數學基本活動經驗：一種不可或缺的數學素養

周衛東

《數學課程標準》（2011年版）在落實“雙基”的基礎上，又增加了“兩基”（數學基本活動經驗、數學基本思想方法），提出了“四基”的要求，其中把學生積累數學活動經驗也作為課堂教學的目標之一。學生數學活動經驗是學生個人經驗中的重要組成部分，是學生學習數學、提高數學素養的重要基礎之一，它的產生和形成過程實質上是學生經歷數學活動、得到深度體驗的過程。回顧、反思日常的課堂教學，我們相對忽視了對學生數學學習過程本身的重視，忽略了促使學生生動活潑地學習和發展的長效性目標，學生學習的經驗主要被解題經驗所替代，學生數學活動經驗單一和不足已是一個不爭的事實，探尋根源，可能有如下原因。

一是知識和技能的雙重擠壓。長期以來，以“雙基”教學為主要特征的課堂教學理念深深扎根在教師心中。分數至上的教學觀，讓老師不愿把時間浪費在“積累數學活動經驗”這種對提高考試成績幫助不大的低效行為上。他們更多地注重對學習結果的關注，相對忽視了對數學學習過程本身的重視。在考試指揮棒的影響下，檢測的都是顯性的知識點，新的“雙基”沒法考或很少考，因此不去關心什么是基本活動經驗、怎樣去實施活動經驗的教學。如教學“推導圓的面積公式”時，在常態課中往往是學生眼巴巴地看老師（或課件）演示剪拼圓，有的甚至直接出示面積公式，這樣大大減少甚至取消了活動時間。得出結論后，通過大量的鞏固、變式及提高練習，提高解題技能。

二是教師專業素養的缺失。教師對基本活動經驗的認識不足、理解不透，心有余而力不足，無法真正將其作為數學課堂教學關注的目標。因此，往往是手握“舊船票登上新客船”，學生的“偽經歷”“被經歷”現象時有存在，浮華的形式主義做法屢見不鮮。學生模仿了“經歷”的“形”，未真正領略其“神”，沒有真正的經歷，缺乏積累活動經驗的時機，丟失了積累活動經驗的熱情。另外，課程目標的變化讓一部分有惰性的教師措手不及，對于新課程提出的基本活動經驗還很陌生，更談不上在平時的教學中去關注了。

杜威認為“一盎司經驗勝過一噸理論”，《數學課程標準》的修訂，改“兩基”為“四基”，把“積累基本數學活動經驗”作為教育目標提出，是基于動態的數學觀，把數學看成是人類的一種活動，是一種充滿情感、富有思考的經歷體驗和探索活動。

什么是數學活動經驗呢？數學基本活動經驗可以這樣理解：指在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，形成和積累的過程性知識。

數學基本活動經驗有三個要素。第一，是數學的。所從事的活動要有明確的數學目標。第二，是經驗的。經驗包含雙重意義，一是經驗的事物，二是經驗的過程。第三，是活動的。主要指對數學材料的具體操作和探究活動。

數學基本活動經驗有兩個層面。從靜態上看，它是一種從屬于學生自己的主觀性知識，是學生經過數學學習后對整個數學活動過程產生的認識，包括體驗、感悟、經驗等，雖然這只是學習個體主觀上粗淺的、感性的認識，或者是不那么嚴格的隱性認識，但這種經驗是有意義和價值的。從動態上看，它是過程，是經歷。“數學的智慧并不表現在經驗的結果上，也不表現在思考的結果上，而表現在經驗的過程上，表現在思考的過程上。”積累數學基本活動經驗更關注過程的教學，“經歷過程”不僅僅是讓學生經歷知識產生的過程、知識的呈現方式，而且更是指探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等，從而積累觀察、操作、猜想、歸納推廣等活動經驗。

在新課程背景下如何開展有效的數學活動，讓學生在真正的經歷中積累數學活動經驗，成為當前數學教學中亟待研究與解決的問題。

世界上的很多經驗是不可傳遞的，只能靠親身經歷。如包餃子，你不親手包是不可能會包的；蓋房子，不論怎么講，你不親自參與是不可能會蓋房子的。所以必須讓學生親自參與，在這個過程中最重要的是幫助孩子理清如何去提出問題，如何去思考、分析問題，如何去反思，幫助學生逐漸積累這方面的經驗。

一、引導學生經歷充分的、多樣化的體驗，積累探究性經驗

探究性學習的數學體驗從何而來？是教師啟發、誘導就能得到的嗎？筆者以為，體驗是置身特定情境下的感受，它一定是學生真切的、發自內心的感受。積累探究經驗不是通過簡單的活動和思考就可以完成的，它更強調的是一種嚴謹的追求、豐富的體驗和真切的感受。因此，創設的特定情境應該“大氣”，學生經歷的活動應該“開放”。在這開放性的活動中，學生打開視野，拓寬思路，多方位、多角度地獲取多樣化的信息，才能積累豐富的探究經驗。如教學“三角形面積計算”時，每桌學生準備兩個信封，一個信封里裝有四個不同的三角形（等腰和不等腰的銳角三角形各一個，直角三角形、鈍角三角形各一個），另一個信封里裝有兩個完全一樣的三角形（或銳角三角形，或直角三角形，或鈍角三角形）。然后圍繞“利用信封中的這些材料剪拼、加工成一個我們學過的圖形”的要求，自由操作，自主探究，開放的環節贏得了豐富的課堂回報。生1：把三角形沿著兩邊的中點剪開，然后再拼成一個平行四邊形。生2：先找到三角形兩邊的中點，然后沿兩個中點分別作底邊的垂線，再沿垂線剪下兩個小的直角三角形，然后補在上面的三角形上就成了一個長方形。生3：把兩個相同的銳角三角形拼成一個平行四邊形。生4：把兩個相同的直角三角形拼成一個長方形。生5：把兩個相同的鈍角三角形拼成一個平行四邊形。

從這個單元的教材編排體系來看，這節課具有承上啟下的作用，“承上”就是鞏固從一個圖形上（上一節課教學的是平行四邊形的面積計算）割補的方法，“啟下”是要學習用兩個圖形拼成一個學過的圖形的推導方法（下一節課將學習梯形的面積計算）。其次，從學生的思維角度來看，這是兩種完全不同的思維方式，它可以培養學生從不同的角度思考問題。材料的豐滿、豐富，使得學生的探究更具價值，學生經歷了如何割、拼圖形，獲取了怎樣轉化的活動經驗，積累了探究活動“拒絕特殊”、要有一般性的經驗。

探究經驗的獲得應該是一個不斷猜想、驗證、思辨的過程。學生在探究中多次嘗試、思考、追問，體會越來越深，所積累的活動經驗更科學、更豐富。

二、引導學生經歷數學對接生活的過程，把生活經驗轉化為數學經驗

學生在上學前、在校外已經接觸、遇到過數學，積累了一些原始、初步的經驗。他們對于新知識的認識和理解，有時需要溝通生活中已有的活動經驗，需要有豐富的生活經驗作背景，讓生活經驗和數學經驗有效對接，使得日常生活經驗數學化、數學活動經驗生活化。因此，我們要善于捕捉生活中的數學現象，挖掘數學知識的生活內涵，將數學與生活密切聯系，讓學生親身經歷將生活經驗轉化為數學活動經驗的過程，使學生充分積累數學化的活動經驗。

學生有著很多日常數學或生活數學的體驗，所以我們要基于學生的生活現實，基于學生的生活經驗，把這些生活經驗直接拿來或通過類比對接進行數學化處理，把生活經驗作為促進學生進行數學思考的催化劑，以生成新的數學活動經驗。生活經驗用于幫助經歷、體驗新知識的形成過程，不僅簡單、明了，而且生動形象，促進學生的經驗從一個水平上升到更高水平，實現經驗改造或重組。

三、引導學生經歷操作與思考的過程，積累有效操作的活動經驗

“智慧自動作發端”，動手操作是學生學習的重要途徑和方法，通過動手操作把抽象的知識轉變成看得見、講得清的現象。學生動手、動腦、動口參與到獲取知識的全過程，使操作、思維、語言有機結合，學生的體驗才會深刻、牢固，獲得的操作經驗才會積極、有效。

比如，教學“平行四邊形的面積計算”，在探索平行四邊形的面積計算公式時，傳統教學是引導學生動手操作，沿平行四邊形的高剪下一個三角形或梯形，移到另一側，拼成長方形，再引導觀察、比較，推導出公式。其實，對于五年級學生而言，這樣的操作似乎太順利，太平實了。學生在中年級已學習了平移、平行四邊形的認識、用七巧板拼平行四邊形，并且在學習“平行四邊形的面積計算”之前，教材有目的地安排了準備課“面積是多少”（蘇教版教材第十冊第10頁），此時學生已有了相應的圖形認知和平移、割補的活動經驗，所以對于轉化平行四邊形并不陌生。如果一開始就讓學生動手剪拼平行四邊形，就弱化了學生的想象能力，也缺乏挑戰性。實際教學中，先讓學生在這一過程中進行動態的想象，借助表象在頭腦中進行剪和拼的操作，再用手比劃出剪移后的樣子，試著用語言描述出長方形和原先的平行四邊形之間的關系，接下來再把頭腦中的思維過程通過實際操作外顯出來，進行驗證確認，如發現錯誤再進行糾正。

此案例中，在有了清晰可調度的表象積累后，學生再開展豐富的想象活動，進行表象操作，在更高層次上體驗知識的形成過程。學生在這富有挑戰性的活動中，所積累的遷移的經驗、證明的經驗、想象的經驗也因個體的強烈感受而充滿了活力，更具考驗性、前瞻性。

在教學實踐中，許多操作是為操作而操作，學生沒有進行深刻的體驗和深入的探究，缺少數學思考，就不會獲得豐富、深刻的經驗。因此，學生的動手操作不僅僅是直觀、形象的“手指運動”，而且是充滿著豐富、生動的思維活動，學生經歷著具體問題數學化、數學問題具體化的過程，使得操作經驗與思考經驗、策略性經驗有機融合，從實踐與創新的過程中積累活動經驗。

四、引導學生經歷抽象概括的過程，積累建立數學模型的經驗

抽象概括是形成概念、得出規律的關鍵性手段，也是建立數學模型最為重要的思維方法。學生充分地觀察、思考、比較、發現后，獲取了豐富的感性經驗，再引導從許多數學事實或數學現象中舍去個別的、非本質的屬性，而抽象出共同的本質屬性，構建現實問題的數學模型。學生經歷了抽象概括的過程，積累了如何建立數學模型的經驗。

抽象概括，舍去了與數無關的具體情節，把反映數學問題的本質特征抽取出來，用關系式概括，形成數學模型。其實，許多數學問題貌似不同的數學情景的背后，往往具有相同的思維模型。因此，抽象、概括可以加深學生對事物本質的把握，形成一般化的認識，構建數學模型，積累了具體問題抽象化、形式化的經驗。

五、引導學生經歷反思推廣的過程，積累情感、思想性經驗

數學活動經驗是屬于學生自己的，帶有明顯的個性特征；就學習群體而言，活動經驗又具有多樣性。因此，數學活動經驗的積累需要學生的自我反思、交流、總結，幫助學生經驗顯化，變“隱而不露”為“顯山露水”。在反思中，感悟思考、探究的經驗以及具體操作經驗，并設置新的沖突，促進認知的觸角不斷拓展，這種經歷促使學生形成善于推廣、舉一反三的數學活動經驗，讓學生獲得一種思想的熏陶。同時總結自己在活動中成功或失敗的經歷，交流對數學的嚴謹性、數學美的感受，能有效促進情緒體驗的發展。

比如，教學“平行四邊形的面積計算”時，在課的總結環節，教師可以這樣引導：這節課我們研究了平行四邊形的面積計算，回憶一下，我們是怎樣研究的，中間你有沒有遇到什么困難，又是怎樣克服的？（學生反思、交流）學生紛紛發言：生1：我一開始是用數方格的方法計算面積，但太繁了，后來就覺得應該研究更簡便的方法。生2：我一眼就看出了從平行四邊形中剪下一個三角形，平移到另一邊，就轉化成了長方形。這樣通過長方形面積得出平行四邊形面積就方便多了。生3：只要沿著高剪開就能轉化為長方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。生4：我把平行四邊形轉化成長方形后，在比較兩個圖形的聯系時，誤以為長方形的長和寬分別相當于平行四邊形的兩條邊，后來在同桌的幫助下發現錯了，看來以后學習中還是要細心觀察。

接著課件再次回顧將平行四邊形轉化成長方形的過程。“下節課我們學習三角形的面積計算，你準備怎么研究？”問題的提出將本節課學生積累的活動經驗進行提煉，推廣運用到以后的學習中去。

我們的教學目標不能僅限于一節課，而應有長遠的眼光，立足使學生終身受益。在平時的數學學習過程中，要引導學生檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發現、解決問題的，運用了哪些基本的思考方法、技能技巧，有什么好的經驗和方法……使學生對數學的理解從量的積累到質的飛躍，這種經歷生成的思想經驗才是最具價值的。同時，越是復雜的數學活動越需要積極的情感意志相伴，這種體驗性成分也是學生基本活動經驗不可或缺的組成部分，它對于良好人格的塑造具有不可替代的作用。

“世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經歷，你只能讓學生在實際操作中磨煉，自己去感悟，去積累、反思。”翻開我們的數學課本，無處不在地體現了“經歷”這一指導思想，走進我們的數學課堂，無時不有地蘊含了基本活動經驗的積累。課堂教學需要學生有內涵的親身經歷，從而獲得最具數學本質的、最具價值的數學活動經驗，建構數學模型。著名教育家陶行知作了這樣一個比喻：我們要有自己的經驗做根，以這經驗所發生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機體部分。因此，學生在親歷中體驗，在體驗中累積，才能讓經驗的“根”更深、讓智慧的“葉”更茂。