在問題情境中激發思考 在活動操作中解決問題

朱楊一

【教材簡介】

“打電話”是人教版教材五年級下冊第132～133頁的內容，屬于“綜合與實踐”領域，“綜合與實踐”是積累數學活動經驗的重要載體。

教材的主體結構大致分為三部分。第一部分是“創設情境，分析問題”。這部分并沒有讓學生畫圖，但有逐一通知和分組法的圖示。教材還問了這么一個問題：“是不是分的組越多，用的時間越少”。第二部分“數形結合，優化方法”。教材明確要求學生動手畫圖，還規定了圖例，通過數形結合的方式使解決問題的方法直觀化。第三部分是“總結規律，拓展延伸”。通過“你發現什么規律了嗎”這個問題，讓學生把這節課的基本知識抽象出來，達到一個比較高的層次。

【教材解讀】

從教材的編排體系看，學生在前面已經學過了“烙餅問題”和“統籌原理”，后面又有了“找次品”。本課既能用到前面的優化思想、模型思想的經驗，又能對“找次品”積累一定的數學活動經驗。

本課中蘊含的主要數學思想有化歸思想、模型思想、數形結合思想、優化的思想、對應的思想?；瘹w思想本課體現為化難為易；模型思想體現在1、2、4、8、16……n這個等比數列中，此數列的和為2n-1，2n表示得到通知的總人數，1表示老師，2n-1表示減去老師后通知到的學生人數；數形結合思想體現在通過圖示的方法表示出題目中的數量關系，是一個抽象到直觀的過程；對應思想是指時間和人數兩個變量有著重要的對應關系，比如10分鐘的時候對應1024人，如果不進行對應，學生就會把等比數列的尾項與數列的和搞混掉。最后優化思想是激發學生深入思考的一種重要思想方法。

本課當圍繞這些數學思想進行設計，教師應設計豐富的數學活動，使學生在活動中感悟數學思想。數學思想處在最高位，數學活動是傳達數學思想的手段，活動本身不是目的，形成經驗才是目的，積累數學活動經驗是為讓學生將來能夠自動自發地運用數學思想方法。最后在數學活動過程中還形成一些知識和技能。

【教學目標】

1.利用學生熟悉的生活情境，通過獨立思考、對比、畫圖、模擬、講解分析、小組討論等數學活動，使學生找到打電話的最優方案。

2.滲透化難為易、數形結合、優化、對應的思想，培養學生借助圖形解決問題的意識。

3.感受幾何倍增的神奇魔力，培養學生的數感。

【教學設計】

（一）課前談話，做好準備

教師發給每個同學一張紙，請學生把紙對折一下。猜一猜，為什么要對折。

其實很簡單，對折后就有2個半張，可以用兩次了（合理用紙）。

（設計意圖：“猜一猜”使學生進入積極思考的狀態，并且沒有猜對猜錯之分，調動學生舉手表達的積極性。另外，可以和結尾相呼應，最終學生會發現打電話和多次對折一張紙，是同一個數學模型。）

（二）創設情境，去情境化

題目：A老師有一個通知要傳達給1000名學生，如果用打電話的方式，每1分鐘通知1人。

讀到這里，你想到了什么？

預設：全部通知到要1000分鐘。

補上問題：怎樣打電話省時間？

預設：打電話通知學生的同時，請他幫忙再打給別的學生。

（設計意圖：在創設情境的過程中又要注意去情境化，去情境化才能幫助學生自覺地建構隱藏在情境后面的數學知識與思想方法。本題通過老師虛假的名字、巨大的學生人數以及又去掉了“緊急”2字的題目，讓學生感到這不是一個生活問題，而是一個虛擬的、數學的問題，從而實現了去情境化。如此一來，想到短信群發，請家長幫忙、一個人用10部手機等生活化想法的學生少了。同時，通過1000的人數和“怎樣打電話省時”這個問題，把學生的思維聚焦到解決策略上。）

（三）獨立思考，初步嘗試

1.化難為易。

題目：A老師有一個通知要傳達給15名學生，如果用打電話的方式，每1分鐘通知1人。請你設計一個打電話的方案，并算清楚花了多少分鐘。

把你的想法表示在紙上。（展示學生的3種方案）

2、反饋交流。

學生通過獨立思考，用文字、算式或者圖示表達了自己的想法，教師選取3種典型性的分組法，投影給全體學生看。在師生的互動分析中，教師邊分析邊把3種方法畫在黑板上。

3.對比優化。

為什么方法2、3比方法1多節約了1分鐘？是不是分的組越多，用的時間就越少？為什么分三組和分五組都花了7分鐘？幫忙的學生到底在第幾分鐘才開始幫老師打電話？你覺得還有縮短時間的可能性嗎？你覺得怎樣打才能最省時間？

4.情景模擬。

教師現場展開讓學生模擬用倍增法打電話的過程。

（設計意圖：從1000人到15人體現了化歸思想，也為學生學習六年級上冊的“雞兔同籠”積累了化歸的經驗。在反饋交流時，教師允許學生表達形式的多樣化，無論是文字還是算式，教師都把它們圖示化，動態地畫在黑板上。讓每個學生都能理清分組法打電話的過程，為下一步對比分析做好準備。另外，通過3種方法的對比，讓學生體會到并不是分的組越多越快，抓緊每一分鐘“人人參與”才是最快的。最后通過情景模擬的方式豐富了數學活動的類型，再給學生創造一次理解的機會。）

（四）數形結合，再次探究

1.經過剛才的討論，同學們頭腦里一定有了新的認識。請你把新的打電話過程畫在紙上。

2.展示學生的成品，課件動態演示畫圖過程。

提問：接下來要畫幾個圓圈，每個圓圈上再長出幾個圓圈？

3.你怎么知道已經通知到15人了？

預設：數出來，1+2+4+8=15，8×2-1=15。

4.如果再給你一分鐘，會出現幾打幾的情況？

（設計意圖：通過討論，學生對倍增法有了一定的感覺，但是想要獲得數學活動經驗，必須親身實踐，畫圖是最好的辦法。之后教師再二次用課件呈現畫圖過程，引導學生發現規律，再通過“你怎么知道已經通知到15人了”一問，使學生從圖示過渡到算式，達到更高的層次。）endprint

（五）運用經驗，二次挑戰

1.題目：如果用上述方法，7分鐘最多能通知多少人？通知100人最少需要幾分鐘？

預設：圖示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出現了幾個加數，乘法中出現了多少個2，為什么都是7個？7代表什么意思？

為什么128還要減1？通知100人最少需要7分鐘，還是6分鐘？

（設計意圖：培養學生的應用意識，使學生主動運用剛發現的規律解決問題。同時再一次經歷從圖示到算式的過程，畢竟在100人的前提下，圖示不再那么好畫了，算式的優勢以及必要性突顯出來了，什么時候放棄圖示轉用算式，就看學生的個體差異了。）

（六）總結經驗，解決問題

1.學了這節課的內容，你知道怎樣打電話最省時間了嗎？

預設：根據學生的回答填表。

生活中還有類似打電話的事嗎？

第幾分鐘 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的總人數（含老師） 2 4 8 16 32 64 128

預設：折紙、折繩子。

通知1000名學生最少需要多少時間，留到課外思考。

（設計意圖：通過學生的總結形成表格，用純數字的方式再次總結規律，并讓學生感受對應思想。同時幫助學生把本課所得經驗遷移到別的事物上，又和課前談話呼應，最后還留給學生繼續思考的空間。）

【課后反思】

（一）通過合適的問題情境，幫助學生積累數學活動經驗

教學時教師要通過合適的問題情境，幫助學生積累數學活動經驗。問題情境的設計除了要有趣味性和挑戰性，還要充分調動學生學習數學的積極性，要能激發學生的思考。思考的起點要低，開放程度要大，人人都能參與。只有這樣，學生才能積累完整的立體化的數學活動經驗。

試教時，筆者把問題情境設置成“通知7名學生最少需要幾分鐘”。7是一個質數，可以分成2組，用時4分鐘；也可以用倍增法，1+2+4=7，用時3分鐘。本以為把學生解決問題的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到達數學本質。但恰恰由于解決問題的策略少，缺少了策略之間的對比，使得學生對倍增法的優勢感覺不強烈，甚至有的學生雖然用了倍增法，但只是被他碰巧這么做了，頭腦里沒有形成用倍增法解決問題的活動經驗，以至于在解決“通知50名學生最少需要幾分鐘”的時候，反而不用倍增法了。

后來，筆者把問題情境改成了“通知15名學生最少需要幾分鐘”。學生想出更多的解決問題的策略，再通過不同策略之間的對比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，學生終于在充分展開的過程中，積累了良好的、可以運用的數學活動經驗。

（二）通過多樣化的活動，幫助學生積累數學活動經驗

數學活動經驗不像事實性知識那樣“看得見、摸得著”，而且表述是唯一的，不同的學生獲得經驗的時機和質量是不同的，不同的活動適合不同的學生，在前一個活動中獲得的經驗不清晰、不完整，通過后一活動可能就變得清晰和完整了。因此在教學過程中，教師要設計多樣化的數學活動，力求每個學生作為學習的主體都能參與到活動里，使每個學生都能積累豐富的、完整的、立體化的數學活動經驗。以本課為例，所涉及的數學活動有獨立思考、對比分析、情景模擬、畫圖、觀察、填表格等。有的學生獨立思考能力不強，或許他在情景模擬時，突然頓悟；有的學生抽象能力不強，無法列出算式，或許他在填表格時，豁然開朗。并且這些活動也是有層次性的，就算是能力比較強的學生，也能在每個活動中積累不同的數學活動經驗。

并且，學生在數學活動中對同一數學對象的認識是有差異的，即使外部條件相同，每一個學生仍然可能具有不同的理解，獲得不同的經驗。因此教師在教學時應該尊重每個學生有不同的想法。以本課為例，在獨立思考時筆者允許學生通過計算、文字、圖示等不同形式表達自己的想法，在抽象成算式時允許學生用加法算式或者乘法算式，允許他們用綜合算式或者分步算式，也允許學生不形成算式一直用圖示法或者數列解決問題。

總之，積累數學活動經驗并不是一句口號，更是學生獲得智慧的途徑。智慧不體現在問題的答案里，而是體現在解決問題的過程中。關注過程，關注每個學生數學活動經驗的積累，讓每個學生都獲得智慧。

（浙江省桐鄉市濮院小學 314500）endprint

（五）運用經驗，二次挑戰

1.題目：如果用上述方法，7分鐘最多能通知多少人？通知100人最少需要幾分鐘？

預設：圖示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出現了幾個加數，乘法中出現了多少個2，為什么都是7個？7代表什么意思？

為什么128還要減1？通知100人最少需要7分鐘，還是6分鐘？

（設計意圖：培養學生的應用意識，使學生主動運用剛發現的規律解決問題。同時再一次經歷從圖示到算式的過程，畢竟在100人的前提下，圖示不再那么好畫了，算式的優勢以及必要性突顯出來了，什么時候放棄圖示轉用算式，就看學生的個體差異了。）

（六）總結經驗，解決問題

1.學了這節課的內容，你知道怎樣打電話最省時間了嗎？

預設：根據學生的回答填表。

生活中還有類似打電話的事嗎？

第幾分鐘 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的總人數（含老師） 2 4 8 16 32 64 128

預設：折紙、折繩子。

通知1000名學生最少需要多少時間，留到課外思考。

（設計意圖：通過學生的總結形成表格，用純數字的方式再次總結規律，并讓學生感受對應思想。同時幫助學生把本課所得經驗遷移到別的事物上，又和課前談話呼應，最后還留給學生繼續思考的空間。）

【課后反思】

（一）通過合適的問題情境，幫助學生積累數學活動經驗

教學時教師要通過合適的問題情境，幫助學生積累數學活動經驗。問題情境的設計除了要有趣味性和挑戰性，還要充分調動學生學習數學的積極性，要能激發學生的思考。思考的起點要低，開放程度要大，人人都能參與。只有這樣，學生才能積累完整的立體化的數學活動經驗。

試教時，筆者把問題情境設置成“通知7名學生最少需要幾分鐘”。7是一個質數，可以分成2組，用時4分鐘；也可以用倍增法，1+2+4=7，用時3分鐘。本以為把學生解決問題的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到達數學本質。但恰恰由于解決問題的策略少，缺少了策略之間的對比，使得學生對倍增法的優勢感覺不強烈，甚至有的學生雖然用了倍增法，但只是被他碰巧這么做了，頭腦里沒有形成用倍增法解決問題的活動經驗，以至于在解決“通知50名學生最少需要幾分鐘”的時候，反而不用倍增法了。

后來，筆者把問題情境改成了“通知15名學生最少需要幾分鐘”。學生想出更多的解決問題的策略，再通過不同策略之間的對比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，學生終于在充分展開的過程中，積累了良好的、可以運用的數學活動經驗。

（二）通過多樣化的活動，幫助學生積累數學活動經驗

數學活動經驗不像事實性知識那樣“看得見、摸得著”，而且表述是唯一的，不同的學生獲得經驗的時機和質量是不同的，不同的活動適合不同的學生，在前一個活動中獲得的經驗不清晰、不完整，通過后一活動可能就變得清晰和完整了。因此在教學過程中，教師要設計多樣化的數學活動，力求每個學生作為學習的主體都能參與到活動里，使每個學生都能積累豐富的、完整的、立體化的數學活動經驗。以本課為例，所涉及的數學活動有獨立思考、對比分析、情景模擬、畫圖、觀察、填表格等。有的學生獨立思考能力不強，或許他在情景模擬時，突然頓悟；有的學生抽象能力不強，無法列出算式，或許他在填表格時，豁然開朗。并且這些活動也是有層次性的，就算是能力比較強的學生，也能在每個活動中積累不同的數學活動經驗。

并且，學生在數學活動中對同一數學對象的認識是有差異的，即使外部條件相同，每一個學生仍然可能具有不同的理解，獲得不同的經驗。因此教師在教學時應該尊重每個學生有不同的想法。以本課為例，在獨立思考時筆者允許學生通過計算、文字、圖示等不同形式表達自己的想法，在抽象成算式時允許學生用加法算式或者乘法算式，允許他們用綜合算式或者分步算式，也允許學生不形成算式一直用圖示法或者數列解決問題。

總之，積累數學活動經驗并不是一句口號，更是學生獲得智慧的途徑。智慧不體現在問題的答案里，而是體現在解決問題的過程中。關注過程，關注每個學生數學活動經驗的積累，讓每個學生都獲得智慧。

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（五）運用經驗，二次挑戰

1.題目：如果用上述方法，7分鐘最多能通知多少人？通知100人最少需要幾分鐘？

預設：圖示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出現了幾個加數，乘法中出現了多少個2，為什么都是7個？7代表什么意思？

為什么128還要減1？通知100人最少需要7分鐘，還是6分鐘？

（設計意圖：培養學生的應用意識，使學生主動運用剛發現的規律解決問題。同時再一次經歷從圖示到算式的過程，畢竟在100人的前提下，圖示不再那么好畫了，算式的優勢以及必要性突顯出來了，什么時候放棄圖示轉用算式，就看學生的個體差異了。）

（六）總結經驗，解決問題

1.學了這節課的內容，你知道怎樣打電話最省時間了嗎？

預設：根據學生的回答填表。

生活中還有類似打電話的事嗎？

第幾分鐘 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的總人數（含老師） 2 4 8 16 32 64 128

預設：折紙、折繩子。

通知1000名學生最少需要多少時間，留到課外思考。

（設計意圖：通過學生的總結形成表格，用純數字的方式再次總結規律，并讓學生感受對應思想。同時幫助學生把本課所得經驗遷移到別的事物上，又和課前談話呼應，最后還留給學生繼續思考的空間。）

【課后反思】

（一）通過合適的問題情境，幫助學生積累數學活動經驗

教學時教師要通過合適的問題情境，幫助學生積累數學活動經驗。問題情境的設計除了要有趣味性和挑戰性，還要充分調動學生學習數學的積極性，要能激發學生的思考。思考的起點要低，開放程度要大，人人都能參與。只有這樣，學生才能積累完整的立體化的數學活動經驗。

試教時，筆者把問題情境設置成“通知7名學生最少需要幾分鐘”。7是一個質數，可以分成2組，用時4分鐘；也可以用倍增法，1+2+4=7，用時3分鐘。本以為把學生解決問題的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到達數學本質。但恰恰由于解決問題的策略少，缺少了策略之間的對比，使得學生對倍增法的優勢感覺不強烈，甚至有的學生雖然用了倍增法，但只是被他碰巧這么做了，頭腦里沒有形成用倍增法解決問題的活動經驗，以至于在解決“通知50名學生最少需要幾分鐘”的時候，反而不用倍增法了。

后來，筆者把問題情境改成了“通知15名學生最少需要幾分鐘”。學生想出更多的解決問題的策略，再通過不同策略之間的對比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，學生終于在充分展開的過程中，積累了良好的、可以運用的數學活動經驗。

（二）通過多樣化的活動，幫助學生積累數學活動經驗

數學活動經驗不像事實性知識那樣“看得見、摸得著”，而且表述是唯一的，不同的學生獲得經驗的時機和質量是不同的，不同的活動適合不同的學生，在前一個活動中獲得的經驗不清晰、不完整，通過后一活動可能就變得清晰和完整了。因此在教學過程中，教師要設計多樣化的數學活動，力求每個學生作為學習的主體都能參與到活動里，使每個學生都能積累豐富的、完整的、立體化的數學活動經驗。以本課為例，所涉及的數學活動有獨立思考、對比分析、情景模擬、畫圖、觀察、填表格等。有的學生獨立思考能力不強，或許他在情景模擬時，突然頓悟；有的學生抽象能力不強，無法列出算式，或許他在填表格時，豁然開朗。并且這些活動也是有層次性的，就算是能力比較強的學生，也能在每個活動中積累不同的數學活動經驗。

并且，學生在數學活動中對同一數學對象的認識是有差異的，即使外部條件相同，每一個學生仍然可能具有不同的理解，獲得不同的經驗。因此教師在教學時應該尊重每個學生有不同的想法。以本課為例，在獨立思考時筆者允許學生通過計算、文字、圖示等不同形式表達自己的想法，在抽象成算式時允許學生用加法算式或者乘法算式，允許他們用綜合算式或者分步算式，也允許學生不形成算式一直用圖示法或者數列解決問題。

總之，積累數學活動經驗并不是一句口號，更是學生獲得智慧的途徑。智慧不體現在問題的答案里，而是體現在解決問題的過程中。關注過程，關注每個學生數學活動經驗的積累，讓每個學生都獲得智慧。

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