活動經歷：數學基本活動經驗形成的關鍵

費嶺峰

數學基本活動經驗是《數學課程標準》（2011年版）提出的課程總目標中的“四基”之一。筆者曾撰文談道：數學基本活動經驗的形成，在具體內容的學習中表現出不同的特點，并以“數的運算”學習為例，談了基本活動經驗在具體內容學習中的特定表現及形成關鍵。本文將就此問題，結合“平面圖形的面積計算”的學習作進一步探討。

一、數學基本活動經驗形成的特點

《數學課程標準》（2011年版）在課程總目標中提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”通過深入思考，筆者認為，“四基”目標有其各自的內涵，但相互之間又有著密切的聯系。

數學的基礎知識是指數學課程中所涉及的基本概念、基本性質、基本法則、基本公式等，基本技能則包括基本的運算、測量、繪圖等。數學的基本思想主要是指“數學抽象的思想、數學推理的思想和數學模型的思想。之所以把這些稱之為數學基本思想，是因為它們貫穿于數學的學習過程，是對數學本質理解的集中體現”。數學基本活動經驗則是指學習主體在經歷為理解數學基礎知識、習得數學基本技能以及獲取數學基本思想而設計的數學活動的過程中，所形成的具有較強個性特色的感受與體驗。

從“四基”的含義或特征來看，數學基礎知識、基本技能與基本思想是具體的、顯性的，學習過程中也有特定指向，特別是基礎知識和基本技能，是由具體的數學知識理解或掌握與否來體現的。而數學基本活動經驗的形成則不同，其形成過程中必定有承載著學習主體“經歷、體驗、探索”等行為發生的數學活動作支撐，且這個過程是一個長期的、不太顯性的、潛移默化的累積過程，更多表現在學習方法的選擇與思維過程的推進層面，并且伴隨在知識理解、技能習得、思想獲取的過程中發生。

二、“平面圖形的面積計算”學習中基本活動經驗的解構

根據以上分析，數學基本活動經驗的形成，與學習活動的目標有著直接的聯系。特定數學內容的學習，需借助相應的數學活動經驗；學習者特定數學活動經驗的豐富，有助于相關數學內容的學習。這就要求我們教師在設計具體的學習活動時，需關注有利于學習者相應活動經驗的積累，從而在引導學生學習相關知識的過程中，能更好地形成相應的數學基本活動經驗。

就“平面圖形的面積計算”的學習而言，我們知道，基礎知識主要是相關平面圖形的面積計算公式的理解與掌握，基本技能則是會用面積計算公式解決相應的問題，基本思想體現為“面積計算公式”探索時思維過程的發生與發展、公式提煉時的思考方法的選擇與應用。基于此，我們可以在“平面圖形的面積計算”的教學中，引導學生在經歷相關平面圖形的面積計算公式的理解活動、基本技能的習得過程、基本思想的獲取歷程的全過程中，結合具體的猜想驗證、動手操作、交流分享、原理思辨等活動，逐漸積累起個性化的感受與體驗。同時，根據“平面圖形的面積計算”學習的不同階段，可以將基本活動經驗的形成解構成三個層次：一是基于面積計算本質內涵理解活動的概念、理解經驗的形成，二是基于面積計算方法探索活動的模型建構經驗的形成，三是基于實際面積問題解決活動的技能應用經驗的形成。

三、基于“平面圖形的面積計算”學習的數學基本活動經驗形成過程分析

如前所述，數學基本活動經驗的形成，伴隨著相應的數學學習活動，如觀察活動、猜測驗證活動、推理與交流活動及抽象與概括活動等。這些活動由于指向目標的不同，在經驗形成過程中起著不同的作用。筆者現就“平面圖形的面積計算”學習中數學基本活動經驗的形成過程，結合實踐作具體分析。

1.經歷面積計算本質內涵理解的活動，積累概念理解經驗

面積就是物體表面或平面圖形的大小，度量面積的大小需要用到面積單位。測量某個平面圖形的面積，其實質是測量該平面圖形包含的面積單位的個數。因此，我們可以這樣認為，計算某個平面圖形的面積，其實質便是算出該圖形所包含的面積單位的個數。如計算一個長5厘米、寬3厘米的長方形的面積，便是計算出這個長方形中包含的平方厘米的個數。

當然，要理解長方形面積計算的本質內涵，積累起相應的概念理解經驗，并不是一蹴而就的。它可以通過三個層次的數學活動經歷逐步積累起相關的感受與體驗。

第一層次的活動：直觀判斷，感知長方形面積的特征及大小，即觀察某個特定的長方形，估測其面積的大小。

第二層次的活動：操作驗證，確認長方形面積的大小，即通過面積單位的度量，體會某個特定的長方形中含有面積單位的個數。

第三層次的活動：歸納提煉，深入理解長方形面積與其特定長方形的長和寬的關系，即通過對應理解，總結方法。

三個層次的活動，可以幫助學習者從目標、方法層面積累起平面圖形面積內涵理解的活動經驗，即知道計算平面圖形的面積，首先需要弄清面積計算的實質是什么；需要確認圖形面積的大小，知道可借助面積單位去度量；最后清晰把握，求解平面圖形的面積時，知道需要根據長度信息與面積計算之間的關系，提煉運算方法。

這便是學習者在長方形面積內涵理解活動中獲取的活動經驗。這樣的活動經驗顯然是其后續學習其他平面圖形面積計算方法，立體圖形的表面積計算方法，乃至立體圖形體積計算方法的基礎。因為我們知道，在求立體圖形的表面積時，其實質同樣是在計算立體圖形表面所包含的面積單位的個數；求立體圖形的體積，其實質則是在計算物體所包含的體積單位的個數。學生有了平面圖形的面積內涵理解經驗之后，對這些概念內涵的理解，便可以同樣采用直觀判斷、操作驗證、歸納提煉等數學活動來完成，而這也是學生數學基本活動經驗形成與發展的意義體現。

2.經歷面積計算方法探索活動，積累模型建構經驗

當有了對平面圖形面積計算的本質內涵理解之后，面積計算方法的探索提煉才有根基，探索面積計算方法的活動，也才有可能是圍繞本質的研究。筆者現以“平行四邊形的面積計算方法的探索”為例，來分析平面圖形的面積計算方法探索及其活動經驗形成的一般過程。

關于“平行四邊形的面積計算”這節內容，學生是在僅僅學習和掌握了長方形的面積計算方法（正方形是特殊的長方形）之后學習的，因此，對學生而言，探索平行四邊形的面積計算方法，建構面積計算模型，同樣需要經歷以下三個層次的活動。

層次一：尋找恰當的探究路徑。從學生的學習基礎來看，探索平行四邊形的面積計算方法的路徑之一，可如同長方形的面積計算方法探索那樣，從面積意義入手，通過擺面積單位去發現規律（事實上教材提供的擺方格紙的方法便是出于此目的），提煉模型，從而歸納出面積計算公式。這條路徑雖可行，但因為操作材料限制（數據非整數時，數方格的方法便缺少說服力）而缺乏普適性。第二條路徑，便是將平行四邊形通過割補轉化為長方形后，借助長方形的面積計算方法推導出平行四邊形的面積計算方法，此法因從兩者要素關系的分析入手，不受數據的影響，所以更具普適性。

層次二：分析要素間的聯系，找到合理的轉化方式。利用化歸法將平行四邊形轉化為長方形，通過“證實”與“證偽”，確認以“剪拼”的方式進行轉化是合理的方法后，找到原平行四邊形與轉化后的長方形的要素與面積間的聯系，通過長方形的面積計算公式推導出平行四邊形的面積計算公式。

層次三：在舉一反三基礎上的提煉與歸納。也就是結合舉例驗證，確認方法的合理性與公式的正確性，從而掌握平行四邊形的面積計算方法。

顯然，在以上三個層次的數學活動中，因為有圍繞化歸所設計的操作、驗證等活動的充分實施，切實體驗，其形成與積累的數學模型建構的活動經驗，自然成為了后續學習三角形面積、梯形面積以及圓的面積的重要經驗基礎，而這也同樣是數學基本活動經驗積累的重要價值。

3.經歷實際面積問題解決的活動，積累技能應用經驗

通過教學實踐，我們已經知道，學生應用面積計算公式解決實際問題的過程一般分為三個步驟：一是信息的分析與處理；二是與相關面積計算方法建立連接，并進行解答；三是對解決結果進行相應的驗證，以確保問題解決的正確性。但在涉及具體問題時，卻又會產生不同的經驗。筆者認為，學生在用面積計算公式解決實際問題時，技能應用的經驗積累反映在對不同性質問題的探究活動中。現從三個層面加以說明：

（1）與平面圖形面積計算相關的基本問題解決經驗的積累。這是圖形面積計算方法的直接運用階段。這樣的問題一般具有信息提供簡單、直接，問題指向明確等特點。如：用一個籬笆圍成一塊長5米、寬4米的長方形菜地，這塊菜地的面積是多少平方米？

解決此類問題時，學生只需將問題中的條件信息與相關圖形面積計算公式中的基本元素對應起來，直接列式即可解答。以上問題中，實際是求一個長方形的面積。于是，根據長方形的面積計算公式：長×寬=面積，直接列出算式5×4計算可得20平方米，其間所涉及的思維要求是最為基本的，也是最為直接的。

（2）與平面圖形面積計算相關的變式問題解決經驗的積累。所謂變式問題，是指該問題呈現的信息不能與相關圖形的面積計算公式中的元素直接建立聯系，需要通過一定的轉化還原才能找到連接點，從而解決問題。如同樣是計算籬笆圍成的長方形菜地面積的問題：用一個36米長的籬笆，圍一塊一面靠墻的長方形菜地，這塊菜地長和寬的比是4：1，這塊菜地的面積是多少平方米？

解決此類問題時，其所利用的經驗與前一問題有著很大的不同。其首先得思考：根據全長與長寬之比求得長和寬，且因信息中沒有告知哪邊靠墻，所以結果又有兩種不同的可能。如果是長邊靠墻，圍成的長方形菜地的長是36÷6×4=24（米），寬為36÷6×1=6（米），面積即為24×6=144（平方米）；如果是短邊靠墻，圍成的長方形菜地長是36÷9×4=16（米），寬為36÷9×1=4（米），面積即為16×4=64（平方米）。這樣的活動經驗，相對基本問題的解決，就顯得更為豐富，也更為綜合了。

（3）與平面圖形面積計算相關的綜合問題解決經驗的積累。此處所講的綜合問題，是指那些雖與平面圖形面積計算相關，但并不是以求得圖形面積為最終目標的問題。在求解過程中，需要學生有一定的甄別經驗。

如：用一塊長3米、寬2米的鋼板，切割成兩條直角邊均是0.5米的三角形鋼板，可以切出多少塊？

再如：用一塊長3米、寬2米的鋼板，切割成邊長為6分米的正方形鋼板，可以切出多少塊？

以上兩個問題中圖形信息的提供不是以求解圖形的面積為最終目的的，而是為解決另一個更為具體的生活問題服務的。顯然，與前面的問題相比，具有更強的綜合性。且在第二個問題的解決過程中，已經跳出了用面積計算方法解答的范圍，這在思維要求上突破了平面圖形面積計算的思路，需要在更為廣闊的思維層面上分析問題、解決問題。此類解決問題經驗的形成與積累，同樣是學生在數學學習過程需要完成的，且是后續學習更需要的，是學生數學綜合素養的關鍵內容。