淺析不等式的多樣化解題方法

楊志明

一、不等式的解題思路

不等式的解題思路，從本質(zhì)上來看，體現(xiàn)的是等價轉(zhuǎn)化的思路，可以使用解方程式的思路，將同解不等式逐漸轉(zhuǎn)換成為簡化的不等式，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則.在解不等式的過程中不但要能夠熟練準(zhǔn)確地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價變形.

在解不等式時，常常出現(xiàn)不等式組的形式，因此要求不等式組的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式組時，首先應(yīng)求出組內(nèi)各個不等式的解集，然后利用數(shù)軸的性質(zhì)取其交集.

二、常見的不等式的解題方法

1.配方法

配方是指將代數(shù)式變形為完全平方和常數(shù)之和.將符合形式的不等式進(jìn)行配方，求出與不等式等價的方程的解，再根據(jù)不等式的符號求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假設(shè)a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，該方程的兩個實(shí)數(shù)解為x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；則不等式的解集為{x|xx1}.

常見的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.換元法

有些不等式在不同的部分出現(xiàn)了相同的未知數(shù)表達(dá)式，這個表達(dá)式使解題思路變得尤為復(fù)雜，這時就可以采用換元法來解決.換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不很明確的不等式引入一個或多個變量進(jìn)行代換，簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，使得解題變得簡單明了.常用的有三角代換法和增量換元法這兩種思路.

（1）三角代換法.三角代換法就是將三角函數(shù)的性質(zhì)引入來解不等式（組），在符合定義域的情況下，將解不等式（組）轉(zhuǎn)而解三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出解，最終再化為不等式的解.這種方法在平時做題中經(jīng)常使用，要引起注意的是，在明確函數(shù)的定義域的情況下，靈活的運(yùn)用該方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由題可知x>0且y>0，因此可以使用三角代換.原不等式可化為xy+1≤axy+1的形式，假設(shè)xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），則tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因?yàn)閟in（θ+π/4）的最大值為1（此時θ=π/4），所以可以得到a的最小值為2.

（2）增量換元法.增量換元法就是用一個簡單的變量將不等式中某個復(fù)雜的、重復(fù)出現(xiàn)的形式替換，先轉(zhuǎn)而求出增量的解，再進(jìn)行增量還原最終求出不等式的解.這種解題方法簡化不等式的形式，突出重點(diǎn)，明晰了解題的思路，快速準(zhǔn)確地求出結(jié)果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量換元：假設(shè)x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，則原不等式可轉(zhuǎn)化為y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y(tǒng)=2或3. 第三步，增量還原，x+1/x=2或3，當(dāng)x+1/x=2時，x=1；當(dāng)x+1/x=3時，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最終求出不等式的解集.

3.分類討論法

對于情況不明確的不等式，要分不同的情況逐一討論來解不等式.該方法嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分類討論a與0的大小關(guān)系；

（1）當(dāng)a>0時，x-x1和x-x2同號，再進(jìn)一步分為兩種情況，①x-x1和x-x2同時為正，此時x>x2；②x-x1和x-x2同時為負(fù)，此時x

（2）當(dāng)a<0時，x-x1和x-x2異號，再進(jìn)一步分為兩種情況，①x-x1為正，x-x2為負(fù)，則x1

由上可得，當(dāng)a>0時，解集為{x|xx2}；

當(dāng)a<0時，解集為{x|x1

4.判別式法

在判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根時，除了可以使用配方法，還可以直接運(yùn)用判別式法，其中Δ=b2-4ac為根的判別式，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.這種方法在處理不等式的問題時，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，將上式進(jìn)行轉(zhuǎn)換可得到y(tǒng)（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分類討論：當(dāng)y=0時，滿足題意.當(dāng)y≠0時，使用判別式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 綜上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范圍為[-23/3，23/3].

5.穿針引線法

穿針引線法，也稱為標(biāo)根法，解高次不等式時，常常使用.先將高次不等式化簡，求出方程的根，在數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)根，最后利用規(guī)律求出有效的范圍.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿針引線法.

穿針引線法的解題口訣：“奇穿偶不穿，符號定區(qū)間”.

在使用該方法解題時，一定要注意將未知數(shù)x的系數(shù)化為1，仔細(xì)轉(zhuǎn)化準(zhǔn)確的確定不等式的方向，在數(shù)軸上標(biāo)根時，按照根的大小順序，根據(jù)穿針引線法的法則依次穿線才能得到準(zhǔn)確的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 將上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由圖1可得該不等式的解集為：{x|x<-1或24}

一、不等式的解題思路

不等式的解題思路，從本質(zhì)上來看，體現(xiàn)的是等價轉(zhuǎn)化的思路，可以使用解方程式的思路，將同解不等式逐漸轉(zhuǎn)換成為簡化的不等式，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則.在解不等式的過程中不但要能夠熟練準(zhǔn)確地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價變形.

在解不等式時，常常出現(xiàn)不等式組的形式，因此要求不等式組的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式組時，首先應(yīng)求出組內(nèi)各個不等式的解集，然后利用數(shù)軸的性質(zhì)取其交集.

二、常見的不等式的解題方法

1.配方法

配方是指將代數(shù)式變形為完全平方和常數(shù)之和.將符合形式的不等式進(jìn)行配方，求出與不等式等價的方程的解，再根據(jù)不等式的符號求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假設(shè)a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，該方程的兩個實(shí)數(shù)解為x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；則不等式的解集為{x|xx1}.

常見的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.換元法

有些不等式在不同的部分出現(xiàn)了相同的未知數(shù)表達(dá)式，這個表達(dá)式使解題思路變得尤為復(fù)雜，這時就可以采用換元法來解決.換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不很明確的不等式引入一個或多個變量進(jìn)行代換，簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，使得解題變得簡單明了.常用的有三角代換法和增量換元法這兩種思路.

（1）三角代換法.三角代換法就是將三角函數(shù)的性質(zhì)引入來解不等式（組），在符合定義域的情況下，將解不等式（組）轉(zhuǎn)而解三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出解，最終再化為不等式的解.這種方法在平時做題中經(jīng)常使用，要引起注意的是，在明確函數(shù)的定義域的情況下，靈活的運(yùn)用該方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由題可知x>0且y>0，因此可以使用三角代換.原不等式可化為xy+1≤axy+1的形式，假設(shè)xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），則tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因?yàn)閟in（θ+π/4）的最大值為1（此時θ=π/4），所以可以得到a的最小值為2.

（2）增量換元法.增量換元法就是用一個簡單的變量將不等式中某個復(fù)雜的、重復(fù)出現(xiàn)的形式替換，先轉(zhuǎn)而求出增量的解，再進(jìn)行增量還原最終求出不等式的解.這種解題方法簡化不等式的形式，突出重點(diǎn)，明晰了解題的思路，快速準(zhǔn)確地求出結(jié)果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量換元：假設(shè)x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，則原不等式可轉(zhuǎn)化為y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y(tǒng)=2或3. 第三步，增量還原，x+1/x=2或3，當(dāng)x+1/x=2時，x=1；當(dāng)x+1/x=3時，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最終求出不等式的解集.

3.分類討論法

對于情況不明確的不等式，要分不同的情況逐一討論來解不等式.該方法嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分類討論a與0的大小關(guān)系；

（1）當(dāng)a>0時，x-x1和x-x2同號，再進(jìn)一步分為兩種情況，①x-x1和x-x2同時為正，此時x>x2；②x-x1和x-x2同時為負(fù)，此時x

（2）當(dāng)a<0時，x-x1和x-x2異號，再進(jìn)一步分為兩種情況，①x-x1為正，x-x2為負(fù)，則x1

由上可得，當(dāng)a>0時，解集為{x|xx2}；

當(dāng)a<0時，解集為{x|x1

4.判別式法

在判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根時，除了可以使用配方法，還可以直接運(yùn)用判別式法，其中Δ=b2-4ac為根的判別式，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.這種方法在處理不等式的問題時，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，將上式進(jìn)行轉(zhuǎn)換可得到y(tǒng)（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分類討論：當(dāng)y=0時，滿足題意.當(dāng)y≠0時，使用判別式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 綜上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范圍為[-23/3，23/3].

5.穿針引線法

穿針引線法，也稱為標(biāo)根法，解高次不等式時，常常使用.先將高次不等式化簡，求出方程的根，在數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)根，最后利用規(guī)律求出有效的范圍.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿針引線法.

穿針引線法的解題口訣：“奇穿偶不穿，符號定區(qū)間”.

在使用該方法解題時，一定要注意將未知數(shù)x的系數(shù)化為1，仔細(xì)轉(zhuǎn)化準(zhǔn)確的確定不等式的方向，在數(shù)軸上標(biāo)根時，按照根的大小順序，根據(jù)穿針引線法的法則依次穿線才能得到準(zhǔn)確的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 將上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由圖1可得該不等式的解集為：{x|x<-1或24}

一、不等式的解題思路

不等式的解題思路，從本質(zhì)上來看，體現(xiàn)的是等價轉(zhuǎn)化的思路，可以使用解方程式的思路，將同解不等式逐漸轉(zhuǎn)換成為簡化的不等式，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則.在解不等式的過程中不但要能夠熟練準(zhǔn)確地解一元一次不等式和一元二次不等式，而且要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價變形.

在解不等式時，常常出現(xiàn)不等式組的形式，因此要求不等式組的解集，就是求各不等式解集的交集.在解不等式組時，首先應(yīng)求出組內(nèi)各個不等式的解集，然后利用數(shù)軸的性質(zhì)取其交集.

二、常見的不等式的解題方法

1.配方法

配方是指將代數(shù)式變形為完全平方和常數(shù)之和.將符合形式的不等式進(jìn)行配方，求出與不等式等價的方程的解，再根據(jù)不等式的符號求得不等式的解.

例1 解不等式ax2+bx+c>0 （假設(shè)a>0且b2-4ac≥0）.

解 令ax2+bx+c=0， 即ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a=0，該方程的兩個實(shí)數(shù)解為x1=[-b+（b2-4ac）]/2a； x2=[-b-（b2-4ac）]/2a；則不等式的解集為{x|xx1}.

常見的形式有：（1）ax2+bx+c=a[x2+b/ax+（b/2a）2]-b2/4a+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）x2+2bx+b2=（x+b）2，x2+（1/x）2+2=（x+1/x）2；x2+（1/x）2-2=（x-1/x）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2.

2.換元法

有些不等式在不同的部分出現(xiàn)了相同的未知數(shù)表達(dá)式，這個表達(dá)式使解題思路變得尤為復(fù)雜，這時就可以采用換元法來解決.換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不很明確的不等式引入一個或多個變量進(jìn)行代換，簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，使得解題變得簡單明了.常用的有三角代換法和增量換元法這兩種思路.

（1）三角代換法.三角代換法就是將三角函數(shù)的性質(zhì)引入來解不等式（組），在符合定義域的情況下，將解不等式（組）轉(zhuǎn)而解三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出解，最終再化為不等式的解.這種方法在平時做題中經(jīng)常使用，要引起注意的是，在明確函數(shù)的定義域的情況下，靈活的運(yùn)用該方法.

例2 求使x+y≤ax+y （x>0，y>0）恒成立的a的最小值 .

解 由題可知x>0且y>0，因此可以使用三角代換.原不等式可化為xy+1≤axy+1的形式，假設(shè)xy=tanθ，θ∈（0，π/2 ），則tanθ+1≤atan2θ+1， 即tanθ+1≤asecθ，所以a≥sinθ+cosθ=2sin（θ+π/4）. 又因?yàn)閟in（θ+π/4）的最大值為1（此時θ=π/4），所以可以得到a的最小值為2.

（2）增量換元法.增量換元法就是用一個簡單的變量將不等式中某個復(fù)雜的、重復(fù)出現(xiàn)的形式替換，先轉(zhuǎn)而求出增量的解，再進(jìn)行增量還原最終求出不等式的解.這種解題方法簡化不等式的形式，突出重點(diǎn)，明晰了解題的思路，快速準(zhǔn)確地求出結(jié)果.

例3 解不等式x2+1/x2-5x-5/x+8>0.

解 第一步，增量換元：假設(shè)x+1/x=y，即x2+1/x2=y2-2，則原不等式可轉(zhuǎn)化為y2-5y+6=0. 第二步，解一元二次方程y2-5y+6=0，得到y(tǒng)=2或3. 第三步，增量還原，x+1/x=2或3，當(dāng)x+1/x=2時，x=1；當(dāng)x+1/x=3時，x=（3+5）/2或（3-5）/2，最終求出不等式的解集.

3.分類討論法

對于情況不明確的不等式，要分不同的情況逐一討論來解不等式.該方法嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確，避免多算或漏算.

例4 求不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

首先，求方程ax2+bx+c=0的解x1， x2（x1

其次，分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）>0；

再次，分類討論a與0的大小關(guān)系；

（1）當(dāng)a>0時，x-x1和x-x2同號，再進(jìn)一步分為兩種情況，①x-x1和x-x2同時為正，此時x>x2；②x-x1和x-x2同時為負(fù)，此時x

（2）當(dāng)a<0時，x-x1和x-x2異號，再進(jìn)一步分為兩種情況，①x-x1為正，x-x2為負(fù)，則x1

由上可得，當(dāng)a>0時，解集為{x|xx2}；

當(dāng)a<0時，解集為{x|x1

4.判別式法

在判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根時，除了可以使用配方法，還可以直接運(yùn)用判別式法，其中Δ=b2-4ac為根的判別式，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=b2-4ac>0時，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.這種方法在處理不等式的問題時，常常得以使用.

例5 求y=（2x+1）/（x2+x+1）的值域.

解 第一步，將上式進(jìn)行轉(zhuǎn)換可得到y(tǒng)（x2+x+1）=2x+1，

yx2+（y-2）x+y-1=0.第二步，分類討論：當(dāng)y=0時，滿足題意.當(dāng)y≠0時，使用判別式法Δ=b2-4ac=（y-2）2-4y（y-1）≥0，解得-23/3≤y≤23/3且y≠0. 綜上所述，y=（2x+1）/（x2+x+1） 的取值范圍為[-23/3，23/3].

5.穿針引線法

穿針引線法，也稱為標(biāo)根法，解高次不等式時，常常使用.先將高次不等式化簡，求出方程的根，在數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)根，最后利用規(guī)律求出有效的范圍.

高次不等式f（x）= （x-x1）（x-x2）（x-x3）…（x-xn-1）（x-xn）>0的解集可以用穿針引線法.

穿針引線法的解題口訣：“奇穿偶不穿，符號定區(qū)間”.

在使用該方法解題時，一定要注意將未知數(shù)x的系數(shù)化為1，仔細(xì)轉(zhuǎn)化準(zhǔn)確的確定不等式的方向，在數(shù)軸上標(biāo)根時，按照根的大小順序，根據(jù)穿針引線法的法則依次穿線才能得到準(zhǔn)確的解集.

例6 求不等式x4-8x3+2x2-53x-240>0的解集.

解 將上述不等式因式分解（x2-3x-4）（x2-5x+6）>0，（x+1）（x-4）（x-2）（x-3）>0.

由圖1可得該不等式的解集為：{x|x<-1或24}