極限思維法在高中物理解題中的應用

梁洪亮

1.運用極限思維法尋找解題突破口

例1 如圖1所示，一質量為m的物體過繩PQ通過一定滑輪與圖1 小車通過細繩將物體向上提升一輛車相連，假定繩子的P端連接小車，Q端連接物體，繩本身沒有伸縮性，繩和定滑輪的尺寸和質量不計并且忽略滑輪與繩子之間的摩擦力.運動開始時，車在左側滑輪外邊緣的正下方的A點，繩PQ繃緊但無作用力，其中AB間距離和左側繩長均為H，開始運動后，汽車向左加速運動，沿水平方向由A點運動到B點后繼續駛向C點.假設小車經過B點時的速度為υb，試求小車在由A點向B點運動的過程中，繩端Q的拉力對物體所做功的大小.

運用動能定理的解題思路，通過動能定理求出繩Q端的拉力對物體做的功，關鍵在于是否能夠正確求出小車到B點時，物體所具有的即時速度υtb.這種解題方式往往會讓學生犯下υtb=υb的主觀錯誤.

極限思維法的解題思路，據圖可得，繩P端的速度υ的大小和方向隨著小車的行駛，不斷地發生變化，據此可以用極限思維方法分析題目.在A點時，θ=90°，繩速υ=0，當小車由C點駛向無窮遠處時，θ=0°，此時繩子和車速趨近于相同.因此，在小車由A點駛過B、C繼續駛向無窮遠處的整個過程中，繩P端的速度呈現出遞增的變化，處于兩個極限位置的繩P端和小車速度關系：在A點，υ=V車cos90°=0，在無窮遠處，υ=V車cos180°=V車，所以在B點應用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以準確的得到小車行駛到B點時物體的速度vt.至此，可以簡單地作出答案.

2.運用極限思維法探求解途徑

圖2 兩相同的小球從兩斜面頂端同時滑下例2 如圖2所示高度相同的兩光滑斜面甲、乙，具有相同的總長度，但是乙斜面是由兩部分連接組成的.假設現從甲乙兩斜面的頂端同時釋放兩個完全相同的小球，不計接觸面摩擦和能量損失，試求哪個斜面的小球能夠先到達底端？

常規解題思路 對于甲斜面來說，小球的運動過程是一個簡單的勻加速過程.所以，求小球運動到斜面底端的時間就以直接利用運動學公式.

L=12at2m因為a=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

極限思維法的解題思路，對于乙斜面來說：顯然不可以用簡圖3 乙斜面中小球通過

思維法推論的極限狀態單的運動學公式解決問題，但是可以根據極限思維法分析解決.對乙斜面上兩部分邊線進行極限假設，斜面上的兩段線所成的角變化范圍從90°變化到180°，當夾角變化成180°時，即成為甲斜面現在所呈現的狀態，如圖3所示，此時所呈現的狀態為夾角為90°時的乙斜面狀態.此時小球的運動的時間分為兩部分，AB段的自由落體運動，和BC段的勻速運動，其運動時間為沿AB段到達B點時小球的速度v=2gh，沿BC段小球的運動時間t2=L-h2gh.

在圖3所示的乙斜面上，小球所運動的總時間t乙′=t1+t2，因為L>h 所以t甲>t乙′.

根據上述可知，圖2中顯示的乙斜面的角度是在圖1所示斜面和圖3所示斜面的夾角之間（即在 ～ 之間），因此，三種斜面的小球落底時間長短關系為t甲>t乙>t乙′

3.運用極限思維方法提高解題效率

圖4例3 圖4所示裝置正處于平衡狀態.假設現在把繩子AC換成繩子AC′，其中AC′的長度大于AC，AB桿保持豎直狀態不變，此時這個裝置仍能夠保持平衡狀態，現比較原來裝置中繩子AC的張力和桿AB所受的壓力與改變后繩子AC'所受張力T和桿AB所受壓力N相比較，改變后的張力T和壓力N的變化情況為（ ）.

A.T增大，N減少 B.T、N均增大

C.T減小，N增大 D.T、N均減小

改變繩AC的長度，同時仍保持裝置處于平衡狀態，桿AB與地面用鉸鏈連接.常規求解思路如圖所示，假設繩AC與水平方向的夾角為θ，繩AC中的點A受到AB桿的支持力N'、AC繩的拉力T'以及AD繩的拉力三個力作用而處于平衡狀態，繩AD所受的拉力大小等于G.根據平衡條件，在A點處可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，豎直方向N′-T′sinθ=0，根據作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的結果可以看出，隨著θ的減小，繩子所受張力N和桿AB所受的壓力均減小，故答案選D.

極限思維法的解題思路：根據極限思維法可以推斷其兩種極限狀態，當θ=0°（即C′點趨近于無窮遠處）時，張力N=0，支持力T=G，當θ=90°（即B點與C點重合）時，張力N趨近于無窮大，支持力T=N也趨近于無窮大，故當θ減小時，當繩AC′變長時，張力N和支持力T均減小.

除此之外，極限思維法還可以對高中物理題目進行快速有效地結果檢驗，快速準確的發現題目中的錯誤所在，使得學生做題時節約大量的時間.

4.結論

根據以上例題可以看出，極限思維方法與常規思維方法相比，極限思維法可以明顯的將高中的物理題目由繁化簡，由難化易.大大的提高解題的準確率，并且節約大量的時間，最重要的是極限思維法的應用可以開拓學生的創新思維，利用全新的路徑尋找解題方法.綜上所述，極限思維方法對高中物理的學習有很大的幫助.

1.運用極限思維法尋找解題突破口

例1 如圖1所示，一質量為m的物體過繩PQ通過一定滑輪與圖1 小車通過細繩將物體向上提升一輛車相連，假定繩子的P端連接小車，Q端連接物體，繩本身沒有伸縮性，繩和定滑輪的尺寸和質量不計并且忽略滑輪與繩子之間的摩擦力.運動開始時，車在左側滑輪外邊緣的正下方的A點，繩PQ繃緊但無作用力，其中AB間距離和左側繩長均為H，開始運動后，汽車向左加速運動，沿水平方向由A點運動到B點后繼續駛向C點.假設小車經過B點時的速度為υb，試求小車在由A點向B點運動的過程中，繩端Q的拉力對物體所做功的大小.

運用動能定理的解題思路，通過動能定理求出繩Q端的拉力對物體做的功，關鍵在于是否能夠正確求出小車到B點時，物體所具有的即時速度υtb.這種解題方式往往會讓學生犯下υtb=υb的主觀錯誤.

極限思維法的解題思路，據圖可得，繩P端的速度υ的大小和方向隨著小車的行駛，不斷地發生變化，據此可以用極限思維方法分析題目.在A點時，θ=90°，繩速υ=0，當小車由C點駛向無窮遠處時，θ=0°，此時繩子和車速趨近于相同.因此，在小車由A點駛過B、C繼續駛向無窮遠處的整個過程中，繩P端的速度呈現出遞增的變化，處于兩個極限位置的繩P端和小車速度關系：在A點，υ=V車cos90°=0，在無窮遠處，υ=V車cos180°=V車，所以在B點應用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以準確的得到小車行駛到B點時物體的速度vt.至此，可以簡單地作出答案.

2.運用極限思維法探求解途徑

圖2 兩相同的小球從兩斜面頂端同時滑下例2 如圖2所示高度相同的兩光滑斜面甲、乙，具有相同的總長度，但是乙斜面是由兩部分連接組成的.假設現從甲乙兩斜面的頂端同時釋放兩個完全相同的小球，不計接觸面摩擦和能量損失，試求哪個斜面的小球能夠先到達底端？

常規解題思路 對于甲斜面來說，小球的運動過程是一個簡單的勻加速過程.所以，求小球運動到斜面底端的時間就以直接利用運動學公式.

L=12at2m因為a=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

極限思維法的解題思路，對于乙斜面來說：顯然不可以用簡圖3 乙斜面中小球通過

思維法推論的極限狀態單的運動學公式解決問題，但是可以根據極限思維法分析解決.對乙斜面上兩部分邊線進行極限假設，斜面上的兩段線所成的角變化范圍從90°變化到180°，當夾角變化成180°時，即成為甲斜面現在所呈現的狀態，如圖3所示，此時所呈現的狀態為夾角為90°時的乙斜面狀態.此時小球的運動的時間分為兩部分，AB段的自由落體運動，和BC段的勻速運動，其運動時間為沿AB段到達B點時小球的速度v=2gh，沿BC段小球的運動時間t2=L-h2gh.

在圖3所示的乙斜面上，小球所運動的總時間t乙′=t1+t2，因為L>h 所以t甲>t乙′.

根據上述可知，圖2中顯示的乙斜面的角度是在圖1所示斜面和圖3所示斜面的夾角之間（即在 ～ 之間），因此，三種斜面的小球落底時間長短關系為t甲>t乙>t乙′

3.運用極限思維方法提高解題效率

圖4例3 圖4所示裝置正處于平衡狀態.假設現在把繩子AC換成繩子AC′，其中AC′的長度大于AC，AB桿保持豎直狀態不變，此時這個裝置仍能夠保持平衡狀態，現比較原來裝置中繩子AC的張力和桿AB所受的壓力與改變后繩子AC'所受張力T和桿AB所受壓力N相比較，改變后的張力T和壓力N的變化情況為（ ）.

A.T增大，N減少 B.T、N均增大

C.T減小，N增大 D.T、N均減小

改變繩AC的長度，同時仍保持裝置處于平衡狀態，桿AB與地面用鉸鏈連接.常規求解思路如圖所示，假設繩AC與水平方向的夾角為θ，繩AC中的點A受到AB桿的支持力N'、AC繩的拉力T'以及AD繩的拉力三個力作用而處于平衡狀態，繩AD所受的拉力大小等于G.根據平衡條件，在A點處可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，豎直方向N′-T′sinθ=0，根據作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的結果可以看出，隨著θ的減小，繩子所受張力N和桿AB所受的壓力均減小，故答案選D.

極限思維法的解題思路：根據極限思維法可以推斷其兩種極限狀態，當θ=0°（即C′點趨近于無窮遠處）時，張力N=0，支持力T=G，當θ=90°（即B點與C點重合）時，張力N趨近于無窮大，支持力T=N也趨近于無窮大，故當θ減小時，當繩AC′變長時，張力N和支持力T均減小.

除此之外，極限思維法還可以對高中物理題目進行快速有效地結果檢驗，快速準確的發現題目中的錯誤所在，使得學生做題時節約大量的時間.

4.結論

根據以上例題可以看出，極限思維方法與常規思維方法相比，極限思維法可以明顯的將高中的物理題目由繁化簡，由難化易.大大的提高解題的準確率，并且節約大量的時間，最重要的是極限思維法的應用可以開拓學生的創新思維，利用全新的路徑尋找解題方法.綜上所述，極限思維方法對高中物理的學習有很大的幫助.

1.運用極限思維法尋找解題突破口

例1 如圖1所示，一質量為m的物體過繩PQ通過一定滑輪與圖1 小車通過細繩將物體向上提升一輛車相連，假定繩子的P端連接小車，Q端連接物體，繩本身沒有伸縮性，繩和定滑輪的尺寸和質量不計并且忽略滑輪與繩子之間的摩擦力.運動開始時，車在左側滑輪外邊緣的正下方的A點，繩PQ繃緊但無作用力，其中AB間距離和左側繩長均為H，開始運動后，汽車向左加速運動，沿水平方向由A點運動到B點后繼續駛向C點.假設小車經過B點時的速度為υb，試求小車在由A點向B點運動的過程中，繩端Q的拉力對物體所做功的大小.

運用動能定理的解題思路，通過動能定理求出繩Q端的拉力對物體做的功，關鍵在于是否能夠正確求出小車到B點時，物體所具有的即時速度υtb.這種解題方式往往會讓學生犯下υtb=υb的主觀錯誤.

極限思維法的解題思路，據圖可得，繩P端的速度υ的大小和方向隨著小車的行駛，不斷地發生變化，據此可以用極限思維方法分析題目.在A點時，θ=90°，繩速υ=0，當小車由C點駛向無窮遠處時，θ=0°，此時繩子和車速趨近于相同.因此，在小車由A點駛過B、C繼續駛向無窮遠處的整個過程中，繩P端的速度呈現出遞增的變化，處于兩個極限位置的繩P端和小車速度關系：在A點，υ=V車cos90°=0，在無窮遠處，υ=V車cos180°=V車，所以在B點應用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以準確的得到小車行駛到B點時物體的速度vt.至此，可以簡單地作出答案.

2.運用極限思維法探求解途徑

圖2 兩相同的小球從兩斜面頂端同時滑下例2 如圖2所示高度相同的兩光滑斜面甲、乙，具有相同的總長度，但是乙斜面是由兩部分連接組成的.假設現從甲乙兩斜面的頂端同時釋放兩個完全相同的小球，不計接觸面摩擦和能量損失，試求哪個斜面的小球能夠先到達底端？

常規解題思路 對于甲斜面來說，小球的運動過程是一個簡單的勻加速過程.所以，求小球運動到斜面底端的時間就以直接利用運動學公式.

L=12at2m因為a=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

極限思維法的解題思路，對于乙斜面來說：顯然不可以用簡圖3 乙斜面中小球通過

思維法推論的極限狀態單的運動學公式解決問題，但是可以根據極限思維法分析解決.對乙斜面上兩部分邊線進行極限假設，斜面上的兩段線所成的角變化范圍從90°變化到180°，當夾角變化成180°時，即成為甲斜面現在所呈現的狀態，如圖3所示，此時所呈現的狀態為夾角為90°時的乙斜面狀態.此時小球的運動的時間分為兩部分，AB段的自由落體運動，和BC段的勻速運動，其運動時間為沿AB段到達B點時小球的速度v=2gh，沿BC段小球的運動時間t2=L-h2gh.

在圖3所示的乙斜面上，小球所運動的總時間t乙′=t1+t2，因為L>h 所以t甲>t乙′.

根據上述可知，圖2中顯示的乙斜面的角度是在圖1所示斜面和圖3所示斜面的夾角之間（即在 ～ 之間），因此，三種斜面的小球落底時間長短關系為t甲>t乙>t乙′

3.運用極限思維方法提高解題效率

圖4例3 圖4所示裝置正處于平衡狀態.假設現在把繩子AC換成繩子AC′，其中AC′的長度大于AC，AB桿保持豎直狀態不變，此時這個裝置仍能夠保持平衡狀態，現比較原來裝置中繩子AC的張力和桿AB所受的壓力與改變后繩子AC'所受張力T和桿AB所受壓力N相比較，改變后的張力T和壓力N的變化情況為（ ）.

A.T增大，N減少 B.T、N均增大

C.T減小，N增大 D.T、N均減小

改變繩AC的長度，同時仍保持裝置處于平衡狀態，桿AB與地面用鉸鏈連接.常規求解思路如圖所示，假設繩AC與水平方向的夾角為θ，繩AC中的點A受到AB桿的支持力N'、AC繩的拉力T'以及AD繩的拉力三個力作用而處于平衡狀態，繩AD所受的拉力大小等于G.根據平衡條件，在A點處可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，豎直方向N′-T′sinθ=0，根據作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的結果可以看出，隨著θ的減小，繩子所受張力N和桿AB所受的壓力均減小，故答案選D.

極限思維法的解題思路：根據極限思維法可以推斷其兩種極限狀態，當θ=0°（即C′點趨近于無窮遠處）時，張力N=0，支持力T=G，當θ=90°（即B點與C點重合）時，張力N趨近于無窮大，支持力T=N也趨近于無窮大，故當θ減小時，當繩AC′變長時，張力N和支持力T均減小.

除此之外，極限思維法還可以對高中物理題目進行快速有效地結果檢驗，快速準確的發現題目中的錯誤所在，使得學生做題時節約大量的時間.

4.結論

根據以上例題可以看出，極限思維方法與常規思維方法相比，極限思維法可以明顯的將高中的物理題目由繁化簡，由難化易.大大的提高解題的準確率，并且節約大量的時間，最重要的是極限思維法的應用可以開拓學生的創新思維，利用全新的路徑尋找解題方法.綜上所述，極限思維方法對高中物理的學習有很大的幫助.