由“阿波羅尼斯圓的認識”的教學設計談起

喬健

由最近發展區理論，例題設計要貫徹循序漸進的教學原則，從易到難、由淺入深設計階梯，符合學生步子的大小.也就是說，要根據高中生相關階段的年齡特征、知識水平把握例題的坡度，必要時還應該設置環形階梯，螺旋上升，反復鞏固.

例題設計成功的顯性特征就是能激發學生研究例題的興趣，學生在行動上能積極地參與.因此設計的例題要能激發學生的思維，難度太低或太高均不符合要求.例題都需要考慮學生相應的基礎知識，并預留給學生思考的空間，為學生的思維保留余地.對于一些需要逐步思考解決的問題，可以設計相應的子問題，層層遞進地幫助學生實現預設的最終目標.

例題設計的系統性包括兩個方面：第一，在同一節課上，體現知識的系統性和思維的系統性.在設計例題時應把學生已有的或將有的知識點加以概括，并巧妙合理地串在一起，使學生通過本節課獲得相關方面的系統知識；明確思維的起點和方向，理清思維的順序，目的在于為學生指明探究新知識的思考方向，減緩思維坡度.第二，各階段或各節課之間的例題設計的系統性.在知識網絡上，找準新知識的支撐點，分析新舊知識的銜接區，復習與新知識有直接關系的舊知識，使知識結構向智能結構轉化.

通過對例題蘊含的知識進行縱向深入地探究，加強知識的橫向聯系，把例題所蘊含的孤立的知識“點”擴展到系統的知識“面”.通過不斷地拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性.例如，筆者在高三進行“阿波羅尼斯圓的認識”這一專題的例題設計時，為了體現從個體到整體，系統地展示知識生成的過程，提高學生研究例題的熱情，對例題題組做了如下設計.

【例1】 已知平面上動點M分別到點O（0，0），A（3，0）的距離的比值等于，請探求動點M的軌跡圖形.

通過設點、構建等式方程、化簡等步驟后，最終得到動點M的軌跡方程，并得出對應的軌跡圖形是圓.聯系圓的原始定義“到定點的距離等于定長的動點軌跡是圓”辨析對比后提出：此處的結論是偶然還是必然？這是否是圓的又一種定義？在學生進入思考狀態時，進一步提示：不妨在此題的模式下，變動相應的某些元素（改變點或比值），其結果如何？學生驚奇地發現，動點M的軌跡仍是圓！這時，進一步引出更一般的問題：

上述一組例題的教學中，既滲透了數學文明史教育，培養了學生探索未知，追求盡善盡美的科學精神，也再現了科學探索的流程.

下面給出阿波羅尼斯圓的應用.

充分利用例題，營造探究背景，能激發學生的學習興趣.為進一步培養學生的實際應用能力，又選配了相關的應用題：

【例4】 2009年汶川“5·12”地震后，“一方有難，八方支援”.災區汶川記為點C，全國支援救災物資持續抵達中轉站B點（如圖1），線段AB=100km位于火車運輸線上，已知災區C距離鐵路CA=20km，指揮部擬在線段AB上某點D處打通一條筆直公路通往C處.已endprint

由最近發展區理論，例題設計要貫徹循序漸進的教學原則，從易到難、由淺入深設計階梯，符合學生步子的大小.也就是說，要根據高中生相關階段的年齡特征、知識水平把握例題的坡度，必要時還應該設置環形階梯，螺旋上升，反復鞏固.

例題設計成功的顯性特征就是能激發學生研究例題的興趣，學生在行動上能積極地參與.因此設計的例題要能激發學生的思維，難度太低或太高均不符合要求.例題都需要考慮學生相應的基礎知識，并預留給學生思考的空間，為學生的思維保留余地.對于一些需要逐步思考解決的問題，可以設計相應的子問題，層層遞進地幫助學生實現預設的最終目標.

例題設計的系統性包括兩個方面：第一，在同一節課上，體現知識的系統性和思維的系統性.在設計例題時應把學生已有的或將有的知識點加以概括，并巧妙合理地串在一起，使學生通過本節課獲得相關方面的系統知識；明確思維的起點和方向，理清思維的順序，目的在于為學生指明探究新知識的思考方向，減緩思維坡度.第二，各階段或各節課之間的例題設計的系統性.在知識網絡上，找準新知識的支撐點，分析新舊知識的銜接區，復習與新知識有直接關系的舊知識，使知識結構向智能結構轉化.

通過對例題蘊含的知識進行縱向深入地探究，加強知識的橫向聯系，把例題所蘊含的孤立的知識“點”擴展到系統的知識“面”.通過不斷地拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性.例如，筆者在高三進行“阿波羅尼斯圓的認識”這一專題的例題設計時，為了體現從個體到整體，系統地展示知識生成的過程，提高學生研究例題的熱情，對例題題組做了如下設計.

【例1】 已知平面上動點M分別到點O（0，0），A（3，0）的距離的比值等于，請探求動點M的軌跡圖形.

通過設點、構建等式方程、化簡等步驟后，最終得到動點M的軌跡方程，并得出對應的軌跡圖形是圓.聯系圓的原始定義“到定點的距離等于定長的動點軌跡是圓”辨析對比后提出：此處的結論是偶然還是必然？這是否是圓的又一種定義？在學生進入思考狀態時，進一步提示：不妨在此題的模式下，變動相應的某些元素（改變點或比值），其結果如何？學生驚奇地發現，動點M的軌跡仍是圓！這時，進一步引出更一般的問題：

上述一組例題的教學中，既滲透了數學文明史教育，培養了學生探索未知，追求盡善盡美的科學精神，也再現了科學探索的流程.

下面給出阿波羅尼斯圓的應用.

充分利用例題，營造探究背景，能激發學生的學習興趣.為進一步培養學生的實際應用能力，又選配了相關的應用題：

【例4】 2009年汶川“5·12”地震后，“一方有難，八方支援”.災區汶川記為點C，全國支援救災物資持續抵達中轉站B點（如圖1），線段AB=100km位于火車運輸線上，已知災區C距離鐵路CA=20km，指揮部擬在線段AB上某點D處打通一條筆直公路通往C處.已endprint

由最近發展區理論，例題設計要貫徹循序漸進的教學原則，從易到難、由淺入深設計階梯，符合學生步子的大小.也就是說，要根據高中生相關階段的年齡特征、知識水平把握例題的坡度，必要時還應該設置環形階梯，螺旋上升，反復鞏固.

例題設計成功的顯性特征就是能激發學生研究例題的興趣，學生在行動上能積極地參與.因此設計的例題要能激發學生的思維，難度太低或太高均不符合要求.例題都需要考慮學生相應的基礎知識，并預留給學生思考的空間，為學生的思維保留余地.對于一些需要逐步思考解決的問題，可以設計相應的子問題，層層遞進地幫助學生實現預設的最終目標.

例題設計的系統性包括兩個方面：第一，在同一節課上，體現知識的系統性和思維的系統性.在設計例題時應把學生已有的或將有的知識點加以概括，并巧妙合理地串在一起，使學生通過本節課獲得相關方面的系統知識；明確思維的起點和方向，理清思維的順序，目的在于為學生指明探究新知識的思考方向，減緩思維坡度.第二，各階段或各節課之間的例題設計的系統性.在知識網絡上，找準新知識的支撐點，分析新舊知識的銜接區，復習與新知識有直接關系的舊知識，使知識結構向智能結構轉化.

通過對例題蘊含的知識進行縱向深入地探究，加強知識的橫向聯系，把例題所蘊含的孤立的知識“點”擴展到系統的知識“面”.通過不斷地拓展、聯系，加強對知識結構的理解，進而形成認知結構中知識的系統性.例如，筆者在高三進行“阿波羅尼斯圓的認識”這一專題的例題設計時，為了體現從個體到整體，系統地展示知識生成的過程，提高學生研究例題的熱情，對例題題組做了如下設計.

【例1】 已知平面上動點M分別到點O（0，0），A（3，0）的距離的比值等于，請探求動點M的軌跡圖形.

通過設點、構建等式方程、化簡等步驟后，最終得到動點M的軌跡方程，并得出對應的軌跡圖形是圓.聯系圓的原始定義“到定點的距離等于定長的動點軌跡是圓”辨析對比后提出：此處的結論是偶然還是必然？這是否是圓的又一種定義？在學生進入思考狀態時，進一步提示：不妨在此題的模式下，變動相應的某些元素（改變點或比值），其結果如何？學生驚奇地發現，動點M的軌跡仍是圓！這時，進一步引出更一般的問題：

上述一組例題的教學中，既滲透了數學文明史教育，培養了學生探索未知，追求盡善盡美的科學精神，也再現了科學探索的流程.

下面給出阿波羅尼斯圓的應用.

充分利用例題，營造探究背景，能激發學生的學習興趣.為進一步培養學生的實際應用能力，又選配了相關的應用題：

【例4】 2009年汶川“5·12”地震后，“一方有難，八方支援”.災區汶川記為點C，全國支援救災物資持續抵達中轉站B點（如圖1），線段AB=100km位于火車運輸線上，已知災區C距離鐵路CA=20km，指揮部擬在線段AB上某點D處打通一條筆直公路通往C處.已endprint