微積分教學中融合數學文化的初步探討*

陳少軍

(閩南理工學院，福建泉州362700)

微積分教學是大學數學教學的基礎部分，在整個教學體系中占有十分重要的地位.教好微積分，使學生打好基礎，受到良好的數學教育，培養提高創新能力，是高校數學教師必須思考和解決的重大問題.

數學文化對微積分教學的重要作用早已被一些西方數學家所認識.許多數學家都提倡在微積分教學中直接或間接融合數學文化，綜合具體的教學實踐，融合數學文化是教好微積分的一個有效途徑.

1 數學文化對微積分教學的意義和作用

“數學文化”是指數學的思想、方法、觀點，以及它們的形成和發展，廣泛些說，它還包含數學家、數學史、數學美、數學發展中的人文成分、數學與各種文化的關系等.數學不是一系列數字符號的堆砌，其實它還包含著人文精神內涵，它體現了求真、勇敢、合作等人類精神，這些都是人文精神的升華，而這就是一種文化的體現.數學文化是不同于藝術、技術一類的文化，它屬于科學的文化.數學文化具有思維性、數量化、實用性和育人性等主要特征，這些決定了數學不僅具有科學的價值，還要有文化的價值.數學的內容、方法和語言已成為現代文化的重要組成部分.數學文化對于深刻認識數學科學本身，乃至全面了解整個人類文明的發展都具有重要意義.

數學文化對于微積分教學主要有以下三方面的作用：

(1)對課程設置和教材編寫具有指導作用.數學課程的設置和教材編寫要注意體現數學的發展趨勢.長期以來，我國高校非數學專業的數學基礎課都局限于以微積分為主要內容的高等數學.世紀之交，清華大學推出了一套由五本構成的大學數學教材.這是一套讓人耳目一新的教材，這套教材中一元微積分被分為兩部分，前一部分注重直觀，后一部分注重理性思維；復變函數、微分幾何及常微分方程作為多元微積分的應用內容出現；幾何得到了加強；隨機數學被正式列入基礎課；以數學實驗的方式凸顯了數學技術.這套教材較好體現了歷史的發展進程，切合當代數學的發展趨勢，值得我們關注和研究.

(2)對課堂教學設計有重要的借鑒作用.在數學教學中運用數學文化的最重要的依據之一是歷史發展原理，即個體對數學概念的認知發展過程與該概念的歷史發展過程相似.根據數學史上的典型錯誤，我們可以預見到學生在學習相關知識時可能出現的錯誤，從而采取適當的措施予以避免和糾正.

(3)明確學生的培養目標，提高培養質量.徐利治先生在對20世紀至21世紀數學發展趨勢的回顧和展望中指出，21世紀的數學人才，應具備7種能力：代數計算能力、幾何直觀能力、邏輯推理能力、抽象分析能力、使用電腦能力、數學建模能力和數學審美能力.這些能力要求是對數學專業的學生而言的，對于非數學專業的學生而言，應根據各專業的需要適當降低和減少一些要求.

2 數學文化融入微積分教學的幾點做法

(1)融入數學文化以激發學生的學習興趣.微積分對于提高學生的綜合數學素質和運用微積分的理論和方法分析、解決實際問題的能力都具有重要作用，學生學好這門課程對后續的學習、工作和科研十分有益.作為基礎課程的微積分理論性強，晦澀難懂，學生的學習興趣不高.如何培養學生的學習興趣，提高學習效率，對教師來說，是一個必須面對并且富有挑戰性的課題.數學文化首要的就是揭示數學知識的來源和應用，同時對于激發學生學習數學的興趣也具有重要意義.例如在講授微積分第一堂課時，可以講微積分的歷史.微積分的一些基本問題的提出和解決，其根源可以追溯到古希臘時期，由于16世紀至17世紀的微積分的先驅工作，才使牛頓、萊布尼茨于17世紀后半葉正式發明微積分，并在18世紀里獲得了蓬勃發展，當19世紀的數學家們為這一學科奠定了牢靠的邏輯基礎時，古典微積分才基本完成，到了20世紀它又在兩個不同的方向上有了新的發展.了解微積分的發展歷史，是尋求理解其現在之所以成為這樣的重要途徑之一.在教學中巧妙地運用相關數學史知識，恰當地結合教材選擇有關實例，創設知識情境，能夠調節課堂氣氛，并且激發學生探討數學和學習數學的積極性.

(2)融入數學文化拓展學生的知識面.數學來源于生活和生產實踐，最后應用于生產實踐中，微積分課程也不例外.17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨首先明確地認識到求積問題和做切線問題之間的互逆關系，建立了微積分基本原理，并且系統地總結出一套強有力的無窮小算法.1665～1667年間，牛頓發明了二項式定理，醞釀了微積分原理，提出了萬有引力定律，也研究了光的分析.萊布尼茨則是從幾何的角度發明了微積分符號，遠遠優于牛頓的符號，他根據中國的八卦悟出了二進制計數制.可見，微積分不僅僅是數學領域的知識，它還被運用到物理學、哲學、語言學等學科領域.許多近現代興起的應用數學，如信息論、控制論等都是以微積分作為基礎的.在課程中恰當地引入微積分這門課程的背景和歷史條件、發展過程和應用領域，能夠使學生了解得更多，理解得更好，可以為廣泛理解和掌握一般的數學概念和知識打下堅實的基礎.

(3)融入數學文化以培養學生的探索精神和創新意識.培養學生的探索精神、創新意識和創新能力是實施素質教育的核心內容，數學教學中數學文化的教學可以幫助學生去了解和掌握更多的解決問題的思路和方法，并在此基礎上有所創新.數學家齊民友曾說過：數學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種探索精神.微積分的發展史是一部不斷創新的歷史，從萌芽到發展成為一門獨立的數學學科，經過了反復推敲，經歷了問題——猜想——論證——檢驗——完善這些過程，一步步成熟起來的.例如微積分中神秘的無窮世界，從哈勒爾、席勒、布萊克3位詩人的詩中提及的無窮到芝諾的悖論，到阿基里斯追龜不及，到飛矢不動，再到希爾伯特的無窮旅店，無窮理論不段發展，不斷趨于穩定，這是數學家們不斷探索的結果，這些成績是微積分史上的一次質的飛躍，為微積分在理論上的完善奠定了堅實的基礎.通過融入數學文化，教師可以引導學生形成一種探索與研究的習慣，使學生了解和思考“一個問題從產生到解決的過程中，真正創造了些什么”，“哪些思想、方法相對于以往內容有實質性進步”，從而使學生體會到一種生動的、真正的數學思維過程，有利于培養學生的探索精神、創新意識和創新能力.

(4)融入數學文化以培養學生的數學素養和科學精神.微積分是與生活和生產密切相關的一門學科.因此，教學目的不僅要求學生能夠掌握微積分的基本知識和運算技能，而且要能在復雜錯綜的環境中，進行有條理的分析，并形成最后的決策，也就是要求學生具有良好的數學素養.微積分課程許多定義和定理都是以數學家的名字命名的，一些重要定理及其證明，某一數學公式甚至某一數學符號的創造都經常伴有一段不平常的故事.教學中教師恰當地引入數學家的故事，把一些定義、定理和公式的來龍去脈展示給學生，既可以使學生加深印象，又能讓學生體會數學精神，即學習數學先驅們百折不撓的毅力，學習他們孜孜不倦、鍥而不舍的探索精神，學習他們崇高的理想、頑強的意志和為真理獻身的精神，這些精神是教師和學生都應該繼承的寶貴遺產.

總之，在教學中讓學生學會使用數學專業知識與數學文化總是互補的，學習數學專業知識需要文化知識幫助分析與思考.微積分教學中恰當地融合數學文化，對深刻理解微積分的內容、思想、方法、語言及其應用，幫助學生在學習、研究及應用課程的過程中逐步體會數學的文化價值，增強學生對數學學習的興趣，培養學生的科學品質，以及提高學生的數學素養都具有重要的現實意義.

［1］顧沛.數學文化［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］克萊因.古今數學思想［M］.上海：上海教育出版社，1979.

［3］汪曉琴.HPM研究的內容與方法［J］.數學教育學報，2006(1)：16-18.