《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教學(xué)方法探索與體會

閆璽璽　劉琨

摘 要： 依據(jù)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的特點與現(xiàn)狀，對該課程的教學(xué)內(nèi)容進行分類，從基礎(chǔ)知識的講授、理論與應(yīng)用的結(jié)合、實踐環(huán)節(jié)的設(shè)計及學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)四個方面對教學(xué)方法進行探討，對信息安全學(xué)科發(fā)展、課程建設(shè)及人才培養(yǎng)等方面具有一定的借鑒作用。

關(guān)鍵詞： 《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 教學(xué)設(shè)計 教學(xué)方法

1.引言

信息安全學(xué)科是一門新興的交叉學(xué)科，涉及通信學(xué)、計算機科學(xué)、信息學(xué)、法律和數(shù)學(xué)等多個學(xué)科，主要研究確保信息安全的科學(xué)與技術(shù)，培養(yǎng)能夠從事計算機、通信、電子商務(wù)、電子政務(wù)、電子金融等領(lǐng)域的信息安全高級專門人才[1-3]。信息安全的理論基礎(chǔ)是密碼學(xué)，信息安全的問題根本解決往往依靠密碼學(xué)理論。密碼學(xué)是一門數(shù)學(xué)背景極強的綜合性學(xué)科，數(shù)學(xué)理論在當(dāng)前的密碼學(xué)研究中發(fā)揮重要作用，包括數(shù)論、群論、組合邏輯、復(fù)雜度理論、遍及理論及信息論等。因此，信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在信息安全中占據(jù)舉足輕重的地位，是整個學(xué)科專業(yè)的理論基礎(chǔ)。對于信息安全專業(yè)的學(xué)生而言，信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對今后密碼學(xué)的深入學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性的作用。

圖1 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與密碼學(xué)的關(guān)系

2.課程的特點與現(xiàn)狀

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作為一門數(shù)學(xué)課，其自身的理論性是毋庸置疑的，但是它又有區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程的地方。筆者在講授該門課程的過程中對其特點與現(xiàn)狀總結(jié)如下：

（1）信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程課時緊，內(nèi)容多、難度大，涉及數(shù)論、代數(shù)和橢圓曲線論等數(shù)學(xué)理論。由于有關(guān)數(shù)論、代數(shù)和橢圓曲線論等方面的課程多半是針對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，對相關(guān)基礎(chǔ)知識的掌握有所欠缺，很多內(nèi)容都是新知識，學(xué)習(xí)難度相對有點大，理解起來比較困難。因此，該門課程很容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏懼情緒，在學(xué)習(xí)過程中疏于研究和探索，理論基礎(chǔ)掌握不夠扎實。

（2）信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程主要是為密碼學(xué)技術(shù)提供理論基礎(chǔ)，其本身就是為了利用基礎(chǔ)理論解決實際應(yīng)用中信息安全領(lǐng)域的問題。如果在課堂中只強調(diào)理論知識的講授（如定理的證明，公式的推導(dǎo)等），將導(dǎo)致學(xué)生忽略與信息安全工程實踐的應(yīng)用，不清楚學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)理論能干什么、在什么地方用、怎么用、這種方法的優(yōu)點是什么等問題，很難為以后學(xué)習(xí)密碼學(xué)技術(shù)打好基礎(chǔ)。

（3）信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是具有變化性、發(fā)展性的一門課程，書本上的知識往往滯后于信息安全技術(shù)的實際應(yīng)用[1-3]，許多新的理論已經(jīng)不再適用，而新的理論卻未能在課本上更新。因此，這就要求老師在講授課本上的基礎(chǔ)知識的同時，關(guān)注最新信息安全技術(shù)的發(fā)展，使學(xué)生明白信息安全技術(shù)沒有絕對的安全性，需要不斷地提出新的算法、新的技術(shù)，從而引導(dǎo)學(xué)生探索信息安全相關(guān)知識，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識。

綜上所述，結(jié)合該門課程的特點與現(xiàn)狀，需要改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)授課方式，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生在牢固掌握該課程理論知識的同時，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)其解決實際信息安全問題的能力。因此，如何創(chuàng)造一種全新的教學(xué)方法，已成為信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教師需要深入探索的一個課題和挑戰(zhàn)。

3.教學(xué)內(nèi)容分析

信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是信息安全專業(yè)的基礎(chǔ)課，對學(xué)生深入學(xué)習(xí)密碼學(xué)相關(guān)知識，尤其是公鑰密碼算法和數(shù)字簽名算法具有重要意義。因此，講授該課程時，需要重點講授基礎(chǔ)知識，概括介紹前沿知識，同時注重理論與實踐的相結(jié)合。

根據(jù)陳恭亮教授編寫的《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》[4]這本教材，該課程需要講授歐幾里得除法、模同余、歐拉定理、中國剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域、橢圓曲線等諸多內(nèi)容。因此，圍繞密碼學(xué)所涉及的數(shù)論、近世代數(shù)和橢圓曲線論等數(shù)學(xué)理論，我們將該課程內(nèi)容分為（見表）：

表 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容分類

4.教學(xué)方法的探索與體會

教師是課堂教學(xué)的策劃者，要上好信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這門課，教師必須針對該課程的特點和內(nèi)容，制訂好教學(xué)方案，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)生的積極性，為密碼學(xué)技術(shù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)?，F(xiàn)將自己對該課程的教學(xué)體會總結(jié)如下：

（1）以基礎(chǔ)知識為核心，簡化數(shù)學(xué)理論知識，提高學(xué)生的積極性。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容多、分散且抽象，對于工科學(xué)生來說，理解起來相對比較困難。初等數(shù)學(xué)相對比較簡單，可以講得快一些，通過例子向同學(xué)們介紹其應(yīng)用。如講授模運算中模逆元的概念時，我們可以將其與學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的“倒數(shù)”進行對比，通過對比幫助學(xué)生理解模逆元的概念，如倒數(shù)3*1/3=1，而模逆元3*5 mod 7=1。近世代數(shù)中群、環(huán)、域的概念比較抽象，教師可以將較難的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一些容易的小問題，采用歸納法對三者之間的聯(lián)系和區(qū)別進行概括（如圖2），幫助學(xué)生加深理解。橢圓曲線論需要把橢圓曲線的物理意義及其應(yīng)用講清楚。

圖2 群、環(huán)、域的關(guān)系

同時，為了調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，可以在課堂中引入數(shù)學(xué)史的講解及一些數(shù)學(xué)家的故事，比如講中國剩余定理時，可以講講韓信點兵的背景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（2）以密碼學(xué)應(yīng)用為出發(fā)點，采用啟發(fā)式教學(xué)的方式引導(dǎo)學(xué)生將理論與應(yīng)用相結(jié)合。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的目的是引導(dǎo)學(xué)生將信息安全數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到實際的密碼學(xué)問題當(dāng)中，所以，老師應(yīng)該改變傳統(tǒng)的“滿堂灌”的教學(xué)模式，運用啟發(fā)式的教學(xué)方式，介紹問題的來源、研究的方法等，使得學(xué)生清楚“學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)理論能干什么、在什么地方用、怎么用”等問題。

圍繞著密碼學(xué)所涉及的技術(shù)和算法[5]，我們可以向?qū)W生講述信息安全數(shù)學(xué)理論和密碼學(xué)應(yīng)用之間的聯(lián)系，如講授歐拉函數(shù)和歐拉定理時，可以介紹其在RSA公鑰密碼算法中的具體應(yīng)用；講授中國剩余定理時，可以通過引出問題：假設(shè)5個人中每個人都知道一個秘密的部分內(nèi)容，想要恢復(fù)出秘密的全部信息，至少需要3個人聯(lián)合起來（密碼學(xué)中的門限方案），使得學(xué)生了解中國剩余定理的應(yīng)用。信息安全數(shù)學(xué)理論與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系如圖3所示，其中箭頭表示服務(wù)與被服務(wù)的關(guān)系。

（a）數(shù)論部分與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系

（b）近世代數(shù)部分與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系

圖3 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與密碼學(xué)的服務(wù)關(guān)系

（3）精心設(shè)計實踐教學(xué)環(huán)節(jié)，發(fā)揮工科學(xué)生特長，提高學(xué)生解決問題的能力。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是針對工科學(xué)生開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，僅講授課本上的知識很難使學(xué)生對課本吃透，因此，需要發(fā)揮工科學(xué)生的特長，精心設(shè)計實踐教學(xué)環(huán)節(jié)。信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中有很多相對復(fù)雜且抽象的算法，單靠課堂上的理論講解是很難讓學(xué)生掌握的，因此，可以適當(dāng)?shù)匕才乓恍┚幊套鳂I(yè)。如講授歐幾里得算法時，可以要求學(xué)生利用編程知識實現(xiàn)該算法，既鍛煉學(xué)生的編程能力，又加深學(xué)生對歐幾里得算法的深刻理解。另外，結(jié)合信息安全實際應(yīng)用中出現(xiàn)的一些問題，讓學(xué)生自己思考會用到哪些學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，通過小組討論和匯總，使學(xué)生在充分理解理論知識的基礎(chǔ)上，通過獨立思考，靈活解決實際問題。

（4）采取引導(dǎo)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，探索前沿性知識。近些年來，隨著信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的日益普及和商業(yè)需求的提高，密碼學(xué)的研究和應(yīng)用愈來愈熱。教科書上的知識已經(jīng)很難滿足信息安全技術(shù)的應(yīng)用，以教科書為主的教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)很難達到高等教育的任務(wù)和目標(biāo)。這就需要老師不能僅僅傳授課本上的基礎(chǔ)知識，而需要采取引導(dǎo)式教學(xué)，將信息安全領(lǐng)域的最新技術(shù)作為例子引入到課堂，和學(xué)生進行開放式探討，帶學(xué)生進入學(xué)科前沿，激發(fā)學(xué)生的探索能力，使學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識分析和解決實際問題。另外，在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生自主探索國內(nèi)外信息安全領(lǐng)域的最新動向，使學(xué)生明白任何技術(shù)或算法不是一成不變的，需要不斷地創(chuàng)新和發(fā)展以適應(yīng)國家信息化進程的需要，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力和創(chuàng)新意識。

5.結(jié)語

《信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》在信息安全中占據(jù)舉足輕重的地位，是整個學(xué)科專業(yè)的理論基礎(chǔ)。筆者分析了信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的特點與現(xiàn)狀，針對該課程的教學(xué)內(nèi)容，從基礎(chǔ)知識的講授、理論與應(yīng)用的結(jié)合、實踐環(huán)節(jié)的設(shè)計及學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)四個方面對教學(xué)方法進行探討。通過教學(xué)實踐表明，該教學(xué)方法取得良好的效果，學(xué)生對信息安全表現(xiàn)出濃厚興趣，考試成績基本符合正態(tài)分布，為現(xiàn)代密碼學(xué)技術(shù)打好堅實的基礎(chǔ)。由于信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍是一門新興的課程，很多問題仍需要進一步探討，在今后的教學(xué)中還需要不斷改進教學(xué)模式，提高教學(xué)質(zhì)量，為培養(yǎng)滿足社會需要的優(yōu)秀人才而努力。

參考文獻：

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[4]陳恭亮.信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[5]B.Schneier著，吳世忠等譯.應(yīng)用密碼學(xué)[M].北京：機械工業(yè)出版社，2000.