一道拋物線背景中考壓軸題的命制與反思

農學寧

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程總體目標中明確提出了“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，突出了學生創新精神和實踐能力的培養，這也是中考命題必須遵循的準則.利用函數刻畫動態幾何圖形的綜合問題，具有較好的區分度，這類問題集代數、幾何知識于一體，綜合考查了學生利用函數模型解決圖形變化問題的能力.現筆者就此談談幾點看法.

一、試題呈現

題目：（2013年廣西南寧卷第26題）如圖1，拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0）、D（0，-1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點.直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

二、試題命制的過程

（一）命制試題的最初動機

近幾年來，全區各地的中考數學壓軸題均是以拋物線為背景的形式出現，主要命題方向是動點問題、函數的最值問題、三角形與四邊形的動態分類問題.主要考查二次函數解析式、最值問題的求解及基本幾何圖形的性質，體現數形結合與分類討論的思想.然而這樣“架構”的試題已經是鋪天蓋地.通過調研筆者發現，不少學校都進行了這類題型的模式化訓練.所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現的話，勢必會使得教師在以后的教學中采用題海戰術以應付中考，同時壓軸題的選拔性也就不能充分地體現出來.另外，由于南寧市的中考肩負著學生畢業與升學的兩項任務，因此在試題的命制上就要充分考慮基礎知識的掌握和初、高中的銜接問題.

（二）命制試題的陳題起點

命制試題的起點主要是受到以下兩道高考題的啟發.

題目2：（2001年全國高考卷第20題）設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.

（三）命制試題的策略與方法

命題之初的主要思路是避開近年來在拋物線背景下的常見題型，如動點問題、面積或周長的最值問題、由動點而產生的圖形分類問題等.這些類型的問題在平時必然已經進行了大量的強化訓練，如果還是命制這種類型的試題，考試將失去選拔的意義.另外，對于定值型問題的設問，在本市的中考中還沒有出現過，具有一定的數學思維價值.

立足高考數學試題改編中考試題，最重要的是解題的方法與策略.所命制的試題應既可以用高中的知識與方法解決，也可以用初中范圍內的知識與方法解決，同時不能超出課標的要求.上述兩道高考題可能會在以下幾個方面引起學生的解題困難.

1.高考題的語言陳述一般比較簡潔，學生沒有學過“拋物線y=ax2的焦點”和“開口向右的拋物線”的知識.這會給學生造成一定的理解困難.

2.高考題中運用的核心知識點是拋物線的定義，這知識點在初中是沒有的.所以要解決最終的問題就要先證明“拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等”這一結論.

3.定值問題常常是數學中的變與不變的問題，在高中此類問題是可以通過設元的方法解決的，而這種方法會用到二次函數的判別式和韋達定理，把幾何問題通過代數運算而得以解決.二次函數的判別式和韋達定理這兩個知識點在初中的教材學習中要求已經削弱了，這樣使得學生只能用幾何證明的方法去解決，導致學生解題有較大的難度.

試題改編的方法：首先，給出兩個特殊點求解析式，這樣主要是考查學生待定系數法的運用，從而降低試題的難度，也使學生有一定的信心去接觸后面的問題.其次，設置第（2）問的目的是為第（3）問的探究鋪路.因為少了第（2）問的轉化思想，第（3）問就會無從下手.再次，第（3）問不是直接的證明，而是設一個小問，先求出再進一步證明，為學生尋求問題的答案指明方向.

（四）試題改編過程中出現的問題與解決辦法

問題1：為了使試題有一定的梯度，第一小題還是要考查二次函數解析式的求解.構造y=ax2過于簡單，同時也會和其他中考題相類似.

2-1，這時求拋物線的解析式難度不大，同時拋物線的焦點在原點位置，圖形和解析式都比較簡潔，為后面的設問減少運算量打下基礎.

問題2：第（3）小問要用到拋物線的定義，而在初中，學生沒有學習該知識點.

解決辦法：在第（2）問里就要對這一結論先進行證明.但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因為初中對二次函數的判別式及韋達定理都已經弱化了.此題用數形結合的思想、設元、勾股定理等方法均可證明，這也是初中解決二次函數相關問題的常用方法，所以筆者認為此題難度適中.另外，第（2）問本身的結論應是兩個結果，即AO=AM，BO=BN.但是證明過程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了.若學生是連接OM，并想通過證明等腰三角形的方法來證明，則不易證明出來.

三、得分情況

1.本題零分卷較多，約占總人數的65%，其中空白卷又約占80%.本題第（1）問屬于基礎知識、基本技能送分題，但仍有大部分學生丟分.原因：①心理因素.認為最后的壓軸題都是難題，沒有信心讀題答題；②學生答題速度慢，按部就班答題，沒有掌握答題得分技巧，以致沒有足夠時間做到最后一題；③基本運算能力太差.用待定系數法求二次函數解析式出錯，導致做了解答但不得分.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程總體目標中明確提出了“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，突出了學生創新精神和實踐能力的培養，這也是中考命題必須遵循的準則.利用函數刻畫動態幾何圖形的綜合問題，具有較好的區分度，這類問題集代數、幾何知識于一體，綜合考查了學生利用函數模型解決圖形變化問題的能力.現筆者就此談談幾點看法.

一、試題呈現

題目：（2013年廣西南寧卷第26題）如圖1，拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0）、D（0，-1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點.直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

二、試題命制的過程

（一）命制試題的最初動機

近幾年來，全區各地的中考數學壓軸題均是以拋物線為背景的形式出現，主要命題方向是動點問題、函數的最值問題、三角形與四邊形的動態分類問題.主要考查二次函數解析式、最值問題的求解及基本幾何圖形的性質，體現數形結合與分類討論的思想.然而這樣“架構”的試題已經是鋪天蓋地.通過調研筆者發現，不少學校都進行了這類題型的模式化訓練.所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現的話，勢必會使得教師在以后的教學中采用題海戰術以應付中考，同時壓軸題的選拔性也就不能充分地體現出來.另外，由于南寧市的中考肩負著學生畢業與升學的兩項任務，因此在試題的命制上就要充分考慮基礎知識的掌握和初、高中的銜接問題.

（二）命制試題的陳題起點

命制試題的起點主要是受到以下兩道高考題的啟發.

題目2：（2001年全國高考卷第20題）設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.

（三）命制試題的策略與方法

命題之初的主要思路是避開近年來在拋物線背景下的常見題型，如動點問題、面積或周長的最值問題、由動點而產生的圖形分類問題等.這些類型的問題在平時必然已經進行了大量的強化訓練，如果還是命制這種類型的試題，考試將失去選拔的意義.另外，對于定值型問題的設問，在本市的中考中還沒有出現過，具有一定的數學思維價值.

立足高考數學試題改編中考試題，最重要的是解題的方法與策略.所命制的試題應既可以用高中的知識與方法解決，也可以用初中范圍內的知識與方法解決，同時不能超出課標的要求.上述兩道高考題可能會在以下幾個方面引起學生的解題困難.

1.高考題的語言陳述一般比較簡潔，學生沒有學過“拋物線y=ax2的焦點”和“開口向右的拋物線”的知識.這會給學生造成一定的理解困難.

2.高考題中運用的核心知識點是拋物線的定義，這知識點在初中是沒有的.所以要解決最終的問題就要先證明“拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等”這一結論.

3.定值問題常常是數學中的變與不變的問題，在高中此類問題是可以通過設元的方法解決的，而這種方法會用到二次函數的判別式和韋達定理，把幾何問題通過代數運算而得以解決.二次函數的判別式和韋達定理這兩個知識點在初中的教材學習中要求已經削弱了，這樣使得學生只能用幾何證明的方法去解決，導致學生解題有較大的難度.

試題改編的方法：首先，給出兩個特殊點求解析式，這樣主要是考查學生待定系數法的運用，從而降低試題的難度，也使學生有一定的信心去接觸后面的問題.其次，設置第（2）問的目的是為第（3）問的探究鋪路.因為少了第（2）問的轉化思想，第（3）問就會無從下手.再次，第（3）問不是直接的證明，而是設一個小問，先求出再進一步證明，為學生尋求問題的答案指明方向.

（四）試題改編過程中出現的問題與解決辦法

問題1：為了使試題有一定的梯度，第一小題還是要考查二次函數解析式的求解.構造y=ax2過于簡單，同時也會和其他中考題相類似.

2-1，這時求拋物線的解析式難度不大，同時拋物線的焦點在原點位置，圖形和解析式都比較簡潔，為后面的設問減少運算量打下基礎.

問題2：第（3）小問要用到拋物線的定義，而在初中，學生沒有學習該知識點.

解決辦法：在第（2）問里就要對這一結論先進行證明.但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因為初中對二次函數的判別式及韋達定理都已經弱化了.此題用數形結合的思想、設元、勾股定理等方法均可證明，這也是初中解決二次函數相關問題的常用方法，所以筆者認為此題難度適中.另外，第（2）問本身的結論應是兩個結果，即AO=AM，BO=BN.但是證明過程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了.若學生是連接OM，并想通過證明等腰三角形的方法來證明，則不易證明出來.

三、得分情況

1.本題零分卷較多，約占總人數的65%，其中空白卷又約占80%.本題第（1）問屬于基礎知識、基本技能送分題，但仍有大部分學生丟分.原因：①心理因素.認為最后的壓軸題都是難題，沒有信心讀題答題；②學生答題速度慢，按部就班答題，沒有掌握答題得分技巧，以致沒有足夠時間做到最后一題；③基本運算能力太差.用待定系數法求二次函數解析式出錯，導致做了解答但不得分.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程總體目標中明確提出了“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，突出了學生創新精神和實踐能力的培養，這也是中考命題必須遵循的準則.利用函數刻畫動態幾何圖形的綜合問題，具有較好的區分度，這類問題集代數、幾何知識于一體，綜合考查了學生利用函數模型解決圖形變化問題的能力.現筆者就此談談幾點看法.

一、試題呈現

題目：（2013年廣西南寧卷第26題）如圖1，拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0）、D（0，-1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點.直線l過點E（0，-2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

二、試題命制的過程

（一）命制試題的最初動機

近幾年來，全區各地的中考數學壓軸題均是以拋物線為背景的形式出現，主要命題方向是動點問題、函數的最值問題、三角形與四邊形的動態分類問題.主要考查二次函數解析式、最值問題的求解及基本幾何圖形的性質，體現數形結合與分類討論的思想.然而這樣“架構”的試題已經是鋪天蓋地.通過調研筆者發現，不少學校都進行了這類題型的模式化訓練.所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現的話，勢必會使得教師在以后的教學中采用題海戰術以應付中考，同時壓軸題的選拔性也就不能充分地體現出來.另外，由于南寧市的中考肩負著學生畢業與升學的兩項任務，因此在試題的命制上就要充分考慮基礎知識的掌握和初、高中的銜接問題.

（二）命制試題的陳題起點

命制試題的起點主要是受到以下兩道高考題的啟發.

題目2：（2001年全國高考卷第20題）設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.

（三）命制試題的策略與方法

命題之初的主要思路是避開近年來在拋物線背景下的常見題型，如動點問題、面積或周長的最值問題、由動點而產生的圖形分類問題等.這些類型的問題在平時必然已經進行了大量的強化訓練，如果還是命制這種類型的試題，考試將失去選拔的意義.另外，對于定值型問題的設問，在本市的中考中還沒有出現過，具有一定的數學思維價值.

立足高考數學試題改編中考試題，最重要的是解題的方法與策略.所命制的試題應既可以用高中的知識與方法解決，也可以用初中范圍內的知識與方法解決，同時不能超出課標的要求.上述兩道高考題可能會在以下幾個方面引起學生的解題困難.

1.高考題的語言陳述一般比較簡潔，學生沒有學過“拋物線y=ax2的焦點”和“開口向右的拋物線”的知識.這會給學生造成一定的理解困難.

2.高考題中運用的核心知識點是拋物線的定義，這知識點在初中是沒有的.所以要解決最終的問題就要先證明“拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等”這一結論.

3.定值問題常常是數學中的變與不變的問題，在高中此類問題是可以通過設元的方法解決的，而這種方法會用到二次函數的判別式和韋達定理，把幾何問題通過代數運算而得以解決.二次函數的判別式和韋達定理這兩個知識點在初中的教材學習中要求已經削弱了，這樣使得學生只能用幾何證明的方法去解決，導致學生解題有較大的難度.

試題改編的方法：首先，給出兩個特殊點求解析式，這樣主要是考查學生待定系數法的運用，從而降低試題的難度，也使學生有一定的信心去接觸后面的問題.其次，設置第（2）問的目的是為第（3）問的探究鋪路.因為少了第（2）問的轉化思想，第（3）問就會無從下手.再次，第（3）問不是直接的證明，而是設一個小問，先求出再進一步證明，為學生尋求問題的答案指明方向.

（四）試題改編過程中出現的問題與解決辦法

問題1：為了使試題有一定的梯度，第一小題還是要考查二次函數解析式的求解.構造y=ax2過于簡單，同時也會和其他中考題相類似.

2-1，這時求拋物線的解析式難度不大，同時拋物線的焦點在原點位置，圖形和解析式都比較簡潔，為后面的設問減少運算量打下基礎.

問題2：第（3）小問要用到拋物線的定義，而在初中，學生沒有學習該知識點.

解決辦法：在第（2）問里就要對這一結論先進行證明.但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因為初中對二次函數的判別式及韋達定理都已經弱化了.此題用數形結合的思想、設元、勾股定理等方法均可證明，這也是初中解決二次函數相關問題的常用方法，所以筆者認為此題難度適中.另外，第（2）問本身的結論應是兩個結果，即AO=AM，BO=BN.但是證明過程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了.若學生是連接OM，并想通過證明等腰三角形的方法來證明，則不易證明出來.

三、得分情況

1.本題零分卷較多，約占總人數的65%，其中空白卷又約占80%.本題第（1）問屬于基礎知識、基本技能送分題，但仍有大部分學生丟分.原因：①心理因素.認為最后的壓軸題都是難題，沒有信心讀題答題；②學生答題速度慢，按部就班答題，沒有掌握答題得分技巧，以致沒有足夠時間做到最后一題；③基本運算能力太差.用待定系數法求二次函數解析式出錯，導致做了解答但不得分.