分類討論思想在初中數學解題中的運用策略

周金林

數學思想是人們對現實世界的數量關系、空間形式、模式結構的意識反映，是思維活動的結果。它能幫助人們系統化地學習知識、掌握結構，提供最佳解決問題的策略，諸如數形結合思想、化歸思想、方程與函數思想、分類討論思想等等。分類討論思想最早源于《九章算術》中關于盈虧問題的討論，它指在部分數學問題中存在著一些不確定的因素，結論不是能夠唯一確定的，要根據題目特點和要求，按不同的情況進行分類，將原題轉化為若干個小問題逐項討論，最后綜合求解的過程。

一、滲透分類討論思想的意義

1.有助于養成分類的意識。物以類聚，每個人在日常生活中都積累了一定的分類經驗，教師在課堂教學中要將生活中的分類知識遷移到數學教學中，如數的分類、三角形的分類等等，力求做到目標明確、標準統一，要充分挖掘教材，抓住滲透的契機，將分類討論應用于生活之中。

2.有助于掌握分類的方法。在分類討論教學中，教師要引導學生根據對象的屬性進行分類討論，不遺漏、不重復地劃分子類，并對每一類加以解答，能有效地培養學生思維的縝密性。

3.有助于形成一題多解的能力。分類討論教學為學生營造了合作、交流、爭辯的氛圍，學生往往不滿足于一種解法，對一些題目提出兩種、三種甚至多種解法，能有效培養學生思維的靈活性，從而促進學生創新思維能力的發展。

4.有助于形成良好的認知結構。學生認知結構的發展是通過學生主動同化、順應，在原有的認知結構上進行拓展、延伸，從而形成新的系統。分類討論思想揭示知識間的內在聯系，能幫助學生完善認知結構，培養思維的靈活性和創造性。

二、當前分類討論思想滲透存在的主要問題

1.教學思想陳舊。長期以來，受“傳道、授業、解惑”的傳統影響，部分教師教學思想陳舊，沿襲傳統的教學理念，以傳授知識作為主要教學目標，他們只注重知識的傳授，而忽視思想方法的滲透，他們從不主動考慮解題意圖，不能從多角度分析問題，往往是一解了之，缺乏深層次的探索，掩蓋了學生的思維困惑。

2.學生被動接受。傳統的數學教學脫離學生生活實際，教師機械灌輸，大搞題海戰術，割裂了知識間的聯系，學生缺乏自我感悟和獨立探究的機會，感到數學知識索然無味，缺乏探究熱情，無法顧及運用什么思想方法，更談不上知識的創新了。如在“角平分線定理”教學中，一位教師重點強調“到三角形三邊距離相等的點是三角形的內心”，而沒有聯系“外心”進行分類討論，導致學生在解題時容易出錯。

3.應試教育影響。部分教師受中考指揮棒的影響，“以考分論英雄”的應試教育觀念根深蒂固，他們不理解素質教育的內涵，依然“穿新鞋走老路”，重知識輕能力、重解題輕思想的現象普遍存在，導致學生抽象思維能力薄弱。

三、分類思想在解題中的應用

1.分類思想在絕對值解題運算中的運用。解有關絕對值的題目時，一般是根據絕對值的意義去掉絕對值符號，但如果不確定絕對值里面數的符號，就必須要分類討論。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的條件是（ ）

A. a為任何實數 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此題中等號左右兩邊都有絕對值符號，而又未給出實數a的取值范圍，因而無法直接去掉絕對值。可根據“零點分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0進行討論。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）當a<-1時，左邊=-（a+1）=-a-1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（2）當-1≤a<0時，左邊=a+1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（3）當a≥0時，左邊=a+1，右邊=a+1，左邊=右邊。

∴a≥0，應選D。

2.分類討論思想在方程解題中的應用。在解方程ax2+bx+c=0時，要根據一元二次方程的定義分析a是否為0的情況。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實數根，求a的取值范圍。

分析：在解字母系數的取值范圍問題中，題目沒有明確二次項系數a2的符號，因此不僅要考慮二次方程的可能，還要考慮一次方程的可能。

解：（1）當a2=0，即a=0，方程為一元一次方程-2x+1=0，有實數根x=0.5；

（2）當a2≠0，即a≠0，方程為一元二次方程，當△≥0時有實根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

綜合（1）、（2），得a≤1。

（3）分類討論思想在函數中的應用。函數教學中出現分類討論的題型較多，有關于一次函數，有關于反比例函數的，還有綜合性較強的二次函數，它們大多是由一元二次方程的性質演變而來，教者要引導學生分情況進行說明。

例3：求函數y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點坐標。

分析：本題條件是不唯一的，問題中沒有說明是什么函數，要分兩種情況：一次函數或二次函數進行討論。①當k=1時，此函數是一次函數y=-x+1，與x軸的交點坐標為（1，0）；②當此函數為二次函數時，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函數的圖象與x軸交點的個數與△的符號有關，因此要分△>0、△=0兩種情況分析：△>0，即k≠2時，有兩個交點（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2時，有一個交點（1，0）。

（4）分類思想在幾何操作中的運用。在解答幾何問題時，要根據題意分析清楚符合條件圖形的各種可能形狀、位置，抓住相關對象性質，分類各種符合條件的圖形。

例4：已知△ABC的邊AB=6，AC=2■，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的一邊在已知△ABC邊上，另外兩個頂點在AC、BC上，求這個正方形的面積。

分析：過△ABC的頂點A向對邊作垂線，垂足可以在BC上，也可能在BC的延長線上，要分兩種情況進行討論。（如圖）

總之，分類討論思想作為一種重要的思想方法，對于培養學生思想的縝密性、嚴謹性具有重要意義，我們數學教師在數學解題中要循序漸進地滲透分類討論的思想方法，以提高學生的解題能力，培養學生的發散思維能力。

（作者單位：江蘇省濱海縣八巨初級中學）

數學思想是人們對現實世界的數量關系、空間形式、模式結構的意識反映，是思維活動的結果。它能幫助人們系統化地學習知識、掌握結構，提供最佳解決問題的策略，諸如數形結合思想、化歸思想、方程與函數思想、分類討論思想等等。分類討論思想最早源于《九章算術》中關于盈虧問題的討論，它指在部分數學問題中存在著一些不確定的因素，結論不是能夠唯一確定的，要根據題目特點和要求，按不同的情況進行分類，將原題轉化為若干個小問題逐項討論，最后綜合求解的過程。

一、滲透分類討論思想的意義

1.有助于養成分類的意識。物以類聚，每個人在日常生活中都積累了一定的分類經驗，教師在課堂教學中要將生活中的分類知識遷移到數學教學中，如數的分類、三角形的分類等等，力求做到目標明確、標準統一，要充分挖掘教材，抓住滲透的契機，將分類討論應用于生活之中。

2.有助于掌握分類的方法。在分類討論教學中，教師要引導學生根據對象的屬性進行分類討論，不遺漏、不重復地劃分子類，并對每一類加以解答，能有效地培養學生思維的縝密性。

3.有助于形成一題多解的能力。分類討論教學為學生營造了合作、交流、爭辯的氛圍，學生往往不滿足于一種解法，對一些題目提出兩種、三種甚至多種解法，能有效培養學生思維的靈活性，從而促進學生創新思維能力的發展。

4.有助于形成良好的認知結構。學生認知結構的發展是通過學生主動同化、順應，在原有的認知結構上進行拓展、延伸，從而形成新的系統。分類討論思想揭示知識間的內在聯系，能幫助學生完善認知結構，培養思維的靈活性和創造性。

二、當前分類討論思想滲透存在的主要問題

1.教學思想陳舊。長期以來，受“傳道、授業、解惑”的傳統影響，部分教師教學思想陳舊，沿襲傳統的教學理念，以傳授知識作為主要教學目標，他們只注重知識的傳授，而忽視思想方法的滲透，他們從不主動考慮解題意圖，不能從多角度分析問題，往往是一解了之，缺乏深層次的探索，掩蓋了學生的思維困惑。

2.學生被動接受。傳統的數學教學脫離學生生活實際，教師機械灌輸，大搞題海戰術，割裂了知識間的聯系，學生缺乏自我感悟和獨立探究的機會，感到數學知識索然無味，缺乏探究熱情，無法顧及運用什么思想方法，更談不上知識的創新了。如在“角平分線定理”教學中，一位教師重點強調“到三角形三邊距離相等的點是三角形的內心”，而沒有聯系“外心”進行分類討論，導致學生在解題時容易出錯。

3.應試教育影響。部分教師受中考指揮棒的影響，“以考分論英雄”的應試教育觀念根深蒂固，他們不理解素質教育的內涵，依然“穿新鞋走老路”，重知識輕能力、重解題輕思想的現象普遍存在，導致學生抽象思維能力薄弱。

三、分類思想在解題中的應用

1.分類思想在絕對值解題運算中的運用。解有關絕對值的題目時，一般是根據絕對值的意義去掉絕對值符號，但如果不確定絕對值里面數的符號，就必須要分類討論。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的條件是（ ）

A. a為任何實數 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此題中等號左右兩邊都有絕對值符號，而又未給出實數a的取值范圍，因而無法直接去掉絕對值。可根據“零點分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0進行討論。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）當a<-1時，左邊=-（a+1）=-a-1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（2）當-1≤a<0時，左邊=a+1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（3）當a≥0時，左邊=a+1，右邊=a+1，左邊=右邊。

∴a≥0，應選D。

2.分類討論思想在方程解題中的應用。在解方程ax2+bx+c=0時，要根據一元二次方程的定義分析a是否為0的情況。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實數根，求a的取值范圍。

分析：在解字母系數的取值范圍問題中，題目沒有明確二次項系數a2的符號，因此不僅要考慮二次方程的可能，還要考慮一次方程的可能。

解：（1）當a2=0，即a=0，方程為一元一次方程-2x+1=0，有實數根x=0.5；

（2）當a2≠0，即a≠0，方程為一元二次方程，當△≥0時有實根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

綜合（1）、（2），得a≤1。

（3）分類討論思想在函數中的應用。函數教學中出現分類討論的題型較多，有關于一次函數，有關于反比例函數的，還有綜合性較強的二次函數，它們大多是由一元二次方程的性質演變而來，教者要引導學生分情況進行說明。

例3：求函數y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點坐標。

分析：本題條件是不唯一的，問題中沒有說明是什么函數，要分兩種情況：一次函數或二次函數進行討論。①當k=1時，此函數是一次函數y=-x+1，與x軸的交點坐標為（1，0）；②當此函數為二次函數時，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函數的圖象與x軸交點的個數與△的符號有關，因此要分△>0、△=0兩種情況分析：△>0，即k≠2時，有兩個交點（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2時，有一個交點（1，0）。

（4）分類思想在幾何操作中的運用。在解答幾何問題時，要根據題意分析清楚符合條件圖形的各種可能形狀、位置，抓住相關對象性質，分類各種符合條件的圖形。

例4：已知△ABC的邊AB=6，AC=2■，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的一邊在已知△ABC邊上，另外兩個頂點在AC、BC上，求這個正方形的面積。

分析：過△ABC的頂點A向對邊作垂線，垂足可以在BC上，也可能在BC的延長線上，要分兩種情況進行討論。（如圖）

總之，分類討論思想作為一種重要的思想方法，對于培養學生思想的縝密性、嚴謹性具有重要意義，我們數學教師在數學解題中要循序漸進地滲透分類討論的思想方法，以提高學生的解題能力，培養學生的發散思維能力。

（作者單位：江蘇省濱海縣八巨初級中學）

數學思想是人們對現實世界的數量關系、空間形式、模式結構的意識反映，是思維活動的結果。它能幫助人們系統化地學習知識、掌握結構，提供最佳解決問題的策略，諸如數形結合思想、化歸思想、方程與函數思想、分類討論思想等等。分類討論思想最早源于《九章算術》中關于盈虧問題的討論，它指在部分數學問題中存在著一些不確定的因素，結論不是能夠唯一確定的，要根據題目特點和要求，按不同的情況進行分類，將原題轉化為若干個小問題逐項討論，最后綜合求解的過程。

一、滲透分類討論思想的意義

1.有助于養成分類的意識。物以類聚，每個人在日常生活中都積累了一定的分類經驗，教師在課堂教學中要將生活中的分類知識遷移到數學教學中，如數的分類、三角形的分類等等，力求做到目標明確、標準統一，要充分挖掘教材，抓住滲透的契機，將分類討論應用于生活之中。

2.有助于掌握分類的方法。在分類討論教學中，教師要引導學生根據對象的屬性進行分類討論，不遺漏、不重復地劃分子類，并對每一類加以解答，能有效地培養學生思維的縝密性。

3.有助于形成一題多解的能力。分類討論教學為學生營造了合作、交流、爭辯的氛圍，學生往往不滿足于一種解法，對一些題目提出兩種、三種甚至多種解法，能有效培養學生思維的靈活性，從而促進學生創新思維能力的發展。

4.有助于形成良好的認知結構。學生認知結構的發展是通過學生主動同化、順應，在原有的認知結構上進行拓展、延伸，從而形成新的系統。分類討論思想揭示知識間的內在聯系，能幫助學生完善認知結構，培養思維的靈活性和創造性。

二、當前分類討論思想滲透存在的主要問題

1.教學思想陳舊。長期以來，受“傳道、授業、解惑”的傳統影響，部分教師教學思想陳舊，沿襲傳統的教學理念，以傳授知識作為主要教學目標，他們只注重知識的傳授，而忽視思想方法的滲透，他們從不主動考慮解題意圖，不能從多角度分析問題，往往是一解了之，缺乏深層次的探索，掩蓋了學生的思維困惑。

2.學生被動接受。傳統的數學教學脫離學生生活實際，教師機械灌輸，大搞題海戰術，割裂了知識間的聯系，學生缺乏自我感悟和獨立探究的機會，感到數學知識索然無味，缺乏探究熱情，無法顧及運用什么思想方法，更談不上知識的創新了。如在“角平分線定理”教學中，一位教師重點強調“到三角形三邊距離相等的點是三角形的內心”，而沒有聯系“外心”進行分類討論，導致學生在解題時容易出錯。

3.應試教育影響。部分教師受中考指揮棒的影響，“以考分論英雄”的應試教育觀念根深蒂固，他們不理解素質教育的內涵，依然“穿新鞋走老路”，重知識輕能力、重解題輕思想的現象普遍存在，導致學生抽象思維能力薄弱。

三、分類思想在解題中的應用

1.分類思想在絕對值解題運算中的運用。解有關絕對值的題目時，一般是根據絕對值的意義去掉絕對值符號，但如果不確定絕對值里面數的符號，就必須要分類討論。

例1：使|a+1|=|a|+1成立的條件是（ ）

A. a為任何實數 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析：此題中等號左右兩邊都有絕對值符號，而又未給出實數a的取值范圍，因而無法直接去掉絕對值。可根據“零點分段”的方法，令|a+1|=0，|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0進行討論。

解：令|a+1|=0，得a=-1；令|a|=0，得a=0。

（1）當a<-1時，左邊=-（a+1）=-a-1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（2）當-1≤a<0時，左邊=a+1，右邊=-a+1，左邊≠右邊；

（3）當a≥0時，左邊=a+1，右邊=a+1，左邊=右邊。

∴a≥0，應選D。

2.分類討論思想在方程解題中的應用。在解方程ax2+bx+c=0時，要根據一元二次方程的定義分析a是否為0的情況。

例2：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有實數根，求a的取值范圍。

分析：在解字母系數的取值范圍問題中，題目沒有明確二次項系數a2的符號，因此不僅要考慮二次方程的可能，還要考慮一次方程的可能。

解：（1）當a2=0，即a=0，方程為一元一次方程-2x+1=0，有實數根x=0.5；

（2）當a2≠0，即a≠0，方程為一元二次方程，當△≥0時有實根，即

△=[2（a-1）]2-4a2=-4a+4≥0，a≤1。

所以a≤1，且a≠0。

綜合（1）、（2），得a≤1。

（3）分類討論思想在函數中的應用。函數教學中出現分類討論的題型較多，有關于一次函數，有關于反比例函數的，還有綜合性較強的二次函數，它們大多是由一元二次方程的性質演變而來，教者要引導學生分情況進行說明。

例3：求函數y=（k-1）x2-kx+1與x軸的交點坐標。

分析：本題條件是不唯一的，問題中沒有說明是什么函數，要分兩種情況：一次函數或二次函數進行討論。①當k=1時，此函數是一次函數y=-x+1，與x軸的交點坐標為（1，0）；②當此函數為二次函數時，k≠1，△=（-k）2-4（k-1）=（k-2）2。在二次函數的圖象與x軸交點的個數與△的符號有關，因此要分△>0、△=0兩種情況分析：△>0，即k≠2時，有兩個交點（1，0）、（■，0）；△=0，即k=2時，有一個交點（1，0）。

（4）分類思想在幾何操作中的運用。在解答幾何問題時，要根據題意分析清楚符合條件圖形的各種可能形狀、位置，抓住相關對象性質，分類各種符合條件的圖形。

例4：已知△ABC的邊AB=6，AC=2■，BC邊上的高AD=3。（1）求BC的長；（2）如果有一個正方形的一邊在已知△ABC邊上，另外兩個頂點在AC、BC上，求這個正方形的面積。

分析：過△ABC的頂點A向對邊作垂線，垂足可以在BC上，也可能在BC的延長線上，要分兩種情況進行討論。（如圖）

總之，分類討論思想作為一種重要的思想方法，對于培養學生思想的縝密性、嚴謹性具有重要意義，我們數學教師在數學解題中要循序漸進地滲透分類討論的思想方法，以提高學生的解題能力，培養學生的發散思維能力。

（作者單位：江蘇省濱海縣八巨初級中學）