在問題情境中激發(fā)思考 在活動(dòng)操作中解決問題

朱楊一

【教材簡(jiǎn)介】

“打電話”是人教版教材五年級(jí)下冊(cè)第132～133頁(yè)的內(nèi)容，屬于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，“綜合與實(shí)踐”是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體。

教材的主體結(jié)構(gòu)大致分為三部分。第一部分是“創(chuàng)設(shè)情境，分析問題”。這部分并沒有讓學(xué)生畫圖，但有逐一通知和分組法的圖示。教材還問了這么一個(gè)問題：“是不是分的組越多，用的時(shí)間越少”。第二部分“數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化方法”。教材明確要求學(xué)生動(dòng)手畫圖，還規(guī)定了圖例，通過數(shù)形結(jié)合的方式使解決問題的方法直觀化。第三部分是“總結(jié)規(guī)律，拓展延伸”。通過“你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎”這個(gè)問題，讓學(xué)生把這節(jié)課的基本知識(shí)抽象出來，達(dá)到一個(gè)比較高的層次。

【教材解讀】

從教材的編排體系看，學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)過了“烙餅問題”和“統(tǒng)籌原理”，后面又有了“找次品”。本課既能用到前面的優(yōu)化思想、模型思想的經(jīng)驗(yàn)，又能對(duì)“找次品”積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

本課中蘊(yùn)含的主要數(shù)學(xué)思想有化歸思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、優(yōu)化的思想、對(duì)應(yīng)的思想。化歸思想本課體現(xiàn)為化難為易；模型思想體現(xiàn)在1、2、4、8、16……n這個(gè)等比數(shù)列中，此數(shù)列的和為2n-1，2n表示得到通知的總?cè)藬?shù)，1表示老師，2n-1表示減去老師后通知到的學(xué)生人數(shù)；數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在通過圖示的方法表示出題目中的數(shù)量關(guān)系，是一個(gè)抽象到直觀的過程；對(duì)應(yīng)思想是指時(shí)間和人數(shù)兩個(gè)變量有著重要的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如10分鐘的時(shí)候?qū)?yīng)1024人，如果不進(jìn)行對(duì)應(yīng)，學(xué)生就會(huì)把等比數(shù)列的尾項(xiàng)與數(shù)列的和搞混掉。最后優(yōu)化思想是激發(fā)學(xué)生深入思考的一種重要思想方法。

本課當(dāng)圍繞這些數(shù)學(xué)思想進(jìn)行設(shè)計(jì)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想處在最高位，數(shù)學(xué)活動(dòng)是傳達(dá)數(shù)學(xué)思想的手段，活動(dòng)本身不是目的，形成經(jīng)驗(yàn)才是目的，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是為讓學(xué)生將來能夠自動(dòng)自發(fā)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。最后在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中還形成一些知識(shí)和技能。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.利用學(xué)生熟悉的生活情境，通過獨(dú)立思考、對(duì)比、畫圖、模擬、講解分析、小組討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生找到打電話的最優(yōu)方案。

2.滲透化難為易、數(shù)形結(jié)合、優(yōu)化、對(duì)應(yīng)的思想，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題的意識(shí)。

3.感受幾何倍增的神奇魔力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

（一）課前談話，做好準(zhǔn)備

教師發(fā)給每個(gè)同學(xué)一張紙，請(qǐng)學(xué)生把紙對(duì)折一下。猜一猜，為什么要對(duì)折。

其實(shí)很簡(jiǎn)單，對(duì)折后就有2個(gè)半張，可以用兩次了（合理用紙）。

（設(shè)計(jì)意圖：“猜一猜”使學(xué)生進(jìn)入積極思考的狀態(tài)，并且沒有猜對(duì)猜錯(cuò)之分，調(diào)動(dòng)學(xué)生舉手表達(dá)的積極性。另外，可以和結(jié)尾相呼應(yīng)，最終學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)打電話和多次對(duì)折一張紙，是同一個(gè)數(shù)學(xué)模型。）

（二）創(chuàng)設(shè)情境，去情境化

題目：A老師有一個(gè)通知要傳達(dá)給1000名學(xué)生，如果用打電話的方式，每1分鐘通知1人。

讀到這里，你想到了什么？

預(yù)設(shè)：全部通知到要1000分鐘。

補(bǔ)上問題：怎樣打電話省時(shí)間？

預(yù)設(shè)：打電話通知學(xué)生的同時(shí)，請(qǐng)他幫忙再打給別的學(xué)生。

（設(shè)計(jì)意圖：在創(chuàng)設(shè)情境的過程中又要注意去情境化，去情境化才能幫助學(xué)生自覺地建構(gòu)隱藏在情境后面的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法。本題通過老師虛假的名字、巨大的學(xué)生人數(shù)以及又去掉了“緊急”2字的題目，讓學(xué)生感到這不是一個(gè)生活問題，而是一個(gè)虛擬的、數(shù)學(xué)的問題，從而實(shí)現(xiàn)了去情境化。如此一來，想到短信群發(fā)，請(qǐng)家長(zhǎng)幫忙、一個(gè)人用10部手機(jī)等生活化想法的學(xué)生少了。同時(shí)，通過1000的人數(shù)和“怎樣打電話省時(shí)”這個(gè)問題，把學(xué)生的思維聚焦到解決策略上。）

（三）獨(dú)立思考，初步嘗試

1.化難為易。

題目：A老師有一個(gè)通知要傳達(dá)給15名學(xué)生，如果用打電話的方式，每1分鐘通知1人。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案，并算清楚花了多少分鐘。

把你的想法表示在紙上。（展示學(xué)生的3種方案）

2、反饋交流。

學(xué)生通過獨(dú)立思考，用文字、算式或者圖示表達(dá)了自己的想法，教師選取3種典型性的分組法，投影給全體學(xué)生看。在師生的互動(dòng)分析中，教師邊分析邊把3種方法畫在黑板上。

3.對(duì)比優(yōu)化。

為什么方法2、3比方法1多節(jié)約了1分鐘？是不是分的組越多，用的時(shí)間就越少？為什么分三組和分五組都花了7分鐘？幫忙的學(xué)生到底在第幾分鐘才開始幫老師打電話？你覺得還有縮短時(shí)間的可能性嗎？你覺得怎樣打才能最省時(shí)間？

4.情景模擬。

教師現(xiàn)場(chǎng)展開讓學(xué)生模擬用倍增法打電話的過程。

（設(shè)計(jì)意圖：從1000人到15人體現(xiàn)了化歸思想，也為學(xué)生學(xué)習(xí)六年級(jí)上冊(cè)的“雞兔同籠”積累了化歸的經(jīng)驗(yàn)。在反饋交流時(shí)，教師允許學(xué)生表達(dá)形式的多樣化，無論是文字還是算式，教師都把它們圖示化，動(dòng)態(tài)地畫在黑板上。讓每個(gè)學(xué)生都能理清分組法打電話的過程，為下一步對(duì)比分析做好準(zhǔn)備。另外，通過3種方法的對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)到并不是分的組越多越快，抓緊每一分鐘“人人參與”才是最快的。最后通過情景模擬的方式豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)的類型，再給學(xué)生創(chuàng)造一次理解的機(jī)會(huì)。）

（四）數(shù)形結(jié)合，再次探究

1.經(jīng)過剛才的討論，同學(xué)們頭腦里一定有了新的認(rèn)識(shí)。請(qǐng)你把新的打電話過程畫在紙上。

2.展示學(xué)生的成品，課件動(dòng)態(tài)演示畫圖過程。

提問：接下來要畫幾個(gè)圓圈，每個(gè)圓圈上再長(zhǎng)出幾個(gè)圓圈？

3.你怎么知道已經(jīng)通知到15人了？

預(yù)設(shè)：數(shù)出來，1+2+4+8=15，8×2-1=15。

4.如果再給你一分鐘，會(huì)出現(xiàn)幾打幾的情況？

（設(shè)計(jì)意圖：通過討論，學(xué)生對(duì)倍增法有了一定的感覺，但是想要獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，必須親身實(shí)踐，畫圖是最好的辦法。之后教師再二次用課件呈現(xiàn)畫圖過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再通過“你怎么知道已經(jīng)通知到15人了”一問，使學(xué)生從圖示過渡到算式，達(dá)到更高的層次。）endprint

（五）運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，二次挑戰(zhàn)

1.題目：如果用上述方法，7分鐘最多能通知多少人？通知100人最少需要幾分鐘？

預(yù)設(shè)：圖示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出現(xiàn)了幾個(gè)加數(shù)，乘法中出現(xiàn)了多少個(gè)2，為什么都是7個(gè)？7代表什么意思？

為什么128還要減1？通知100人最少需要7分鐘，還是6分鐘？

（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用剛發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題。同時(shí)再一次經(jīng)歷從圖示到算式的過程，畢竟在100人的前提下，圖示不再那么好畫了，算式的優(yōu)勢(shì)以及必要性突顯出來了，什么時(shí)候放棄圖示轉(zhuǎn)用算式，就看學(xué)生的個(gè)體差異了。）

（六）總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，解決問題

1.學(xué)了這節(jié)課的內(nèi)容，你知道怎樣打電話最省時(shí)間了嗎？

預(yù)設(shè)：根據(jù)學(xué)生的回答填表。

生活中還有類似打電話的事嗎？

第幾分鐘 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的總?cè)藬?shù)（含老師） 2 4 8 16 32 64 128

預(yù)設(shè)：折紙、折繩子。

通知1000名學(xué)生最少需要多少時(shí)間，留到課外思考。

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)形成表格，用純數(shù)字的方式再次總結(jié)規(guī)律，并讓學(xué)生感受對(duì)應(yīng)思想。同時(shí)幫助學(xué)生把本課所得經(jīng)驗(yàn)遷移到別的事物上，又和課前談話呼應(yīng)，最后還留給學(xué)生繼續(xù)思考的空間。）

【課后反思】

（一）通過合適的問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)時(shí)教師要通過合適的問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。問題情境的設(shè)計(jì)除了要有趣味性和挑戰(zhàn)性，還要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，要能激發(fā)學(xué)生的思考。思考的起點(diǎn)要低，開放程度要大，人人都能參與。只有這樣，學(xué)生才能積累完整的立體化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

試教時(shí)，筆者把問題情境設(shè)置成“通知7名學(xué)生最少需要幾分鐘”。7是一個(gè)質(zhì)數(shù)，可以分成2組，用時(shí)4分鐘；也可以用倍增法，1+2+4=7，用時(shí)3分鐘。本以為把學(xué)生解決問題的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)。但恰恰由于解決問題的策略少，缺少了策略之間的對(duì)比，使得學(xué)生對(duì)倍增法的優(yōu)勢(shì)感覺不強(qiáng)烈，甚至有的學(xué)生雖然用了倍增法，但只是被他碰巧這么做了，頭腦里沒有形成用倍增法解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以至于在解決“通知50名學(xué)生最少需要幾分鐘”的時(shí)候，反而不用倍增法了。

后來，筆者把問題情境改成了“通知15名學(xué)生最少需要幾分鐘”。學(xué)生想出更多的解決問題的策略，再通過不同策略之間的對(duì)比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，學(xué)生終于在充分展開的過程中，積累了良好的、可以運(yùn)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）通過多樣化的活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不像事實(shí)性知識(shí)那樣“看得見、摸得著”，而且表述是唯一的，不同的學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)的時(shí)機(jī)和質(zhì)量是不同的，不同的活動(dòng)適合不同的學(xué)生，在前一個(gè)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)不清晰、不完整，通過后一活動(dòng)可能就變得清晰和完整了。因此在教學(xué)過程中，教師要設(shè)計(jì)多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，力求每個(gè)學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體都能參與到活動(dòng)里，使每個(gè)學(xué)生都能積累豐富的、完整的、立體化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。以本課為例，所涉及的數(shù)學(xué)活動(dòng)有獨(dú)立思考、對(duì)比分析、情景模擬、畫圖、觀察、填表格等。有的學(xué)生獨(dú)立思考能力不強(qiáng)，或許他在情景模擬時(shí)，突然頓悟；有的學(xué)生抽象能力不強(qiáng)，無法列出算式，或許他在填表格時(shí)，豁然開朗。并且這些活動(dòng)也是有層次性的，就算是能力比較強(qiáng)的學(xué)生，也能在每個(gè)活動(dòng)中積累不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

并且，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)是有差異的，即使外部條件相同，每一個(gè)學(xué)生仍然可能具有不同的理解，獲得不同的經(jīng)驗(yàn)。因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該尊重每個(gè)學(xué)生有不同的想法。以本課為例，在獨(dú)立思考時(shí)筆者允許學(xué)生通過計(jì)算、文字、圖示等不同形式表達(dá)自己的想法，在抽象成算式時(shí)允許學(xué)生用加法算式或者乘法算式，允許他們用綜合算式或者分步算式，也允許學(xué)生不形成算式一直用圖示法或者數(shù)列解決問題。

總之，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不是一句口號(hào)，更是學(xué)生獲得智慧的途徑。智慧不體現(xiàn)在問題的答案里，而是體現(xiàn)在解決問題的過程中。關(guān)注過程，關(guān)注每個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓每個(gè)學(xué)生都獲得智慧。

（浙江省桐鄉(xiāng)市濮院小學(xué) 314500）endprint

（五）運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，二次挑戰(zhàn)

1.題目：如果用上述方法，7分鐘最多能通知多少人？通知100人最少需要幾分鐘？

預(yù)設(shè)：圖示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出現(xiàn)了幾個(gè)加數(shù)，乘法中出現(xiàn)了多少個(gè)2，為什么都是7個(gè)？7代表什么意思？

為什么128還要減1？通知100人最少需要7分鐘，還是6分鐘？

（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用剛發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題。同時(shí)再一次經(jīng)歷從圖示到算式的過程，畢竟在100人的前提下，圖示不再那么好畫了，算式的優(yōu)勢(shì)以及必要性突顯出來了，什么時(shí)候放棄圖示轉(zhuǎn)用算式，就看學(xué)生的個(gè)體差異了。）

（六）總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，解決問題

1.學(xué)了這節(jié)課的內(nèi)容，你知道怎樣打電話最省時(shí)間了嗎？

預(yù)設(shè)：根據(jù)學(xué)生的回答填表。

生活中還有類似打電話的事嗎？

第幾分鐘 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的總?cè)藬?shù)（含老師） 2 4 8 16 32 64 128

預(yù)設(shè)：折紙、折繩子。

通知1000名學(xué)生最少需要多少時(shí)間，留到課外思考。

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)形成表格，用純數(shù)字的方式再次總結(jié)規(guī)律，并讓學(xué)生感受對(duì)應(yīng)思想。同時(shí)幫助學(xué)生把本課所得經(jīng)驗(yàn)遷移到別的事物上，又和課前談話呼應(yīng)，最后還留給學(xué)生繼續(xù)思考的空間。）

【課后反思】

（一）通過合適的問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)時(shí)教師要通過合適的問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。問題情境的設(shè)計(jì)除了要有趣味性和挑戰(zhàn)性，還要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，要能激發(fā)學(xué)生的思考。思考的起點(diǎn)要低，開放程度要大，人人都能參與。只有這樣，學(xué)生才能積累完整的立體化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

試教時(shí)，筆者把問題情境設(shè)置成“通知7名學(xué)生最少需要幾分鐘”。7是一個(gè)質(zhì)數(shù)，可以分成2組，用時(shí)4分鐘；也可以用倍增法，1+2+4=7，用時(shí)3分鐘。本以為把學(xué)生解決問題的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)。但恰恰由于解決問題的策略少，缺少了策略之間的對(duì)比，使得學(xué)生對(duì)倍增法的優(yōu)勢(shì)感覺不強(qiáng)烈，甚至有的學(xué)生雖然用了倍增法，但只是被他碰巧這么做了，頭腦里沒有形成用倍增法解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以至于在解決“通知50名學(xué)生最少需要幾分鐘”的時(shí)候，反而不用倍增法了。

后來，筆者把問題情境改成了“通知15名學(xué)生最少需要幾分鐘”。學(xué)生想出更多的解決問題的策略，再通過不同策略之間的對(duì)比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，學(xué)生終于在充分展開的過程中，積累了良好的、可以運(yùn)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）通過多樣化的活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不像事實(shí)性知識(shí)那樣“看得見、摸得著”，而且表述是唯一的，不同的學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)的時(shí)機(jī)和質(zhì)量是不同的，不同的活動(dòng)適合不同的學(xué)生，在前一個(gè)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)不清晰、不完整，通過后一活動(dòng)可能就變得清晰和完整了。因此在教學(xué)過程中，教師要設(shè)計(jì)多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，力求每個(gè)學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體都能參與到活動(dòng)里，使每個(gè)學(xué)生都能積累豐富的、完整的、立體化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。以本課為例，所涉及的數(shù)學(xué)活動(dòng)有獨(dú)立思考、對(duì)比分析、情景模擬、畫圖、觀察、填表格等。有的學(xué)生獨(dú)立思考能力不強(qiáng)，或許他在情景模擬時(shí)，突然頓悟；有的學(xué)生抽象能力不強(qiáng)，無法列出算式，或許他在填表格時(shí)，豁然開朗。并且這些活動(dòng)也是有層次性的，就算是能力比較強(qiáng)的學(xué)生，也能在每個(gè)活動(dòng)中積累不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

并且，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)是有差異的，即使外部條件相同，每一個(gè)學(xué)生仍然可能具有不同的理解，獲得不同的經(jīng)驗(yàn)。因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該尊重每個(gè)學(xué)生有不同的想法。以本課為例，在獨(dú)立思考時(shí)筆者允許學(xué)生通過計(jì)算、文字、圖示等不同形式表達(dá)自己的想法，在抽象成算式時(shí)允許學(xué)生用加法算式或者乘法算式，允許他們用綜合算式或者分步算式，也允許學(xué)生不形成算式一直用圖示法或者數(shù)列解決問題。

總之，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不是一句口號(hào)，更是學(xué)生獲得智慧的途徑。智慧不體現(xiàn)在問題的答案里，而是體現(xiàn)在解決問題的過程中。關(guān)注過程，關(guān)注每個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓每個(gè)學(xué)生都獲得智慧。

（浙江省桐鄉(xiāng)市濮院小學(xué) 314500）endprint

（五）運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，二次挑戰(zhàn)

1.題目：如果用上述方法，7分鐘最多能通知多少人？通知100人最少需要幾分鐘？

預(yù)設(shè)：圖示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出現(xiàn)了幾個(gè)加數(shù)，乘法中出現(xiàn)了多少個(gè)2，為什么都是7個(gè)？7代表什么意思？

為什么128還要減1？通知100人最少需要7分鐘，還是6分鐘？

（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用剛發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題。同時(shí)再一次經(jīng)歷從圖示到算式的過程，畢竟在100人的前提下，圖示不再那么好畫了，算式的優(yōu)勢(shì)以及必要性突顯出來了，什么時(shí)候放棄圖示轉(zhuǎn)用算式，就看學(xué)生的個(gè)體差異了。）

（六）總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，解決問題

1.學(xué)了這節(jié)課的內(nèi)容，你知道怎樣打電話最省時(shí)間了嗎？

預(yù)設(shè)：根據(jù)學(xué)生的回答填表。

生活中還有類似打電話的事嗎？

第幾分鐘 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的總?cè)藬?shù)（含老師） 2 4 8 16 32 64 128

預(yù)設(shè)：折紙、折繩子。

通知1000名學(xué)生最少需要多少時(shí)間，留到課外思考。

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)形成表格，用純數(shù)字的方式再次總結(jié)規(guī)律，并讓學(xué)生感受對(duì)應(yīng)思想。同時(shí)幫助學(xué)生把本課所得經(jīng)驗(yàn)遷移到別的事物上，又和課前談話呼應(yīng)，最后還留給學(xué)生繼續(xù)思考的空間。）

【課后反思】

（一）通過合適的問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)時(shí)教師要通過合適的問題情境，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。問題情境的設(shè)計(jì)除了要有趣味性和挑戰(zhàn)性，還要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，要能激發(fā)學(xué)生的思考。思考的起點(diǎn)要低，開放程度要大，人人都能參與。只有這樣，學(xué)生才能積累完整的立體化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

試教時(shí)，筆者把問題情境設(shè)置成“通知7名學(xué)生最少需要幾分鐘”。7是一個(gè)質(zhì)數(shù)，可以分成2組，用時(shí)4分鐘；也可以用倍增法，1+2+4=7，用時(shí)3分鐘。本以為把學(xué)生解決問題的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)。但恰恰由于解決問題的策略少，缺少了策略之間的對(duì)比，使得學(xué)生對(duì)倍增法的優(yōu)勢(shì)感覺不強(qiáng)烈，甚至有的學(xué)生雖然用了倍增法，但只是被他碰巧這么做了，頭腦里沒有形成用倍增法解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以至于在解決“通知50名學(xué)生最少需要幾分鐘”的時(shí)候，反而不用倍增法了。

后來，筆者把問題情境改成了“通知15名學(xué)生最少需要幾分鐘”。學(xué)生想出更多的解決問題的策略，再通過不同策略之間的對(duì)比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，學(xué)生終于在充分展開的過程中，積累了良好的、可以運(yùn)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）通過多樣化的活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不像事實(shí)性知識(shí)那樣“看得見、摸得著”，而且表述是唯一的，不同的學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)的時(shí)機(jī)和質(zhì)量是不同的，不同的活動(dòng)適合不同的學(xué)生，在前一個(gè)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)不清晰、不完整，通過后一活動(dòng)可能就變得清晰和完整了。因此在教學(xué)過程中，教師要設(shè)計(jì)多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，力求每個(gè)學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體都能參與到活動(dòng)里，使每個(gè)學(xué)生都能積累豐富的、完整的、立體化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。以本課為例，所涉及的數(shù)學(xué)活動(dòng)有獨(dú)立思考、對(duì)比分析、情景模擬、畫圖、觀察、填表格等。有的學(xué)生獨(dú)立思考能力不強(qiáng)，或許他在情景模擬時(shí)，突然頓悟；有的學(xué)生抽象能力不強(qiáng)，無法列出算式，或許他在填表格時(shí)，豁然開朗。并且這些活動(dòng)也是有層次性的，就算是能力比較強(qiáng)的學(xué)生，也能在每個(gè)活動(dòng)中積累不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

并且，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)是有差異的，即使外部條件相同，每一個(gè)學(xué)生仍然可能具有不同的理解，獲得不同的經(jīng)驗(yàn)。因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該尊重每個(gè)學(xué)生有不同的想法。以本課為例，在獨(dú)立思考時(shí)筆者允許學(xué)生通過計(jì)算、文字、圖示等不同形式表達(dá)自己的想法，在抽象成算式時(shí)允許學(xué)生用加法算式或者乘法算式，允許他們用綜合算式或者分步算式，也允許學(xué)生不形成算式一直用圖示法或者數(shù)列解決問題。

總之，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不是一句口號(hào)，更是學(xué)生獲得智慧的途徑。智慧不體現(xiàn)在問題的答案里，而是體現(xiàn)在解決問題的過程中。關(guān)注過程，關(guān)注每個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，讓每個(gè)學(xué)生都獲得智慧。

（浙江省桐鄉(xiāng)市濮院小學(xué) 314500）endprint