幾何畫板——數(shù)學(xué)教師的得力助手

郭小發(fā)

摘 要：本文在分析應(yīng)用幾何畫板開展數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，以《正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+ф）的圖像與性質(zhì)》這節(jié)課為例，介紹了如何應(yīng)用幾何畫板講解知識的重點與難點，并指出了應(yīng)用幾何畫板應(yīng)注意的問題。

關(guān)鍵詞：幾何畫板 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用 問題

科學(xué)運用教育技術(shù)手段優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，合理使用現(xiàn)代教育理念進行課堂教學(xué)設(shè)計，充分發(fā)揮信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的作用，是提高中學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量與效果的有效途徑。幾何畫板是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種快捷、適用的應(yīng)用軟件，通過其應(yīng)用能有效地發(fā)揮啟發(fā)式教學(xué)的作用，極大地提高課堂效果，增大課堂教學(xué)容量，減輕教師的相對工作量。因此，可以說幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)的得力助手。

一、應(yīng)用幾何畫板開展數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢

利用課件進行多媒體教學(xué)，有一個共同的問題，就是教師需要在課下花費大量的時間做好課件，才能在課上進行演示。而教師應(yīng)用幾何畫板進行數(shù)學(xué)教學(xué)，則根本不需要如此。因為數(shù)學(xué)有其自身的特點和要求，在數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中需要必要的推理過程，如果完全依賴于多媒體課件，忽略了必要的推導(dǎo)過程，那么教學(xué)效果很有可能會事與

愿違。

幾何畫板操作簡便，教師只要在課下做好充分準(zhǔn)備，就可以當(dāng)堂利用幾何畫板做數(shù)學(xué)課件，根本不用擔(dān)心影響教學(xué)進度。教師在課下做出課件的基礎(chǔ)部分，留下比較關(guān)鍵的部分在課堂上進行補充，這樣教師在補做課件的同時，能更具體、更形象地傳授知識，進而讓學(xué)生通過觀察教師的操作過程，自己去發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，自己去總結(jié)其規(guī)律，以加深學(xué)生的記憶，順利達到教學(xué)目的。當(dāng)然，這一過程也需要教師在課下反復(fù)演練。

利用幾何畫板進行數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以使教師從繁重的課件制作中解脫出來，還可以充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)生們看到了制作這一課件的主要過程，學(xué)有余力的學(xué)生就會利用課余時間，自己利用計算機去進行探索、驗證。當(dāng)學(xué)生在這一過程中取得成功時，就會有很大的成就感，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣就會越來越高，無形中還會帶動一批學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生熱愛。當(dāng)學(xué)生在自己鉆研的過程中遇到困難時，教師要給予關(guān)懷和幫助。有條件的學(xué)校，可以讓學(xué)生到計算機房去上數(shù)學(xué)課，教師只需要教給學(xué)生簡單的幾何畫板應(yīng)用知識，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力，由學(xué)生獨立完成數(shù)學(xué)課件，學(xué)生可以在玩數(shù)學(xué)游戲的過程中，輕松地學(xué)到數(shù)學(xué)知識，從而更輕松地完成教學(xué)任務(wù)。

二、應(yīng)用幾何畫板進行數(shù)學(xué)教學(xué)的案例

《正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)》這節(jié)課是三角函數(shù)圖像與性質(zhì)部分的重要內(nèi)容，如果學(xué)生能夠很好地掌握正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，那么學(xué)習(xí)余弦型函數(shù)等內(nèi)容就會非常容易了。這一節(jié)內(nèi)容起著承上啟下的作用，十分重要。但是，這一節(jié)課也是整個中學(xué)學(xué)習(xí)階段中最難理解的內(nèi)容之一，圖像多，變化大，如果教師利用傳統(tǒng)的教學(xué)手段，講完這一節(jié)內(nèi)容大約需要 4個課時，且效果不佳。因為僅僅畫圖就需要浪費教師大量的時間，在教師畫圖的過程中，學(xué)生只能干瞪著眼看，教師畫完圖后，學(xué)生又只能面對死板的圖形和教師枯燥的說教，缺乏學(xué)習(xí)興趣，自然也就不易掌握。如果教師利用幾何畫板軟件，采用多媒體動畫演示來啟發(fā)學(xué)生，僅僅需要2個課時就能完成教學(xué)任務(wù)，且效果很好。

《正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)》這一節(jié)課的教學(xué)重點是啟發(fā)學(xué)生理解并掌握正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中的A、ω、ф的幾何意義，即數(shù)A、ω、ф對函數(shù)性質(zhì)有什么影響。筆者在利用幾何畫板講這一節(jié)課的時候，并不是做一個完整的數(shù)學(xué)課件，而是做出了這個課件的基本框架，大多數(shù)比較重要的內(nèi)容是留在課堂上邊講邊做的。

1.難點一：y=Asin x型函數(shù)的圖像與性質(zhì)

筆者在講授這一節(jié)課的難點之一“y=Asin x型函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時，僅僅是在操作界面上做出函數(shù)y=sin x的圖像，在進行函數(shù)y=2sin x與函數(shù)y=sin x圖像的比較時，筆者利用幾何畫板工具在不到一分鐘的時間內(nèi)就畫出了函數(shù)y= 2sin x的圖像，且界面非常清楚，學(xué)生的觀察沒受到其他圖像的干擾。然后筆者再引導(dǎo)學(xué)生去觀察二者的相同點與不同點，啟發(fā)學(xué)生去觀察二者的最高點或最低點的區(qū)別和它們與x軸交點位置的相同之處，進而讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)二者之間最大值與最小值的倍數(shù)關(guān)系。稍停，筆者接著畫出函數(shù)y=3sin x的圖像，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)y=3sin x與函數(shù)y=sin x圖像的關(guān)系，進一步說明二者之間最大值與最小值的倍數(shù)關(guān)系。

這時，學(xué)生可能對這種倍數(shù)關(guān)系還會有些懷疑：是不是對任意的正實數(shù)A都有同樣的結(jié)果呢？這一部分教學(xué)的關(guān)鍵是講清楚函數(shù)y=Asin x中的A對圖像的影響。筆者利用隱藏工具隱藏了函數(shù)y=2sin x與y=3sin x的圖像，并開始在界面上畫出函數(shù)y=Asin x的圖像。（注意：在畫出函數(shù)y=Asin x圖像的過程中，教師需要向?qū)W生詳細解釋過程，特別是數(shù)A的來歷）。筆者在學(xué)生的“監(jiān)督”下，在平面上畫出點A，接著馬上度量出點A的縱坐標(biāo)，向?qū)W生解釋清楚：點A的縱坐標(biāo)也就是點A到x軸的距離，度量出來的數(shù)字也就是函數(shù)y=Asin x中的系數(shù)。筆者在利用圖表工具繪畫函數(shù)y=Asin x的圖像時，提醒學(xué)生看清楚作圖過程，在sinx前邊乘以A時，筆者點擊的是度量出來的數(shù)A，而不是其他數(shù)，這樣畫出的圖像學(xué)生就不會再有懷疑了。

緊接著，在上下拖動點A的同時，筆者提醒學(xué)生仔細觀察函數(shù)圖像的變化和數(shù)A的變化。學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)數(shù)A的值變大時，圖像的最大值也變大了，最小值變小了。接著，筆者又啟發(fā)學(xué)生進一步觀察函數(shù)的最大值與數(shù)A的值有什么關(guān)系？同時，拖動線段（過點A向x軸作的垂線段），使它平移到圖像的最高點位置，可以看到，A點正好與函數(shù)的最高點重合，學(xué)生就會馬上做出反應(yīng)：“哦！數(shù)A縱坐標(biāo)的值等于函數(shù)的最大值！”為了加深學(xué)生的印象，筆者就請學(xué)生繼續(xù)觀察，拖動點A時，無論數(shù)A的值是整數(shù)還是小數(shù)，圖像的最大值都是點A的縱坐標(biāo)。通常情況下，教材中所講的A值是大于0的。為了進一步啟發(fā)學(xué)生，筆者將點A拖到了x軸的下方，這時數(shù)A的值是負的，學(xué)生可以清楚地發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像發(fā)生了實質(zhì)性的變化——x軸翻轉(zhuǎn)了180度。這時，筆者提示學(xué)生，仔細觀察數(shù)A的值還等不等于函數(shù)的最大值？有的學(xué)生說等于，有的學(xué)生說不等于。接著，筆者又一次拖動點A到函數(shù)的圖像上，學(xué)生馬上會發(fā)現(xiàn)，等于函數(shù)的最小值。這時，筆者向?qū)W生進行強調(diào)：當(dāng)A>0時，函數(shù)的最大值是A，最小值是﹣A；當(dāng)A<0時，函數(shù)的最大值是﹣A，最小值是 A。因此，當(dāng)A>0時，A的幾何意義就是將函數(shù)y=sin x的圖像沿y軸的方向拉伸為原函數(shù)的A倍，使函數(shù)的最大值變?yōu)锳，最小值變?yōu)椹丄。

2.難點二：y=sinωx型函數(shù)的圖像與性質(zhì)

當(dāng)講授這一節(jié)課的第二個難點“y=sinωx型函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時，筆者采用動畫效果進一步調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。首先，筆者在操作界面上做出函數(shù)y=sin x的圖像，再利用幾何畫板工具畫出函數(shù)y=sin 2x的圖像，引導(dǎo)學(xué)生去觀察二者的相同點與不同點，觀察二者的最大值或最小值以及與x軸的交點位置有何異同，進而讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)其周期的倍數(shù)關(guān)系。由于在前邊已經(jīng)學(xué)習(xí)過了數(shù)A對函數(shù)圖像的影響，這時，有部分愛動腦子的學(xué)生就會有一些不成熟的想法。接著，筆者在學(xué)生的“監(jiān)督”下在平面上畫出y軸的一條垂線段，在垂線段上任取一點ω，馬上度量出點ω的縱坐標(biāo)的，提醒學(xué)生：點ω的縱坐標(biāo)也就是點ω到x軸的距離，度量出來的數(shù)字也就是函數(shù)y=sinωx中的x系數(shù)。在利用圖表工具繪畫函數(shù)y=sinωx的圖像時，筆者提醒學(xué)生們看清楚作圖過程，在x前邊乘以ω時，筆者點擊的是度量出來的數(shù)ω，而不是其他數(shù)。緊接著，在上下拖動點ω的同時，筆者提醒學(xué)生仔細觀察函數(shù)圖像的變化和數(shù)ω的變化。學(xué)生就可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)ω的值變大時，圖像以原點為中心，沿x軸方向向y軸壓縮；當(dāng)數(shù)ω的值變小時，圖像以原點為中心，沿x軸方向向兩邊伸展。當(dāng)數(shù)ω的值由1變?yōu)?時，函數(shù)y=sinωx的圖像以原點為中心，沿x軸方向向y軸壓縮為原來的，即：在[0，2π]范圍內(nèi)，函數(shù)y=sinx的圖像是1個周期，而函數(shù)y=sinωx的圖像是兩個周期。當(dāng)數(shù)ω的值由1變?yōu)?時，圖像以原點為中心，沿x軸方向向y軸壓縮原來的，即：在[0，2π]范圍內(nèi)，函數(shù)y=sinx的圖像是1個周期，而函數(shù)y=sinωx的圖像是3個周期。筆者請學(xué)生通過自己的觀察來歸納函數(shù)的周期與數(shù)ω的值有什么關(guān)系，為了進一步激發(fā)學(xué)生的興趣，筆者設(shè)置點ω的動畫，學(xué)生們可以清楚地看到隨著ω點的運動，函數(shù)y=sinωx的圖像會像彈簧彈動一樣變化。

筆者學(xué)校有一位老教師說了這樣一句發(fā)自肺腑的話：“過去，用多媒體不會上課，自從用了幾何畫板，不用多媒體就不會上課。幾何畫板真是讓我們受益匪淺。”但需要說明的是，在利用幾何畫板進行數(shù)學(xué)課件制作的過程中，不能一味追求一個模式，教師應(yīng)該根據(jù)不同的課題，采用不同的方法，充分展示幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢，上好每一節(jié)課，爭取用最少的時間使學(xué)生學(xué)到最多的知識。

（作者單位：焦作市職業(yè)技術(shù)學(xué)校）