高中數學中分類思想的討論研究

2014-03-26 20:25:41張友健

理科考試研究·高中 2014年1期

張友健

在分類討論時，充分挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，靈活地采用相應的解題策略，可簡化或避免分類討論.下面通過實例說明如何簡化或避免分類討論.

一、整體分析，有效避免討論

例1 已知函數f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若對任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，則實數a的取值范圍為 .

分析由于對任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函數f（x）的最大值時常規思路是對于二次函數的對稱軸與區間的位置進行分類討論.倘若同學們從整體思維出發，由二次函數的圖象可知，函數f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），

f（2）≤gmin（x）.

解析由題意可知，因為x1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，

f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，

4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以實數a的取值范圍為（-∞，-45].

評析整體分析是一種重要的數學思想，它是從全局的視角上去通觀問題，放棄細節，把握解題方向.受定勢習慣思維的影響，在解含參問題時，一些同學先想到的是如何分類討論，而忽視了從整體把握問題，突破常規思路，切中解題要點避免分類討論.

二、變更主元，有效避免討論

例2 設不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

分析本例為含參數的不等式，關鍵是對參數的處理，從表面上看，是一個關于x的一元二次不等式，實質上是一個關于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求參數x的范圍.因此通過參數m與未知數x的地位的變化，借助一次函數圖象，避免了對參數的討論.

解析設f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m為自變量的一次函數（或常數函數）.當m∈[-2，2]時，其圖象是線段，應在橫軸下方，故有f（-2）<0，

f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，

2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，

1-32

評析在含有參數的方程、不等式問題中，若已知參量的取值范圍，需確定主變量的取值范圍，常?？梢宰儞Q主元，構造以參量為自變量的函數（變換主元），實現反客為主，避開分類討論.

三、消去參數，有效避免討論

例3 設00且a≠1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

分析本例通常應分a>1與0

評析數學定義以及基本原理是數學知識再生之源，蘊涵特定的數學思想方法.對于一些數學問題，若從最基本的知識點入手，回歸定義，聯想性質，可以優化解題過程.

四、數形結合，有效避免討論

利用函數圖象，幾何圖形的直觀性，能巧妙地將數量關系與空間圖形結合起來，有時也可以回避問題的討論.

圖1例4 當x∈[-4，0]時，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解析若設函數y1=x（-4-x），則（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其圖象為上半圓.設函數y2=43x+1-a，其圖象為直線.

在同一坐標系內作出函數圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心（-2，0）到直線4x-3y+3-3a=0的距離d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0時成立，從而求得a的取值范圍為a<-5.

五、通過換元，，有效避免討論

引入參變量，作為揭示變量間內在聯系的媒介，能幫助對運動變化過程作出定量的刻畫，消化難點，化難為易.

例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1.

分析本題按常規解法是去分母，兩邊平方去根號，而且需要討論左右的正負情況.若我們注意觀察原不等式，引入參數，進行三角換元，可避免繁瑣的解題過程.

解令x=tanα，α∈（-π2，π2），則原不等式可化為2sin2α-sinα-1<0，解得-12-33.所以原不等式的解集為（-33，+∞）.

在分類討論時，充分挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，靈活地采用相應的解題策略，可簡化或避免分類討論.下面通過實例說明如何簡化或避免分類討論.

一、整體分析，有效避免討論

例1 已知函數f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若對任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，則實數a的取值范圍為 .

f（2）≤gmin（x）.

解析由題意可知，因為x1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，

f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，

4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以實數a的取值范圍為（-∞，-45].

二、變更主元，有效避免討論

例2 設不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

解析設f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m為自變量的一次函數（或常數函數）.當m∈[-2，2]時，其圖象是線段，應在橫軸下方，故有f（-2）<0，

f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，

2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，

1-32

評析在含有參數的方程、不等式問題中，若已知參量的取值范圍，需確定主變量的取值范圍，常常可以變換主元，構造以參量為自變量的函數（變換主元），實現反客為主，避開分類討論.

三、消去參數，有效避免討論

例3 設00且a≠1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

分析本例通常應分a>1與0

四、數形結合，有效避免討論

利用函數圖象，幾何圖形的直觀性，能巧妙地將數量關系與空間圖形結合起來，有時也可以回避問題的討論.

圖1例4 當x∈[-4，0]時，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解析若設函數y1=x（-4-x），則（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其圖象為上半圓.設函數y2=43x+1-a，其圖象為直線.

五、通過換元，，有效避免討論

引入參變量，作為揭示變量間內在聯系的媒介，能幫助對運動變化過程作出定量的刻畫，消化難點，化難為易.

例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1.

解令x=tanα，α∈（-π2，π2），則原不等式可化為2sin2α-sinα-1<0，解得-12-33.所以原不等式的解集為（-33，+∞）.

在分類討論時，充分挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，靈活地采用相應的解題策略，可簡化或避免分類討論.下面通過實例說明如何簡化或避免分類討論.

一、整體分析，有效避免討論

例1 已知函數f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若對任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，則實數a的取值范圍為 .

f（2）≤gmin（x）.

解析由題意可知，因為x1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，

f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，

4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以實數a的取值范圍為（-∞，-45].

二、變更主元，有效避免討論

例2 設不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

解析設f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m為自變量的一次函數（或常數函數）.當m∈[-2，2]時，其圖象是線段，應在橫軸下方，故有f（-2）<0，

f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，

2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，

1-32

三、消去參數，有效避免討論

例3 設00且a≠1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.

分析本例通常應分a>1與0

四、數形結合，有效避免討論

利用函數圖象，幾何圖形的直觀性，能巧妙地將數量關系與空間圖形結合起來，有時也可以回避問題的討論.

圖1例4 當x∈[-4，0]時，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范圍.

解析若設函數y1=x（-4-x），則（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其圖象為上半圓.設函數y2=43x+1-a，其圖象為直線.

五、通過換元，，有效避免討論

引入參變量，作為揭示變量間內在聯系的媒介，能幫助對運動變化過程作出定量的刻畫，消化難點，化難為易.

例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1.

解令x=tanα，α∈（-π2，π2），則原不等式可化為2sin2α-sinα-1<0，解得-12-33.所以原不等式的解集為（-33，+∞）.