體驗·建構·領悟

徐敏紅

意義建構是數學課堂教學活動的核心環節，它是由學生根據自己的經驗背景，以原有的知識經驗作為新知識的生長點，對外部信息進行主動的選擇、加工、處理和轉換，體驗在數學發現和創造中充實而深刻、豐富而完整的學習歷程，從而領悟數學理論、數學思想與數學文化的過程.下面談談筆者對數學教學中意義建構的認識與實踐.

一、意義建構的基礎——師生的情感交流與情感共鳴

寬松、和諧、民主的課堂學習氣氛是意義建構的基礎，是學生樹立信心、主動參與學習過程的前提.

情感是課堂教學的潤滑劑、催化劑.

課堂教學應當充溢師生情感交流，引起師生情感共鳴、思維共振.

1.相互尊重.師生的關系是“我-你”關系，即“主體與主體”的關系，只有教師與學生互相尊重，真誠交往，共同探索真理，交流人生體驗，才能建立和諧、民主的師生關系，實現雙方主體性的建構和發展.

2.以情激情.教師要以情動人，用自己的積極情感去感染學生，

營造富于人情味的學習氛圍

，讓學生深切體會到教師的鼓勵與肯定.

3.全員參與.意義建構強調讓每個學生都能體驗到“我是集體活動的重要一員”，讓每個學生體驗到課堂數學活動本身的樂趣，享受思維的幸福感，產生愉悅的情感體驗.

二、意義建構的載體——問題情境

“問題是數學的心臟.”心理學研究表明，學生的思維總是由問題開始，在解決問題中得到發展.問題情境包含兩層含義：一是問題，問題是指學生個體與已有認知產生矛盾沖突，不能理解或不能正確解答的結構；二是情境，即數學知識產生或應用的具體環境.

問題情境的設置要考慮學生已有的經驗和知識結構，符合維果茨基的“最近發展區”理論，引起學生的關注，激發學生探索的欲望.具體如下.

【案例1】函數的概念教學.（蘇教版普通高中課程標準實驗教科書·數學·必修1）

問題背景：事物都是運動變化著的，我們可以感受到它們的變化.如

清晨，太陽從東方冉冉升起；

溫度隨時間在悄悄地改變；

隨著二氧化碳的大量排放，地球正在逐漸變暖；

中國的國內生產總值逐年增長

……

問題1：在初中，我們是如何認識函數這個概念的？學過哪些函數？

[讓學生就問題1略加討論，作為討論的一部分，教師出示教材中的3個例子（出示具體的問題情境：人口統計表、自由落體運動公式、溫度曲線圖），并提出問題2]

問題2：在上述3個問題中，有無共同的特點？是否確定了函數關系？為什么？

（通過對問題2的討論，幫助學生回憶初中所學的函數概念，再引導學生回答問題1）

問題3：能否用集合的觀點來重新解釋函數的概念？

問題4：如何用集合的語言來闡述上述3個例子中的共同特點？

得出結論：函數是建立在兩個非空數集之間的單值對應，即一個輸入值確定一個輸出值.

（1）結論是不是正確地概括了例子的共同特征？

（2）比較上述認識和初中函數概念有無本質上的差異？

（3）一次函數、二次函數、反比例函數等是否也具有上述特征？

（4）你能進一步舉出一些函數的例子嗎？它們具有上述特征嗎？

（作為例子，可以討論課本P24的練習）

問題5：如何用集合的觀點來表述函數的概念？

問題6：你認為對一個函數來說，最重要的是什么？初中的函數定義和今天函數的定義有什么區別？

問題7：能否用函數模型來進一步描述和解釋我們周圍的世界？

三、意義建構的過程——高層次思維

發展數學思維是數學教育的核心.在傳統教學中，教師一般在教學之初先講解所要學習的概念和原理，而后再讓學生去做一定的練習，嘗試去解答有關的習題，其潛在的假設是學與做是兩個過程，必須先學了，先知道了，才能去做，去解決有關的問題.

意義建構則要求學生通過高層次思維活動來學習，而教師則以相反的思路來設計教學，針對所要學習的內容設計出具有思考價值的、有意義的問題，讓學生去思考、去嘗試解決.學生不斷思考，不斷對各種信息進行加工、轉換，形成新的假設或猜想，并通過一定的方式作出檢驗.在這過程中，教師可以提供一定的支持和引導，組織學生討論、合作，但不能妨礙學生的獨立思考，而應配合、促進他們思考解決問題.意義建構對教學提出了各種不同的思路和方案，但“通過問題解決來學習”是一條核心思路.

【案例2】《直線與平面平行的判定定理》教學設計片斷

（蘇教版普通高中課程標準實驗教科書·數學·必修2，教材對其證明不作要求）.

（1）怎樣判斷直線與平面線面平行？能否直接使用定義？

（2）教室里黑板面與天花板面所在的平面的交線與教室地面有何關系？（平行）

為什么平行？理由是什么？

（3）怎樣去判斷平面外一條直線與這個平面平行？

也即證明這條直線與這個平面內的任何一條直線都無公共點.

（4）“任何一條”是一個無限問題，要證明一條直線與無限條在一個平面內有不同位置關系的直線都沒有公共點，幾乎是不可能實現的.但“無限”是否可以向“有限”轉化去解決呢？

（5）從“有限”的最特殊的情況做起，平面外的一條直線與平面內的一條直線無交點，線線是否平行？（得出兩種情形：異面或平行）

（6）若平面外的一條直線與平面內的一條直線異面，線面是否平行？（舉反例，否定）

若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，線面是否平行？（有沒有反例？好像舉不出來）

（7）再舉反例試試看：假設不平行，那么直線與平面必相交，這時直線與平面必有一個交點.現在請同學們判斷一下這個交點與平面內的這條直線有什么位置關系？（在直線上或直線外）

若點在直線上，有什么結論？（平面外的直線與平面內的直線相交）可能嗎？（不可能，與題設矛盾）

若點在直線外，有什么結論？（平面外的直線與平面內的直線異面）可能嗎？（不可能，與題設矛盾）

這說明了什么？

（8）能否歸納出線面平行的判斷方法？

上述意義建構的整個思維過程，充分體現了在解決問題時化“抽象”為“具體”、化“無限”為“有限”、化“一般”為“特殊”，“分類”與“反駁”以及“正難則反”的高級思維軌跡.這里用到“異面直線的判定”，更體現了將新問題化歸為學生能解決的問題的思維方法.

四、意義建構的控制——自我監控與反思

自我監控與反思的過程是意義建構由低級向高級發展的有效途徑.通過回味與反思，使學生體驗從不同角度、不同知識和方法處理解決問題，把握數學問題的本質，揭示解題規律，體驗成功，使學生擁有突破感和成功感.學生通過對問題探究解決過程的反思，認識到自己思維過程和老師與其他同學的思維過程之間的差距，認識到自己所走的彎路，從而使自己的知識結構得以優化.

猜想①：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2上一點，則過點P的切線方程是x0x+y0y=r2.

猜想②：若P（x0，y0）是圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點，則過P的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關系？還相切嗎？

（3）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過P作圓的切線，求兩切點所在直線方程.

猜想③：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過P作圓的切線，則兩切點所在直線方程是x0x+y0y=r2.

（4）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2內一點，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關系？它具有怎樣的幾何意義？你能通過研究得出類似的結論嗎？

使學生不斷體驗成功的樂趣是意義建構不斷深化的重要保障，成功既是參與學習的結果，更是參與學習的起點，教師通過自然障礙或有意識設置懸念，使學生心理上形成一種強烈的求知欲，產生企盼、渴知的心理狀態，欲答不能，欲罷不忍，而一次次逾越挫折，更使學生感到成功的可貴，自我體驗更加深刻.教師應成為意義建構過程中深謀遠慮的設計者、組織者、指導者和評估者，在教學方式上，不是停留在掌握知識的外部推動，而是注重培養學生內在的心智動力.把人格的完善、情感的豐富、精神的提升作為教育的本質要素，是學生獲得可持續發展以及終身學習的重要基礎.

若點在直線上，有什么結論？（平面外的直線與平面內的直線相交）可能嗎？（不可能，與題設矛盾）

若點在直線外，有什么結論？（平面外的直線與平面內的直線異面）可能嗎？（不可能，與題設矛盾）

這說明了什么？

（8）能否歸納出線面平行的判斷方法？

上述意義建構的整個思維過程，充分體現了在解決問題時化“抽象”為“具體”、化“無限”為“有限”、化“一般”為“特殊”，“分類”與“反駁”以及“正難則反”的高級思維軌跡.這里用到“異面直線的判定”，更體現了將新問題化歸為學生能解決的問題的思維方法.

四、意義建構的控制——自我監控與反思

自我監控與反思的過程是意義建構由低級向高級發展的有效途徑.通過回味與反思，使學生體驗從不同角度、不同知識和方法處理解決問題，把握數學問題的本質，揭示解題規律，體驗成功，使學生擁有突破感和成功感.學生通過對問題探究解決過程的反思，認識到自己思維過程和老師與其他同學的思維過程之間的差距，認識到自己所走的彎路，從而使自己的知識結構得以優化.

猜想①：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2上一點，則過點P的切線方程是x0x+y0y=r2.

猜想②：若P（x0，y0）是圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點，則過P的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關系？還相切嗎？

（3）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過P作圓的切線，求兩切點所在直線方程.

猜想③：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過P作圓的切線，則兩切點所在直線方程是x0x+y0y=r2.

（4）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2內一點，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關系？它具有怎樣的幾何意義？你能通過研究得出類似的結論嗎？

使學生不斷體驗成功的樂趣是意義建構不斷深化的重要保障，成功既是參與學習的結果，更是參與學習的起點，教師通過自然障礙或有意識設置懸念，使學生心理上形成一種強烈的求知欲，產生企盼、渴知的心理狀態，欲答不能，欲罷不忍，而一次次逾越挫折，更使學生感到成功的可貴，自我體驗更加深刻.教師應成為意義建構過程中深謀遠慮的設計者、組織者、指導者和評估者，在教學方式上，不是停留在掌握知識的外部推動，而是注重培養學生內在的心智動力.把人格的完善、情感的豐富、精神的提升作為教育的本質要素，是學生獲得可持續發展以及終身學習的重要基礎.

若點在直線上，有什么結論？（平面外的直線與平面內的直線相交）可能嗎？（不可能，與題設矛盾）

若點在直線外，有什么結論？（平面外的直線與平面內的直線異面）可能嗎？（不可能，與題設矛盾）

這說明了什么？

（8）能否歸納出線面平行的判斷方法？

上述意義建構的整個思維過程，充分體現了在解決問題時化“抽象”為“具體”、化“無限”為“有限”、化“一般”為“特殊”，“分類”與“反駁”以及“正難則反”的高級思維軌跡.這里用到“異面直線的判定”，更體現了將新問題化歸為學生能解決的問題的思維方法.

四、意義建構的控制——自我監控與反思

自我監控與反思的過程是意義建構由低級向高級發展的有效途徑.通過回味與反思，使學生體驗從不同角度、不同知識和方法處理解決問題，把握數學問題的本質，揭示解題規律，體驗成功，使學生擁有突破感和成功感.學生通過對問題探究解決過程的反思，認識到自己思維過程和老師與其他同學的思維過程之間的差距，認識到自己所走的彎路，從而使自己的知識結構得以優化.

猜想①：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2上一點，則過點P的切線方程是x0x+y0y=r2.

猜想②：若P（x0，y0）是圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點，則過P的切線方程是（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關系？還相切嗎？

（3）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過P作圓的切線，求兩切點所在直線方程.

猜想③：若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2外一點，過P作圓的切線，則兩切點所在直線方程是x0x+y0y=r2.

（4）若P（x0，y0）是圓x2+y2=r2內一點，則直線x0x+y0y=r2與圓有何位置關系？它具有怎樣的幾何意義？你能通過研究得出類似的結論嗎？

使學生不斷體驗成功的樂趣是意義建構不斷深化的重要保障，成功既是參與學習的結果，更是參與學習的起點，教師通過自然障礙或有意識設置懸念，使學生心理上形成一種強烈的求知欲，產生企盼、渴知的心理狀態，欲答不能，欲罷不忍，而一次次逾越挫折，更使學生感到成功的可貴，自我體驗更加深刻.教師應成為意義建構過程中深謀遠慮的設計者、組織者、指導者和評估者，在教學方式上，不是停留在掌握知識的外部推動，而是注重培養學生內在的心智動力.把人格的完善、情感的豐富、精神的提升作為教育的本質要素，是學生獲得可持續發展以及終身學習的重要基礎.