解題走向積累經驗

楊忠良+何月豐

【課前思考】

數學基本活動經驗其實由來已久，《義務教育數學課程標準（實驗稿）》中就有這樣的一句話：獲得適應社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。但是，當時雖然“數學活動經驗”一詞已寫入課標，卻只是作為“重要數學知識”的一部分。在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，數學基本活動經驗與基礎知識、基本技能、基本思想一起被稱為“四基”，四者居于同等地位，可見，數學基本活動經驗的重要性得到了凸顯。

在這樣的背景下，關于數學基本活動經驗的討論自然成了一個熱點話題，什么是數學基本活動經驗、怎樣積累數學基本活動經驗等等。眾說紛紜中，較為統一的理解是：為學生提供足夠的時間和空間，使之經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，進而獲得或積累一定的解決問題的策略和方法。由此展開的研究也已經取得了一定的成果。不過，這些研究基本是基于新知教學層面的，對“在練習課中如何幫助學生積累數學基本活動經驗”的研究相對來說就比較滯后。

正是基于上述理解，近段時間筆者開始關注數學練習課中的“基本活動經驗”問題。下面就以“折紙中的數學問題”一課為例來談在實踐中的點滴思考。

在人教版教材五年級下冊第142頁中，有這樣一道習題：

不僅僅是人教版教材，在其他版本的教材中，也有這樣的內容。例如浙教版教材五年級下冊第110頁的一道習題：

據了解，人教版教材上的這道習題，一般教學流程就是“解題”，即讀題計算—交流反饋—得到答案。也有教師略有改變，即以浙教版教材的形式進行教學，借助幾個數據引導學生進行對比，得到“容積最大”這個知識。種種教法，學生雖然都經歷了一定的體驗過程，但都以“獲得知識”為最終目標，基本活動經驗的積累明顯不足。為此，筆者對這一習題的教學進行了重新設計，在豐富過程的同時，更期望實現數學練習課教學由“純粹解題”走向“經驗積累”。

【課堂實踐】

課前布置學生在一張邊長為20厘米的正方形紙的4個角上各剪去一個邊長是整厘米數的小正方形（如下圖）。課上讓學生折一折，得到無蓋長方體形狀的紙盒。

師：這個紙盒有什么奧秘呢？同學們，今天我們就來研究折紙中的數學問題。

（一）探索表面積的特點

1.思考表面積最大的情況

課件出示第一個研究問題：當小正方形邊長為整厘米數時，怎么剪，折成的紙盒表面積最大？

學生獨立觀察思考后小組交流，然后反饋。

師：誰有結論了？來向大家介紹一下自己的想法。

生：當剪去的小正方形邊長為1厘米時，這個紙盒的表面積最大。因為剪去的越少，剩下的就越多。

生：我也認為當剪去的小正方形邊長為1厘米時，這個紙盒的表面積最大。因為我發現折成的無蓋紙盒的表面積，也就是5個面的面積和就等于原來的正方形面積減去剪掉的部分。所以要使紙盒的表面積最大，只要讓剪去的部分最小就可以了。

達成共識：剪掉的小正方形邊長是1厘米時，紙蓋的表面積最大。

2.計算表面積

圖1 圖2

師：想象一下這個紙盒（圖1）會是什么樣子的呢？你能不能描述一下？

生：會是扁扁的。

生：高很短，但是底面積較大。

課件演示，如圖2。

師：那么它的表面積到底是多少呢？你能不能把它算出來。

3.反饋算法并理解

反饋第一種算法：18×1×4+18×18=396（平方厘米）。

請學生解釋這樣算的道理，結合課件理解18和1代表什么？

反饋第二種算法：20×20-1×1×4=396（平方厘米）。

請學生解釋這樣算的道理，結合課件理解20和1代表什么？

師：用你喜歡的方法算算自己折出來的盒子的表面積，同桌比比看，誰的表面積大？

學生計算，反饋，板書剪掉的小正方形邊長是2厘米、3厘米、4厘米時的情況。

師：同學們，我不想寫了，你現在有什么想說的？

生：越來越小。

師：邊長剪到幾厘米時，折成的無蓋長方體表面積最小？（有人說10厘米，有人說9厘米）

師：到底是10厘米還是9厘米，誰來說理由？

生：我認為10是不行的。如果剪掉4個邊長為10厘米的正方形，那就把這張紙全部剪光了。

師：他說全部剪光了，請你想象一下，是這樣嗎？

課件支撐理解，如下圖。

小結：剪掉的小正方形是整厘米時，一共有9種不同剪法，小正方形邊長為1厘米時，表面積最大，小正方形邊長為9厘米時，表面積最小。

課件出示剪掉邊長9厘米時的情況，口算出面積是76平方厘米。

（二）探索容積的特點

1.容積猜想

課件出示第二個研究問題：剪掉的小正方形邊長是1厘米時，折成的紙盒容積是多少？

學生獨立計算后反饋，板書學生的算式：18×18×1=324（立方厘米）。

師：通過計算，我們已經知道，當剪去的小正方形的邊長為1厘米時，得到的紙盒的表面積最大。那么，現在它的容積是不是所有情況中最大的呢？（請學生仔細觀察一下，靜靜思考后反饋）

生：我認為是最大的，因為表面積最大，所以我想它的容積也是最大的。

師：好像有點道理，有沒有別的想法？

生：我覺得不應該是最大，因為這時候，紙盒的高只有1厘米，容積不可能是最大。我覺得應該是剪去的小正方形邊長為9厘米時，紙盒的高最大，容積最大。

師：聽起來好像也有道理啊。endprint

生：不對不對，我剛才口算了一下，這時候，紙盒的容積是2×2×9=36（立方厘米），簡直是太小了。

生：我知道原因了，因為紙盒的高雖然最大，但是這時候的長和寬是最小的，所以容積很小。

生：應該是中間的時候，長、寬、高最接近的時候，容積最大。

生：對的，當長、寬、高最接近時，也就是分別為6厘米、6厘米、7厘米時，容積最大。

生：不對了，這樣算出來容積只有252立方厘米，比第一種情況還小。（一陣唏噓之后，教室里是一片寂靜）

師：到底什么時候容積最大？我們有什么辦法能徹底解決呢？

全班學生齊聲應道：算算看！

師：那就隨你們了，算一算，找一找。

2.計算分析

學生計算，反饋交流。

生：當剪去的小正方形邊長為3厘米時，紙盒的容積最大，是14×14×3=588（立方厘米）。

板書容積最大時的長、寬、高及容積，并借機板書其他情況。得出結論：當剪掉的小正方形邊長是3厘米的時候，容積最大。

（三）小結學習經驗

師：你有沒有猜對？剛才我們都沒猜對，現在知道答案了嗎？有什么想要說的？

生：剛才我沒猜對。現在我發現同樣是這個紙盒，它的表面積和容積的變化是不一樣的。

生：我也沒猜對，現在我覺得對于一些數學問題我們不能輕易下結論，有時需要完整地進行計算才行。

生：憑感覺、想當然有時與實際相差很大，實踐才是檢驗真理的唯一標準。

……

師（小結）：對啊，這些都是學習中寶貴的經驗。

【課后反思】

整堂課，圍繞“怎樣剪，紙盒表面積最大”“什么時候容積最大”兩個問題展開探究，一方面這樣的探究進一步鞏固了學生對長方體特征的認識，鞏固了表面積、容積的計算；另一方面在探索表面積和容積的變化規律的過程中，積累了觀察、猜想、計算、分析等數學活動經驗。可以看出，學生的體驗是深刻的，學習過程中學生展現出了豐富多彩的、富有個性的認識，已有經驗與新問題的認知沖突明顯。回顧整個過程，筆者認為最大的改變還是在于練習課中學生從“單純解題”走向了“活動探究”，由此，也產生了三點實踐體會。

（一）設計任務驅動，讓學生樂于接受挑戰

只有創設真實的數學情境，設計富有挑戰性的問題，學生才會主動探究，積累經驗。練習課亦是如此。因此在本堂課中創設了折紙這樣一個學生比較感興趣的數學情境，并設計了兩大任務驅動：怎么剪，折成的紙盒表面積最大？怎么剪，折成的紙盒容積最大？本堂課就圍繞這兩個問題展開學習。

在第一個問題驅動下，學生完成了對無蓋長方體紙盒的特征、它的表面積與正方形紙面積之間的關系以及表面積變化的規律的探究。對于第二個問題學生更是表現出了極大的熱情，依據已有經驗進行了個性化的思考、觀察、猜測、計算、分析，得出結論。認知沖突、思維碰撞隨處可見，整個過程充滿著頭腦風暴。正所謂不破不立，新的活動經驗就這樣在打破已有經驗的基礎上形成了。

（二）給予時間空間，讓學生充分展開思辨

給學生提供足夠的時間和空間，尊重學生的個性特點，使學生有時間去思考，有空間去交流，在自我探索和互動中完成知識的重新建構，積累學習的經驗。比如在探索容積變化特點的這一環節中，教師首先拋出了一個問題：在9種剪法中，第一種剪法，表面積是最大的，那你猜猜看，它的容積是不是最大？為什么？

然后引導學生仔細地觀察、靜靜地思考。其間，教師一直在邊上耐心等待。在交流的時候，又給予了足夠的時間，讓學生展開互動。有學生認為這種情況是最大的，因為表面積最大，所以它的容積也是最大的。此時教師并沒有去作裁判，只是淡淡地說了一句：好像有點道理哦，有沒有別的想法？引導學生進一步思考與交流。于是有學生就提出：我覺得不應該是最大，因為這時候，紙盒的高只有1厘米，容積不可能是最大。我覺得應該是剪去的小正方形邊長為9厘米時，紙盒的高最大，容積最大。這時又有學生發現問題了：不對不對，我剛才口算了一下，這時候紙盒的容積是2×2×9=36立方厘米。簡直是太小了。也不對！那到底什么時候容積最大？帶著這樣的困惑隨即引發了新一輪思考。有學生說：我知道原因了，因為紙盒的高雖然最大，但是這時候的長和寬是最小的，所以容積很小。又有學生提出來長、寬、高最接近時，也就是分別為6厘米、6厘米、7厘米時，容積最大。但是這個觀點提出不到5秒鐘，又被否定了：這樣算出來容積只有252立方厘米，比第一種情況還小。……到底怎么辦才能找到正確的答案？異口同聲：算！在這一過程中，每一個學生都進行了個性化的思考、判斷，在思維碰撞中不斷地去重新猜測、驗證，最后統一認識：還需通過計算才能找到答案。整個過程中，學生的思維暴露無遺，體驗相當深刻，經驗得到了積累。

（三）適時總結回顧，讓學生從反思中提升經驗

回顧與反思猶如繪畫中的點睛之筆。在回顧與反思中，原有的體驗會得以強化，原本的一些模糊的認識也會隨之清晰而明朗。比如在上述教學實踐的最后一個環節中，通過總結與回顧，有學生就意識到原本猜想長、寬、高接近時，容積最大，那是因為以前研究過當棱長總和一定時，有這樣一個規律。現在這個前提變了，所以這個規律也就不成立了。通過反思，不僅鞏固了今天的發現，還對以往研究的規律有了進一步的認識，深刻地體會到了隨著事物的變化會出現一些新的特點和規律。也有學生說道：憑感覺、想當然有時與實際相差很大，實踐才是檢驗真理的唯一標準。可以看出他已經意識到了在學習過程中需要打破憑感覺、想當然的思維方式，要建立起實踐驗證的學習策略。

由此看來，適時地進行總結與回顧，引導學生對學習過程進行反思，可以更好地形成學習的方法與策略，讓學習經驗得到升華。

（浙江省海鹽縣實驗小學教育集團 314300）endprint

生：不對不對，我剛才口算了一下，這時候，紙盒的容積是2×2×9=36（立方厘米），簡直是太小了。

生：我知道原因了，因為紙盒的高雖然最大，但是這時候的長和寬是最小的，所以容積很小。

生：應該是中間的時候，長、寬、高最接近的時候，容積最大。

生：對的，當長、寬、高最接近時，也就是分別為6厘米、6厘米、7厘米時，容積最大。

生：不對了，這樣算出來容積只有252立方厘米，比第一種情況還小。（一陣唏噓之后，教室里是一片寂靜）

師：到底什么時候容積最大？我們有什么辦法能徹底解決呢？

全班學生齊聲應道：算算看！

師：那就隨你們了，算一算，找一找。

2.計算分析

學生計算，反饋交流。

生：當剪去的小正方形邊長為3厘米時，紙盒的容積最大，是14×14×3=588（立方厘米）。

板書容積最大時的長、寬、高及容積，并借機板書其他情況。得出結論：當剪掉的小正方形邊長是3厘米的時候，容積最大。

（三）小結學習經驗

師：你有沒有猜對？剛才我們都沒猜對，現在知道答案了嗎？有什么想要說的？

生：剛才我沒猜對。現在我發現同樣是這個紙盒，它的表面積和容積的變化是不一樣的。

生：我也沒猜對，現在我覺得對于一些數學問題我們不能輕易下結論，有時需要完整地進行計算才行。

生：憑感覺、想當然有時與實際相差很大，實踐才是檢驗真理的唯一標準。

……

師（小結）：對啊，這些都是學習中寶貴的經驗。

【課后反思】

整堂課，圍繞“怎樣剪，紙盒表面積最大”“什么時候容積最大”兩個問題展開探究，一方面這樣的探究進一步鞏固了學生對長方體特征的認識，鞏固了表面積、容積的計算；另一方面在探索表面積和容積的變化規律的過程中，積累了觀察、猜想、計算、分析等數學活動經驗。可以看出，學生的體驗是深刻的，學習過程中學生展現出了豐富多彩的、富有個性的認識，已有經驗與新問題的認知沖突明顯。回顧整個過程，筆者認為最大的改變還是在于練習課中學生從“單純解題”走向了“活動探究”，由此，也產生了三點實踐體會。

（一）設計任務驅動，讓學生樂于接受挑戰

只有創設真實的數學情境，設計富有挑戰性的問題，學生才會主動探究，積累經驗。練習課亦是如此。因此在本堂課中創設了折紙這樣一個學生比較感興趣的數學情境，并設計了兩大任務驅動：怎么剪，折成的紙盒表面積最大？怎么剪，折成的紙盒容積最大？本堂課就圍繞這兩個問題展開學習。

在第一個問題驅動下，學生完成了對無蓋長方體紙盒的特征、它的表面積與正方形紙面積之間的關系以及表面積變化的規律的探究。對于第二個問題學生更是表現出了極大的熱情，依據已有經驗進行了個性化的思考、觀察、猜測、計算、分析，得出結論。認知沖突、思維碰撞隨處可見，整個過程充滿著頭腦風暴。正所謂不破不立，新的活動經驗就這樣在打破已有經驗的基礎上形成了。

（二）給予時間空間，讓學生充分展開思辨

給學生提供足夠的時間和空間，尊重學生的個性特點，使學生有時間去思考，有空間去交流，在自我探索和互動中完成知識的重新建構，積累學習的經驗。比如在探索容積變化特點的這一環節中，教師首先拋出了一個問題：在9種剪法中，第一種剪法，表面積是最大的，那你猜猜看，它的容積是不是最大？為什么？

然后引導學生仔細地觀察、靜靜地思考。其間，教師一直在邊上耐心等待。在交流的時候，又給予了足夠的時間，讓學生展開互動。有學生認為這種情況是最大的，因為表面積最大，所以它的容積也是最大的。此時教師并沒有去作裁判，只是淡淡地說了一句：好像有點道理哦，有沒有別的想法？引導學生進一步思考與交流。于是有學生就提出：我覺得不應該是最大，因為這時候，紙盒的高只有1厘米，容積不可能是最大。我覺得應該是剪去的小正方形邊長為9厘米時，紙盒的高最大，容積最大。這時又有學生發現問題了：不對不對，我剛才口算了一下，這時候紙盒的容積是2×2×9=36立方厘米。簡直是太小了。也不對！那到底什么時候容積最大？帶著這樣的困惑隨即引發了新一輪思考。有學生說：我知道原因了，因為紙盒的高雖然最大，但是這時候的長和寬是最小的，所以容積很小。又有學生提出來長、寬、高最接近時，也就是分別為6厘米、6厘米、7厘米時，容積最大。但是這個觀點提出不到5秒鐘，又被否定了：這樣算出來容積只有252立方厘米，比第一種情況還小。……到底怎么辦才能找到正確的答案？異口同聲：算！在這一過程中，每一個學生都進行了個性化的思考、判斷，在思維碰撞中不斷地去重新猜測、驗證，最后統一認識：還需通過計算才能找到答案。整個過程中，學生的思維暴露無遺，體驗相當深刻，經驗得到了積累。

（三）適時總結回顧，讓學生從反思中提升經驗

回顧與反思猶如繪畫中的點睛之筆。在回顧與反思中，原有的體驗會得以強化，原本的一些模糊的認識也會隨之清晰而明朗。比如在上述教學實踐的最后一個環節中，通過總結與回顧，有學生就意識到原本猜想長、寬、高接近時，容積最大，那是因為以前研究過當棱長總和一定時，有這樣一個規律。現在這個前提變了，所以這個規律也就不成立了。通過反思，不僅鞏固了今天的發現，還對以往研究的規律有了進一步的認識，深刻地體會到了隨著事物的變化會出現一些新的特點和規律。也有學生說道：憑感覺、想當然有時與實際相差很大，實踐才是檢驗真理的唯一標準。可以看出他已經意識到了在學習過程中需要打破憑感覺、想當然的思維方式，要建立起實踐驗證的學習策略。

由此看來，適時地進行總結與回顧，引導學生對學習過程進行反思，可以更好地形成學習的方法與策略，讓學習經驗得到升華。

（浙江省海鹽縣實驗小學教育集團 314300）endprint

生：不對不對，我剛才口算了一下，這時候，紙盒的容積是2×2×9=36（立方厘米），簡直是太小了。

生：我知道原因了，因為紙盒的高雖然最大，但是這時候的長和寬是最小的，所以容積很小。

生：應該是中間的時候，長、寬、高最接近的時候，容積最大。

生：對的，當長、寬、高最接近時，也就是分別為6厘米、6厘米、7厘米時，容積最大。

生：不對了，這樣算出來容積只有252立方厘米，比第一種情況還小。（一陣唏噓之后，教室里是一片寂靜）

師：到底什么時候容積最大？我們有什么辦法能徹底解決呢？

全班學生齊聲應道：算算看！

師：那就隨你們了，算一算，找一找。

2.計算分析

學生計算，反饋交流。

生：當剪去的小正方形邊長為3厘米時，紙盒的容積最大，是14×14×3=588（立方厘米）。

板書容積最大時的長、寬、高及容積，并借機板書其他情況。得出結論：當剪掉的小正方形邊長是3厘米的時候，容積最大。

（三）小結學習經驗

師：你有沒有猜對？剛才我們都沒猜對，現在知道答案了嗎？有什么想要說的？

生：剛才我沒猜對。現在我發現同樣是這個紙盒，它的表面積和容積的變化是不一樣的。

生：我也沒猜對，現在我覺得對于一些數學問題我們不能輕易下結論，有時需要完整地進行計算才行。

生：憑感覺、想當然有時與實際相差很大，實踐才是檢驗真理的唯一標準。

……

師（小結）：對啊，這些都是學習中寶貴的經驗。

【課后反思】

整堂課，圍繞“怎樣剪，紙盒表面積最大”“什么時候容積最大”兩個問題展開探究，一方面這樣的探究進一步鞏固了學生對長方體特征的認識，鞏固了表面積、容積的計算；另一方面在探索表面積和容積的變化規律的過程中，積累了觀察、猜想、計算、分析等數學活動經驗。可以看出，學生的體驗是深刻的，學習過程中學生展現出了豐富多彩的、富有個性的認識，已有經驗與新問題的認知沖突明顯。回顧整個過程，筆者認為最大的改變還是在于練習課中學生從“單純解題”走向了“活動探究”，由此，也產生了三點實踐體會。

（一）設計任務驅動，讓學生樂于接受挑戰

只有創設真實的數學情境，設計富有挑戰性的問題，學生才會主動探究，積累經驗。練習課亦是如此。因此在本堂課中創設了折紙這樣一個學生比較感興趣的數學情境，并設計了兩大任務驅動：怎么剪，折成的紙盒表面積最大？怎么剪，折成的紙盒容積最大？本堂課就圍繞這兩個問題展開學習。

在第一個問題驅動下，學生完成了對無蓋長方體紙盒的特征、它的表面積與正方形紙面積之間的關系以及表面積變化的規律的探究。對于第二個問題學生更是表現出了極大的熱情，依據已有經驗進行了個性化的思考、觀察、猜測、計算、分析，得出結論。認知沖突、思維碰撞隨處可見，整個過程充滿著頭腦風暴。正所謂不破不立，新的活動經驗就這樣在打破已有經驗的基礎上形成了。

（二）給予時間空間，讓學生充分展開思辨

給學生提供足夠的時間和空間，尊重學生的個性特點，使學生有時間去思考，有空間去交流，在自我探索和互動中完成知識的重新建構，積累學習的經驗。比如在探索容積變化特點的這一環節中，教師首先拋出了一個問題：在9種剪法中，第一種剪法，表面積是最大的，那你猜猜看，它的容積是不是最大？為什么？

然后引導學生仔細地觀察、靜靜地思考。其間，教師一直在邊上耐心等待。在交流的時候，又給予了足夠的時間，讓學生展開互動。有學生認為這種情況是最大的，因為表面積最大，所以它的容積也是最大的。此時教師并沒有去作裁判，只是淡淡地說了一句：好像有點道理哦，有沒有別的想法？引導學生進一步思考與交流。于是有學生就提出：我覺得不應該是最大，因為這時候，紙盒的高只有1厘米，容積不可能是最大。我覺得應該是剪去的小正方形邊長為9厘米時，紙盒的高最大，容積最大。這時又有學生發現問題了：不對不對，我剛才口算了一下，這時候紙盒的容積是2×2×9=36立方厘米。簡直是太小了。也不對！那到底什么時候容積最大？帶著這樣的困惑隨即引發了新一輪思考。有學生說：我知道原因了，因為紙盒的高雖然最大，但是這時候的長和寬是最小的，所以容積很小。又有學生提出來長、寬、高最接近時，也就是分別為6厘米、6厘米、7厘米時，容積最大。但是這個觀點提出不到5秒鐘，又被否定了：這樣算出來容積只有252立方厘米，比第一種情況還小。……到底怎么辦才能找到正確的答案？異口同聲：算！在這一過程中，每一個學生都進行了個性化的思考、判斷，在思維碰撞中不斷地去重新猜測、驗證，最后統一認識：還需通過計算才能找到答案。整個過程中，學生的思維暴露無遺，體驗相當深刻，經驗得到了積累。

（三）適時總結回顧，讓學生從反思中提升經驗

回顧與反思猶如繪畫中的點睛之筆。在回顧與反思中，原有的體驗會得以強化，原本的一些模糊的認識也會隨之清晰而明朗。比如在上述教學實踐的最后一個環節中，通過總結與回顧，有學生就意識到原本猜想長、寬、高接近時，容積最大，那是因為以前研究過當棱長總和一定時，有這樣一個規律。現在這個前提變了，所以這個規律也就不成立了。通過反思，不僅鞏固了今天的發現，還對以往研究的規律有了進一步的認識，深刻地體會到了隨著事物的變化會出現一些新的特點和規律。也有學生說道：憑感覺、想當然有時與實際相差很大，實踐才是檢驗真理的唯一標準。可以看出他已經意識到了在學習過程中需要打破憑感覺、想當然的思維方式，要建立起實踐驗證的學習策略。

由此看來，適時地進行總結與回顧，引導學生對學習過程進行反思，可以更好地形成學習的方法與策略，讓學習經驗得到升華。

（浙江省海鹽縣實驗小學教育集團 314300）endprint