萬有引力與航天應(yīng)用模型賞析

徐雙明

2013年6月我國神舟十號(hào)載人飛船成功發(fā)射和回收，還計(jì)劃發(fā)射嫦娥三號(hào)月球探測(cè)器和近20顆衛(wèi)星，顯示了我國在空間探索方面的強(qiáng)大實(shí)力.天體及衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題.從全國各地的高考試題看，天體運(yùn)行問題的分析與求解是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運(yùn)用，其關(guān)鍵是熟練掌握天體運(yùn)動(dòng)的三種基本模型.

一、“中心天體-環(huán)繞天體”模型

環(huán)繞模型的基本思路：①把中心天體和環(huán)繞天體看做質(zhì)點(diǎn)；②天體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；③中心天體對(duì)環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力.由萬有引力定律、牛頓第二定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)有以下幾種形式的基本關(guān)系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是兩球體球心間距，也是環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑.具體的求解中，可依據(jù)題中涉及的物理量靈活選取表達(dá)式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星相繼完成了對(duì)月球的環(huán)月飛行，標(biāo)志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成.設(shè)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度a=，線速度v=.

解析 衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的半徑r=R+h，由萬有引力定律和牛頓第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根據(jù)萬有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

點(diǎn)評(píng) 此題以“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為背景，只要抓住“中心天體-環(huán)繞天體”模型，熟練推導(dǎo)便可得到正確答案.是非常基本的題型.

二、“自轉(zhuǎn)”天體模型

（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的天體稱為 “自轉(zhuǎn)”天體.在其表面上相對(duì)天體靜止的物體隨自轉(zhuǎn)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度和自轉(zhuǎn)天體角速度相同.自轉(zhuǎn)天體對(duì)物體的萬有引力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力為重力.下面以地球赤道上的物體為例推導(dǎo)它們的關(guān)系（地球質(zhì)量、半徑、表面的重力加速度分別表示為M、R、G）為GMmR2=mg+ma向，其中g(shù)=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，帶入地球半徑R=6.4×106m和地球自轉(zhuǎn)周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比較可知，物體隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于重力，所以忽略向心力部分，認(rèn)為地球表面上物體的重力近似等于天體對(duì)物體的萬有引力，即mg=GMmR2.其它天體自轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)遵循相同的規(guī)律.

例2 （2013年四川卷） 迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運(yùn)行的行星“G1-581c”卻很值得我們期待.該行星的溫度在0 ℃到40 ℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日.“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍.設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（ ）.

A.在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了該行星，其體重是地球上的223倍

C.該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的13365倍

D.由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長(zhǎng)度一定會(huì)變短

解析 從行星上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度即繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其環(huán)繞半徑認(rèn)為等于中心天體半徑，由“中心天體-環(huán)繞天體”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，則v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由“自轉(zhuǎn)”天體模型知星球表面上物體的重力等于萬有引力，即mg=GMmr2，可得g行g(shù)地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），選項(xiàng)B正確；由于行星運(yùn)動(dòng)的速度遠(yuǎn)小于光速，故不產(chǎn)生相對(duì)論效應(yīng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 此題設(shè)置情景中同時(shí)涉及 “中心天體-環(huán)繞天體”模型和“自轉(zhuǎn)”天體模型，要明確兩種模型中萬有引力的作用，區(qū)分相關(guān)的物理量.

（2）天體自轉(zhuǎn)時(shí)，天體表面各物體隨天體一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力mω2R最大.對(duì)于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N為天體表面對(duì)物體的支持力.如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，天體瓦解.天體剛好不瓦解的臨界條件是N=0，此時(shí)有GMmR2=mω2R，由此式可以計(jì)算天體不瓦解所對(duì)應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可計(jì)算出天體不瓦解的最小密度.

三、雙星問題

天文學(xué)上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體稱為雙星.雙星運(yùn)行中，離其它星體較遠(yuǎn)，因此只考慮這兩個(gè)星體間的萬有引力.雙星間的萬有引力提供這兩個(gè)星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以這兩顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，這兩顆星繞連線上的一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以它們的周期相等、角速度相等.這類問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解.

圖1例3 （2013年山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如雙星的質(zhì)量為別為mA、mB，兩者間距為L(zhǎng)，，對(duì)mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；對(duì)mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；兩者半徑關(guān)系為rA+rB=L，三式聯(lián)立可得兩星半徑rA=mBmA+mBL，進(jìn)而可得雙星轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T=4π2L3G（mA+mB）.當(dāng)雙星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí)，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正確.

點(diǎn)評(píng) 雙星問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解，萬有引力提供向心力.但要注意該模型中萬有引力中定律表達(dá)式中的r表示雙星間距，為上式中的L，而向心力表達(dá)式中的r表示雙星各自的旋轉(zhuǎn)半徑，為上式中的rA和rB，一定要注意區(qū)分.

2013年6月我國神舟十號(hào)載人飛船成功發(fā)射和回收，還計(jì)劃發(fā)射嫦娥三號(hào)月球探測(cè)器和近20顆衛(wèi)星，顯示了我國在空間探索方面的強(qiáng)大實(shí)力.天體及衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題.從全國各地的高考試題看，天體運(yùn)行問題的分析與求解是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運(yùn)用，其關(guān)鍵是熟練掌握天體運(yùn)動(dòng)的三種基本模型.

一、“中心天體-環(huán)繞天體”模型

環(huán)繞模型的基本思路：①把中心天體和環(huán)繞天體看做質(zhì)點(diǎn)；②天體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；③中心天體對(duì)環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力.由萬有引力定律、牛頓第二定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)有以下幾種形式的基本關(guān)系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是兩球體球心間距，也是環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑.具體的求解中，可依據(jù)題中涉及的物理量靈活選取表達(dá)式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星相繼完成了對(duì)月球的環(huán)月飛行，標(biāo)志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成.設(shè)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度a=，線速度v=.

解析 衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的半徑r=R+h，由萬有引力定律和牛頓第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根據(jù)萬有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

點(diǎn)評(píng) 此題以“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為背景，只要抓住“中心天體-環(huán)繞天體”模型，熟練推導(dǎo)便可得到正確答案.是非常基本的題型.

二、“自轉(zhuǎn)”天體模型

（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的天體稱為 “自轉(zhuǎn)”天體.在其表面上相對(duì)天體靜止的物體隨自轉(zhuǎn)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度和自轉(zhuǎn)天體角速度相同.自轉(zhuǎn)天體對(duì)物體的萬有引力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力為重力.下面以地球赤道上的物體為例推導(dǎo)它們的關(guān)系（地球質(zhì)量、半徑、表面的重力加速度分別表示為M、R、G）為GMmR2=mg+ma向，其中g(shù)=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，帶入地球半徑R=6.4×106m和地球自轉(zhuǎn)周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比較可知，物體隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于重力，所以忽略向心力部分，認(rèn)為地球表面上物體的重力近似等于天體對(duì)物體的萬有引力，即mg=GMmR2.其它天體自轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)遵循相同的規(guī)律.

例2 （2013年四川卷） 迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運(yùn)行的行星“G1-581c”卻很值得我們期待.該行星的溫度在0 ℃到40 ℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日.“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍.設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（ ）.

A.在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了該行星，其體重是地球上的223倍

C.該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的13365倍

D.由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長(zhǎng)度一定會(huì)變短

解析 從行星上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度即繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其環(huán)繞半徑認(rèn)為等于中心天體半徑，由“中心天體-環(huán)繞天體”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，則v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由“自轉(zhuǎn)”天體模型知星球表面上物體的重力等于萬有引力，即mg=GMmr2，可得g行g(shù)地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），選項(xiàng)B正確；由于行星運(yùn)動(dòng)的速度遠(yuǎn)小于光速，故不產(chǎn)生相對(duì)論效應(yīng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 此題設(shè)置情景中同時(shí)涉及 “中心天體-環(huán)繞天體”模型和“自轉(zhuǎn)”天體模型，要明確兩種模型中萬有引力的作用，區(qū)分相關(guān)的物理量.

（2）天體自轉(zhuǎn)時(shí)，天體表面各物體隨天體一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力mω2R最大.對(duì)于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N為天體表面對(duì)物體的支持力.如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，天體瓦解.天體剛好不瓦解的臨界條件是N=0，此時(shí)有GMmR2=mω2R，由此式可以計(jì)算天體不瓦解所對(duì)應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可計(jì)算出天體不瓦解的最小密度.

三、雙星問題

天文學(xué)上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體稱為雙星.雙星運(yùn)行中，離其它星體較遠(yuǎn)，因此只考慮這兩個(gè)星體間的萬有引力.雙星間的萬有引力提供這兩個(gè)星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以這兩顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，這兩顆星繞連線上的一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以它們的周期相等、角速度相等.這類問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解.

圖1例3 （2013年山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如雙星的質(zhì)量為別為mA、mB，兩者間距為L(zhǎng)，，對(duì)mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；對(duì)mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；兩者半徑關(guān)系為rA+rB=L，三式聯(lián)立可得兩星半徑rA=mBmA+mBL，進(jìn)而可得雙星轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T=4π2L3G（mA+mB）.當(dāng)雙星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí)，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正確.

點(diǎn)評(píng) 雙星問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解，萬有引力提供向心力.但要注意該模型中萬有引力中定律表達(dá)式中的r表示雙星間距，為上式中的L，而向心力表達(dá)式中的r表示雙星各自的旋轉(zhuǎn)半徑，為上式中的rA和rB，一定要注意區(qū)分.

2013年6月我國神舟十號(hào)載人飛船成功發(fā)射和回收，還計(jì)劃發(fā)射嫦娥三號(hào)月球探測(cè)器和近20顆衛(wèi)星，顯示了我國在空間探索方面的強(qiáng)大實(shí)力.天體及衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題.從全國各地的高考試題看，天體運(yùn)行問題的分析與求解是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運(yùn)用，其關(guān)鍵是熟練掌握天體運(yùn)動(dòng)的三種基本模型.

一、“中心天體-環(huán)繞天體”模型

環(huán)繞模型的基本思路：①把中心天體和環(huán)繞天體看做質(zhì)點(diǎn)；②天體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；③中心天體對(duì)環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力.由萬有引力定律、牛頓第二定律和勻速圓周運(yùn)動(dòng)有以下幾種形式的基本關(guān)系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是兩球體球心間距，也是環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑.具體的求解中，可依據(jù)題中涉及的物理量靈活選取表達(dá)式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星相繼完成了對(duì)月球的環(huán)月飛行，標(biāo)志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成.設(shè)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度a=，線速度v=.

解析 衛(wèi)星繞月球運(yùn)動(dòng)的半徑r=R+h，由萬有引力定律和牛頓第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根據(jù)萬有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

點(diǎn)評(píng) 此題以“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運(yùn)動(dòng)為背景，只要抓住“中心天體-環(huán)繞天體”模型，熟練推導(dǎo)便可得到正確答案.是非常基本的題型.

二、“自轉(zhuǎn)”天體模型

（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的天體稱為 “自轉(zhuǎn)”天體.在其表面上相對(duì)天體靜止的物體隨自轉(zhuǎn)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度和自轉(zhuǎn)天體角速度相同.自轉(zhuǎn)天體對(duì)物體的萬有引力的一個(gè)分力提供向心力，另一個(gè)分力為重力.下面以地球赤道上的物體為例推導(dǎo)它們的關(guān)系（地球質(zhì)量、半徑、表面的重力加速度分別表示為M、R、G）為GMmR2=mg+ma向，其中g(shù)=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，帶入地球半徑R=6.4×106m和地球自轉(zhuǎn)周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比較可知，物體隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于重力，所以忽略向心力部分，認(rèn)為地球表面上物體的重力近似等于天體對(duì)物體的萬有引力，即mg=GMmR2.其它天體自轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)遵循相同的規(guī)律.

例2 （2013年四川卷） 迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運(yùn)行的行星“G1-581c”卻很值得我們期待.該行星的溫度在0 ℃到40 ℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個(gè)地球日.“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍.設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（ ）.

A.在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了該行星，其體重是地球上的223倍

C.該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的13365倍

D.由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長(zhǎng)度一定會(huì)變短

解析 從行星上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度即繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其環(huán)繞半徑認(rèn)為等于中心天體半徑，由“中心天體-環(huán)繞天體”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，則v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由“自轉(zhuǎn)”天體模型知星球表面上物體的重力等于萬有引力，即mg=GMmr2，可得g行g(shù)地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），選項(xiàng)B正確；由于行星運(yùn)動(dòng)的速度遠(yuǎn)小于光速，故不產(chǎn)生相對(duì)論效應(yīng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng) 此題設(shè)置情景中同時(shí)涉及 “中心天體-環(huán)繞天體”模型和“自轉(zhuǎn)”天體模型，要明確兩種模型中萬有引力的作用，區(qū)分相關(guān)的物理量.

（2）天體自轉(zhuǎn)時(shí)，天體表面各物體隨天體一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力mω2R最大.對(duì)于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N為天體表面對(duì)物體的支持力.如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，天體瓦解.天體剛好不瓦解的臨界條件是N=0，此時(shí)有GMmR2=mω2R，由此式可以計(jì)算天體不瓦解所對(duì)應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可計(jì)算出天體不瓦解的最小密度.

三、雙星問題

天文學(xué)上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體稱為雙星.雙星運(yùn)行中，離其它星體較遠(yuǎn)，因此只考慮這兩個(gè)星體間的萬有引力.雙星間的萬有引力提供這兩個(gè)星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以這兩顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，這兩顆星繞連線上的一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以它們的周期相等、角速度相等.這類問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解.

圖1例3 （2013年山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如雙星的質(zhì)量為別為mA、mB，兩者間距為L(zhǎng)，，對(duì)mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；對(duì)mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；兩者半徑關(guān)系為rA+rB=L，三式聯(lián)立可得兩星半徑rA=mBmA+mBL，進(jìn)而可得雙星轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T=4π2L3G（mA+mB）.當(dāng)雙星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí)，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正確.

點(diǎn)評(píng) 雙星問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解，萬有引力提供向心力.但要注意該模型中萬有引力中定律表達(dá)式中的r表示雙星間距，為上式中的L，而向心力表達(dá)式中的r表示雙星各自的旋轉(zhuǎn)半徑，為上式中的rA和rB，一定要注意區(qū)分.