)即是PA+PF1取最小值時的P點(diǎn).又因為AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

題7與題8兩題看似無差別，但我們發(fā)現(xiàn)兩題的解析截然不同，題8利用了橢圓的定義將，PF1轉(zhuǎn)化成了PF2.所以，在解決橢圓上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)距離之和的最小值問題時，首先要判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系. 題9 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，1）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于橢圓的左準(zhǔn)線x=-4，垂足為D.則PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時PA+2PD取最小值.作AH垂直于橢圓的左準(zhǔn)線x=-4，垂足為H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值為5.

題9將橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離前添加了一個特殊的系數(shù)（離心率的倒數(shù)），巧用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

通過以上的三類有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題，我們不難發(fā)現(xiàn)這些都是從橢圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，通過點(diǎn)與線，定量與不定量之間的相互轉(zhuǎn)化，逐步演變出了三類最值問題.如果我們抓住了幾何性質(zhì)的內(nèi)在含義并學(xué)會變化，那么我們就能輕松解決有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題.

當(dāng)然，我們在掌握了如何求解有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題的同時，如能熟練地利用橢圓的這一幾何性質(zhì)求解其余的問題，那么，我們對性質(zhì)的理解就能更上一層樓.最后，用一例來說明熟練利用性質(zhì)解題的重要性.

題10 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)且滿足PF1PF2=e，則橢圓的離心率的取值范圍是 .

解析 因為PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因為a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因為0

題8 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，1）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+PF1的最值.

解析 因為14+43<1，所以，點(diǎn)A在橢圓內(nèi).此時PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因為-AF2≤PA-PF2≤AF2，連結(jié)F2A，AF2的延長線與橢圓的交點(diǎn)即是PA+PF1取最大值時的P點(diǎn).F2A的延長線與橢圓的交點(diǎn)即是PA+PF1取最小值時的P點(diǎn).又因為AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

題7與題8兩題看似無差別，但我們發(fā)現(xiàn)兩題的解析截然不同，題8利用了橢圓的定義將，PF1轉(zhuǎn)化成了PF2.所以，在解決橢圓上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)距離之和的最小值問題時，首先要判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系. 題9 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，1）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于橢圓的左準(zhǔn)線x=-4，垂足為D.則PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時PA+2PD取最小值.作AH垂直于橢圓的左準(zhǔn)線x=-4，垂足為H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值為5.

題9將橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離前添加了一個特殊的系數(shù)（離心率的倒數(shù)），巧用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

通過以上的三類有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題，我們不難發(fā)現(xiàn)這些都是從橢圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，通過點(diǎn)與線，定量與不定量之間的相互轉(zhuǎn)化，逐步演變出了三類最值問題.如果我們抓住了幾何性質(zhì)的內(nèi)在含義并學(xué)會變化，那么我們就能輕松解決有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題.

當(dāng)然，我們在掌握了如何求解有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題的同時，如能熟練地利用橢圓的這一幾何性質(zhì)求解其余的問題，那么，我們對性質(zhì)的理解就能更上一層樓.最后，用一例來說明熟練利用性質(zhì)解題的重要性.

題10 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)且滿足PF1PF2=e，則橢圓的離心率的取值范圍是 .

解析 因為PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因為a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因為0

題8 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，1）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+PF1的最值.

解析 因為14+43<1，所以，點(diǎn)A在橢圓內(nèi).此時PA+PF1=PA+4-PF2=4+（PA-PF2），因為-AF2≤PA-PF2≤AF2，連結(jié)F2A，AF2的延長線與橢圓的交點(diǎn)即是PA+PF1取最大值時的P點(diǎn).F2A的延長線與橢圓的交點(diǎn)即是PA+PF1取最小值時的P點(diǎn).又因為AF2=1，故PA+PF1的最大值是5，PA+PF1的最小值是3.

題7與題8兩題看似無差別，但我們發(fā)現(xiàn)兩題的解析截然不同，題8利用了橢圓的定義將，PF1轉(zhuǎn)化成了PF2.所以，在解決橢圓上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與焦點(diǎn)距離之和的最小值問題時，首先要判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系. 題9 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x24+y23=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A（1，1）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，求PA+2PF1的最小值.

解析 作PD垂直于橢圓的左準(zhǔn)線x=-4，垂足為D.則PF1PD=12，即2PF1=PD，所以PA+2PF1=PA+PD.故當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時PA+2PD取最小值.作AH垂直于橢圓的左準(zhǔn)線x=-4，垂足為H.因此，PA+2PF1=PA+PD≥AH=5，因而PA+2PF1的最小值為5.

題9將橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離前添加了一個特殊的系數(shù)（離心率的倒數(shù)），巧用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

通過以上的三類有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題，我們不難發(fā)現(xiàn)這些都是從橢圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，通過點(diǎn)與線，定量與不定量之間的相互轉(zhuǎn)化，逐步演變出了三類最值問題.如果我們抓住了幾何性質(zhì)的內(nèi)在含義并學(xué)會變化，那么我們就能輕松解決有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題.

當(dāng)然，我們在掌握了如何求解有關(guān)橢圓上動點(diǎn)的最值問題的同時，如能熟練地利用橢圓的這一幾何性質(zhì)求解其余的問題，那么，我們對性質(zhì)的理解就能更上一層樓.最后，用一例來說明熟練利用性質(zhì)解題的重要性.

題10 已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)且滿足PF1PF2=e，則橢圓的離心率的取值范圍是 .

解析 因為PF1PF2=e，PF1+PF2=2a，故，PF1=2ae1+e.又因為a-c≤PF1≤a+c，得2ae1+e≥a-c，

2ae1+e≤a+c，解得e≤-1-2或e≥-1+2.又因為0