“變教為學”說備課

把以教師“教”的活動為主的課堂教學，改變為以學生“學”的活動為主的課堂教學，首先需要改變的是教師備課的思維方式。所謂“備課”不等同于“寫教案”，備課的過程更多的是學習和思考的過程，包括教師個體具有創造性的思考。這樣的思考應當聚焦于學生“學什么”以及學生可以“怎樣學”這樣兩個基本問題上。[1]

一、思考“本質屬性”

對“學什么”這一問題的思考，實際上就是對學生“學習目標（Objective）”的確定過程。如果把學生視為學習的主體，那么這樣的學習目標相對于學生來說就具有客觀性，是課程編制者或者教師對學生應當“學什么”的期望（Expectation）。對“怎樣學”的思考，首先是將學習目標轉變為學生應當執行并完成的學習任務（Task），之后是思考學生為完成任務所需要經歷的學習活動（Activity）。對“學什么”和“怎樣學”這兩個問題的思考并不是截然分開的，二者的思考應當是融合在一起，并且都要基于對所學知識點及其認識過程本質屬性的認識。

比如“平行四邊形的面積”，[2]這一知識點反映的是一個平行四邊形面積的大小與這個平行四邊形內部元素（底邊長度和高的長度）之間相互依賴與制約的關系，其本質屬性是對客觀規律的描述，此類知識的特點相對于學習者來說具有“確定性”，不依人的意志為轉移。認識這種知識的基本方法是“發現（Discover）”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發現共性，這樣的共性就成為了具有一定普遍意義的規律。

數學課程中另外一類知識其本質屬性是人的“發明（Invention）”，這一類知識通常是依賴于人的主觀“需求（Need）”而出現的。以分數為例，這種“需求”至少表現在三個方面。從語言的視角看，當表達數量關系的時候，同一種數量關系通常會有兩種說法，這兩種說法往往是“雙向同義”的。如果說“甲的收入比乙的收入多100元”，就會有反過來并且意義相同的說法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果說“甲的收入是乙的3倍”，需要反過來并且要求意義相同的說法，那么沒有分數，這樣的說法就難以實現。有了分數，就可以說“乙的收入是甲收入的三分之一”，從而實現了“雙向同義”的語言描述。

歷史上人們對分數的“需求”還表現在“量（Magnitude）”的測量方面。在沒有度量單位的時候，人們對量與量之間的比較通常都是“用小量大”，當出現“量不盡”的情況時，就“用余量小”，如此反復，量盡為止。比如圖1兩條線段分別表示量A和量B，其中A是較大的量。

量A：— — — — — —

量B：———

圖1 量的比較示意圖

如果需要了解并且表達兩個量之間關系的時候，人們首先就會用較小的量B去與較大的量A重疊測量，目的是為了知道幾次量盡，從而就可以知道量A中包含了幾個量B。但是測量過程中經常出現量不盡的情況，也就是有剩余的情況出現。（見圖2）

量A：

量B：

圖2 “量不盡”示意圖

圖2中用量B測量量A重疊2次后，出現了小于量B的剩余量C，這時候人們通常會用剩余的量C反過來去與量B重疊測量，如果仍然量不盡，就繼續重復這一“用余量小”的過程。圖2用C量B的結果恰好三次量盡。這時候就需要用數來描述量A與量B之間的關系，此時僅有整數就不夠了，有了分數就可以說“A是B的2（或者）”，也可以說“B是A的”。用“比”的語言說就是A與B的比是7∶3，或者B與A的比是3∶7。

數學家對分數的“需求”還表現為對除法運算“封閉”的愿望。在整數范圍內，兩個整數相除，可能得不到整數的結果，這種情況就叫作“整數集合對除法運算不封閉”，也就是整數集合內兩個元素的運算結果跑到了整數集合的外面了。因此需要擴大整數集合的范圍，把分數合并到整數集合中來，由此形成了數學中的有理數集合，在這個集合中除法運算就能保證封閉了，即任何兩個有理數相除的結果一定還是有理數。

“發現”的知識與“發明”的知識屬性不同，當然學習的方式也就有了差異。發現的過程核心環節是“觀察與比較”，發明的過程重在“需求與創造”。針對不同屬性的知識，備課中就要思考如何為學生設計學習任務和學習活動。

二、如何設計“發現”的過程

對客觀規律的認識至少應當包括兩個方面。首先應當是定性的認識，比如對于“平行四邊形面積”來說，應當認識無論什么樣的平行四邊形，其面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；在定性認識的基礎上，就可以有定量的認識，即面積的大小等于底邊與高的乘積。針對定性的認識，需要觀察并且比較不同的平行四邊形，在不同中發現共性，也就是所有平行四邊形面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；而對于定量的認識，也就是平行四邊形的面積等于底邊與高的乘積，需要觀察平行四邊形與面積相等的長方形之間的關系而得到。如果把長方形視為特殊的平行四邊形，那么就可以將定性的認識與定量的認識合為一體，把學習目標確定為“發現平行四邊形面積的大小與底邊和高的關系”。

既然這一學習目標的實現依賴于觀察與比較，那么教師在備課中需要思考的就是如何設計能夠溝通學習目標及觀察與比較活動之間聯系的學習任務。這種任務的設計是否有效，取決于兩個前提，第一是觀察者為什么需要觀察，也就是要為學生提供觀察的理由，這種理由可以使得學生具有觀察的動機；第二是觀察什么，也即需要為學生提供觀察對象以及思考方向。學習任務的敘述可以是以問題的形式出現的，不妨稱之為“問題型”任務。比如針對學習目標“發現平行四邊形面積的大小與底邊及高的關系”，可以設計如下的問題型任務：“下面是三組平行四邊形，每一組中兩個平行四邊形面積是否相等？你是怎么得到結論的？”

圖3 平行四邊形面積比較圖

第一組中兩個平行四邊形的底邊長度不相等，但是高的長度相等；第二組中兩個平行四邊形的底邊長度相等，但是高的長度不相等；第三組中兩個平行四邊形的底邊長度相等，同時高的長度也相等。為了回答這樣兩個問題，學生可能的學習活動有用眼睛“看”，看不出來還可以用尺子“量”，當然也可以用剪刀把兩個平行四邊形“剪”下來重疊在一起“看”。所有的活動都是針對“是否相等”以及“為什么”這樣兩個問題，因此活動就不是盲目的，而是有目的的，活動的目的性使得學生具有了參與活動的動機。同時，教師為學生提供的三組圖形相當于為學生的觀察提供了對象。通過活動最終期望學生發現平行四邊形面積的大小與底邊以及高有關。endprint

學習任務的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學生做什么。比如在前面任務已經完成的基礎上，為了能夠發現平行四邊形面積公式，可以給學生布置如下任務：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法。”學生依據前面觀察的經驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯系。在以上學習活動的基礎上，最后可以通過布置指令性任務：“請自己總結出計算平行四邊形的面積公式，將你的結論寫出來。”通過以上三項任務，學生經歷一系列以觀察與比較為核心的學習活動，就應當可以達成“發現平行四邊形面積的大小與底邊和高的關系”這一學習目標。

三、“發明”的過程需要經歷

對于“發明”的知識，認識的核心環節是感受需求，并且經歷自主發明的過程。以分數為例，分數的學習包括分數概念的形成與語言表述、分數之間的相等與不等關系、分數的運算以及分數與除法和比的關系等內容，這些內容需要一個螺旋上升的學習過程。如果把分數的本質屬性定位于語言，那么其學習過程就應當遵循語言學習的規律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學習的。通過“聽說”可以感受到分數的存在以及分數概念的含義，通過“讀寫”讓學生經歷“發明”的過程，感受數學中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關系。學習分數之初，首先應當讓學生感受到對分數的“需求”，體現“讓知識因需要而產生”的教學原則。因此小學三年級“分數初步認識”的學習目標可以確定為如下三個：感受分數在語言中的存在及其必要性；經歷分數符號從“多樣”到“統一”的發明過程；了解分數的含義。

針對第一個學習目標，可以設計如下的學習任務：“鐘表上表示的時間是‘7點半，思考其中的‘半是什么意思？與同伴交流自己的想法。”（見圖4）

圖4 鐘表示意圖

學生在執行并完成這一任務的過程中，自然要思考和交流分針轉動一圈與半圈的關系，或者時針轉動一格與半格之間的關系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現實存在，同時也能初步感受到分數用于描述局部與整體關系的含義。類似的任務還可以設計為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關系。

這樣的任務可以啟發學生在思考和交流的過程中，溝通描述數量關系的多種語言之間的聯系。比如關于“10元錢”與“2元錢”之間的關系，學生可能利用先前熟悉的描述加減關系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學生還可能利用二年級學習過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產生了。

通過“聽說”初步感受分數的含義后，就需要用符號來表示分數。符號作為一種數學的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發生與發展必然是從“多樣”走向“統一”的過程。如果把分數的符號表示方法直接告知學生，表面看省時省力，但失去的是學生經歷發明符號的思考過程。為了讓學生經歷這種“發明”的思考過程，針對第二個學習目標，可以設計這樣的學習任務：“你認為應當用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發明。”在北京小學萬年花城分校“變教為學教學改革實驗”的課堂中，發現學生依據這個任務開展活動后，的確出現了“多樣”的符號表達。（見圖5）

圖5 學生分數符號表達

在這些符號表達中，學生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發現許多學生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側或者上面。這實際上反映出平時習慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學生認識分數的符號是有影響的。分數“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學生書寫也是這樣的順序。

在學生“多樣”的發明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學習任務：“同一個二分之一出現了這么多不同的符號，行嗎？應當怎么辦呢？”補充這個任務的目的在于引發學生思考，分數符號作為一種數學語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統一，統一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個任務之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯系，深化對分數含義的理解，可以再為學生布置一個任務：“舉個例子說明的意思，在小組內交流不同的想法。”學生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務，在完成任務的過程中自然會加深對分數含義的理解。

如果時間允許，還可以設計數學與其他學科溝通聯系的學習任務。比如中國傳統文化中成語和詩詞的學習通常是語文課程中的內容，如果引入到數學課程的教學中，一方面可以溝通不同學科知識之間的聯系，同時也能夠激發學生學習數學的興趣，感受到數學學習的現實意義。在前面已經初步認識分數之后，可以利用成語“半斤八兩”設計如下的學習任務：“中國古代用‘斤和‘兩作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩的說法，請你用今天學習的知識描述這個成語的意思。”這個任務的思考討論實際上已經滲透了六年級將要學習的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側，在樓中能夠遠眺君山。“樓外十分風景好，一分山色九分湖”可以用分數的語言描述為，把樓外的風景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。

“變教為學”教學改革期望的是學生“自由、自主、自信”地開展學習活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質屬性，合理設置學習目標。在此基礎上，“把目標變成任務、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學生在課堂學習活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學生對于執行學習任務具有積極性和主動性，也就是所謂內在的動機（Motivation），讓學習活動成為學生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學生都能夠明白自己應當做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學習，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學生都有活動，每位學生都有機會”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“變教為學”從哪兒做起[J].教學月刊小學版（數學），2013（9）.

[2]郜舒竹. 類比思考，探索規律[J]. 教學月刊小學版（數學） ，2013（11）.

（首都師范大學初等教育學院 100048）endprint

學習任務的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學生做什么。比如在前面任務已經完成的基礎上，為了能夠發現平行四邊形面積公式，可以給學生布置如下任務：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法。”學生依據前面觀察的經驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯系。在以上學習活動的基礎上，最后可以通過布置指令性任務：“請自己總結出計算平行四邊形的面積公式，將你的結論寫出來。”通過以上三項任務，學生經歷一系列以觀察與比較為核心的學習活動，就應當可以達成“發現平行四邊形面積的大小與底邊和高的關系”這一學習目標。

三、“發明”的過程需要經歷

對于“發明”的知識，認識的核心環節是感受需求，并且經歷自主發明的過程。以分數為例，分數的學習包括分數概念的形成與語言表述、分數之間的相等與不等關系、分數的運算以及分數與除法和比的關系等內容，這些內容需要一個螺旋上升的學習過程。如果把分數的本質屬性定位于語言，那么其學習過程就應當遵循語言學習的規律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學習的。通過“聽說”可以感受到分數的存在以及分數概念的含義，通過“讀寫”讓學生經歷“發明”的過程，感受數學中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關系。學習分數之初，首先應當讓學生感受到對分數的“需求”，體現“讓知識因需要而產生”的教學原則。因此小學三年級“分數初步認識”的學習目標可以確定為如下三個：感受分數在語言中的存在及其必要性；經歷分數符號從“多樣”到“統一”的發明過程；了解分數的含義。

針對第一個學習目標，可以設計如下的學習任務：“鐘表上表示的時間是‘7點半，思考其中的‘半是什么意思？與同伴交流自己的想法。”（見圖4）

圖4 鐘表示意圖

學生在執行并完成這一任務的過程中，自然要思考和交流分針轉動一圈與半圈的關系，或者時針轉動一格與半格之間的關系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現實存在，同時也能初步感受到分數用于描述局部與整體關系的含義。類似的任務還可以設計為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關系。

這樣的任務可以啟發學生在思考和交流的過程中，溝通描述數量關系的多種語言之間的聯系。比如關于“10元錢”與“2元錢”之間的關系，學生可能利用先前熟悉的描述加減關系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學生還可能利用二年級學習過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產生了。

通過“聽說”初步感受分數的含義后，就需要用符號來表示分數。符號作為一種數學的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發生與發展必然是從“多樣”走向“統一”的過程。如果把分數的符號表示方法直接告知學生，表面看省時省力，但失去的是學生經歷發明符號的思考過程。為了讓學生經歷這種“發明”的思考過程，針對第二個學習目標，可以設計這樣的學習任務：“你認為應當用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發明。”在北京小學萬年花城分校“變教為學教學改革實驗”的課堂中，發現學生依據這個任務開展活動后，的確出現了“多樣”的符號表達。（見圖5）

圖5 學生分數符號表達

在這些符號表達中，學生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發現許多學生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側或者上面。這實際上反映出平時習慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學生認識分數的符號是有影響的。分數“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學生書寫也是這樣的順序。

在學生“多樣”的發明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學習任務：“同一個二分之一出現了這么多不同的符號，行嗎？應當怎么辦呢？”補充這個任務的目的在于引發學生思考，分數符號作為一種數學語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統一，統一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個任務之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯系，深化對分數含義的理解，可以再為學生布置一個任務：“舉個例子說明的意思，在小組內交流不同的想法。”學生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務，在完成任務的過程中自然會加深對分數含義的理解。

如果時間允許，還可以設計數學與其他學科溝通聯系的學習任務。比如中國傳統文化中成語和詩詞的學習通常是語文課程中的內容，如果引入到數學課程的教學中，一方面可以溝通不同學科知識之間的聯系，同時也能夠激發學生學習數學的興趣，感受到數學學習的現實意義。在前面已經初步認識分數之后，可以利用成語“半斤八兩”設計如下的學習任務：“中國古代用‘斤和‘兩作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩的說法，請你用今天學習的知識描述這個成語的意思。”這個任務的思考討論實際上已經滲透了六年級將要學習的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側，在樓中能夠遠眺君山。“樓外十分風景好，一分山色九分湖”可以用分數的語言描述為，把樓外的風景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。

“變教為學”教學改革期望的是學生“自由、自主、自信”地開展學習活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質屬性，合理設置學習目標。在此基礎上，“把目標變成任務、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學生在課堂學習活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學生對于執行學習任務具有積極性和主動性，也就是所謂內在的動機（Motivation），讓學習活動成為學生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學生都能夠明白自己應當做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學習，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學生都有活動，每位學生都有機會”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“變教為學”從哪兒做起[J].教學月刊小學版（數學），2013（9）.

[2]郜舒竹. 類比思考，探索規律[J]. 教學月刊小學版（數學） ，2013（11）.

（首都師范大學初等教育學院 100048）endprint

學習任務的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學生做什么。比如在前面任務已經完成的基礎上，為了能夠發現平行四邊形面積公式，可以給學生布置如下任務：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法。”學生依據前面觀察的經驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯系。在以上學習活動的基礎上，最后可以通過布置指令性任務：“請自己總結出計算平行四邊形的面積公式，將你的結論寫出來。”通過以上三項任務，學生經歷一系列以觀察與比較為核心的學習活動，就應當可以達成“發現平行四邊形面積的大小與底邊和高的關系”這一學習目標。

三、“發明”的過程需要經歷

對于“發明”的知識，認識的核心環節是感受需求，并且經歷自主發明的過程。以分數為例，分數的學習包括分數概念的形成與語言表述、分數之間的相等與不等關系、分數的運算以及分數與除法和比的關系等內容，這些內容需要一個螺旋上升的學習過程。如果把分數的本質屬性定位于語言，那么其學習過程就應當遵循語言學習的規律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學習的。通過“聽說”可以感受到分數的存在以及分數概念的含義，通過“讀寫”讓學生經歷“發明”的過程，感受數學中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關系。學習分數之初，首先應當讓學生感受到對分數的“需求”，體現“讓知識因需要而產生”的教學原則。因此小學三年級“分數初步認識”的學習目標可以確定為如下三個：感受分數在語言中的存在及其必要性；經歷分數符號從“多樣”到“統一”的發明過程；了解分數的含義。

針對第一個學習目標，可以設計如下的學習任務：“鐘表上表示的時間是‘7點半，思考其中的‘半是什么意思？與同伴交流自己的想法。”（見圖4）

圖4 鐘表示意圖

學生在執行并完成這一任務的過程中，自然要思考和交流分針轉動一圈與半圈的關系，或者時針轉動一格與半格之間的關系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現實存在，同時也能初步感受到分數用于描述局部與整體關系的含義。類似的任務還可以設計為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關系。

這樣的任務可以啟發學生在思考和交流的過程中，溝通描述數量關系的多種語言之間的聯系。比如關于“10元錢”與“2元錢”之間的關系，學生可能利用先前熟悉的描述加減關系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學生還可能利用二年級學習過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產生了。

通過“聽說”初步感受分數的含義后，就需要用符號來表示分數。符號作為一種數學的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發生與發展必然是從“多樣”走向“統一”的過程。如果把分數的符號表示方法直接告知學生，表面看省時省力，但失去的是學生經歷發明符號的思考過程。為了讓學生經歷這種“發明”的思考過程，針對第二個學習目標，可以設計這樣的學習任務：“你認為應當用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發明。”在北京小學萬年花城分校“變教為學教學改革實驗”的課堂中，發現學生依據這個任務開展活動后，的確出現了“多樣”的符號表達。（見圖5）

圖5 學生分數符號表達

在這些符號表達中，學生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發現許多學生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側或者上面。這實際上反映出平時習慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學生認識分數的符號是有影響的。分數“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學生書寫也是這樣的順序。

在學生“多樣”的發明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學習任務：“同一個二分之一出現了這么多不同的符號，行嗎？應當怎么辦呢？”補充這個任務的目的在于引發學生思考，分數符號作為一種數學語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統一，統一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個任務之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯系，深化對分數含義的理解，可以再為學生布置一個任務：“舉個例子說明的意思，在小組內交流不同的想法。”學生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務，在完成任務的過程中自然會加深對分數含義的理解。

如果時間允許，還可以設計數學與其他學科溝通聯系的學習任務。比如中國傳統文化中成語和詩詞的學習通常是語文課程中的內容，如果引入到數學課程的教學中，一方面可以溝通不同學科知識之間的聯系，同時也能夠激發學生學習數學的興趣，感受到數學學習的現實意義。在前面已經初步認識分數之后，可以利用成語“半斤八兩”設計如下的學習任務：“中國古代用‘斤和‘兩作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩的說法，請你用今天學習的知識描述這個成語的意思。”這個任務的思考討論實際上已經滲透了六年級將要學習的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側，在樓中能夠遠眺君山。“樓外十分風景好，一分山色九分湖”可以用分數的語言描述為，把樓外的風景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。

“變教為學”教學改革期望的是學生“自由、自主、自信”地開展學習活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質屬性，合理設置學習目標。在此基礎上，“把目標變成任務、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學生在課堂學習活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學生對于執行學習任務具有積極性和主動性，也就是所謂內在的動機（Motivation），讓學習活動成為學生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學生都能夠明白自己應當做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學習，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學生都有活動，每位學生都有機會”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“變教為學”從哪兒做起[J].教學月刊小學版（數學），2013（9）.

[2]郜舒竹. 類比思考，探索規律[J]. 教學月刊小學版（數學） ，2013（11）.

（首都師范大學初等教育學院 100048）endprint