高等代數教學的思考*

2014-02-12 10:11:27李秀英

通化師范學院學報 2014年4期

李秀英，郭友

(通化師范學院數學學院，吉林通化134002)

高等代數是高等院校數學與應用數學專業的一門基礎課，其內容抽象，邏輯性強.它是中學代數的繼續與提高，但與中學代數又有很大的不同.這種不同不僅表現在內容的深度上，更重要的是表現在觀點和方法上.學生在學習高等代數的過程中，普遍認為概念抽象難懂，即使聽懂了基本內容，往往也對習題無從下手.下面結合筆者講授高等代數的教學實踐，談談教學體會.

1 加強基本概念的教學

高等代數的概念較多，也十分抽象，必須牢固掌握概念的確切定義，才能把握概念的本質.如行列式與矩陣的概念極易引起學生混淆.教學中，要向學生強調盡管這兩個概念形式看似相似，但其實質不同.數域P上的n級行列式等于所有取自不同行、不同列n個元素的乘積的代數和，其實質是一個數；但一個m×n矩陣是由mn個數排成的m行n列的表，其實質是一個表；另外表示方法也不同，行列式用||，矩陣用()或［］表示.又如線性空間是學生遇到的第一個用公理化語言定義的抽象概念，但線性空間正是解析幾何中向量概念的一般化.以學生熟知的例子為基礎引入新概念，學生易于接受.同時通過練習使學生知道定義中的加法未必是普通的數的加法，只是一種運算把它定義為加法，數量乘法也是如此，以及零向量的真正含義等.再如子空間的引入，“如果W對于V的兩種運算構成數域P上的線性空間，那么數域P上線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間)”，經過分析這個定義可簡化為“如果W對于V的兩種運算是封閉的，那么數域P上線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間)”.子空間的定義體現了研究代數對象-線性空間的一種數學方法.它可以平行推廣到歐氏空間、近世代數中的群、環等概念中，以此方法定義歐氏空間的子空間、子群、子環等，這就是子代數思想方法.所謂子代數就是代數系統的非空子集關于該代數系統的運算也作成相同的代數系統.學生掌握了這種定義方法，能把握住概念的實質，并能靈活運用.

2 結合現代化教學手段教學

現代化教育技術在教學中的應用是教學改革的一個熱點.在高等代數課程教學中，將傳統的課堂講授教學與現代化的教育技術相結合，教學效果更好.多媒體教學是一種全新的教學方式，給學生以“耳目一新”的感覺，而這種全新的教學模式，讓學生在課堂上更能集中注意力，更具有急迫感.行列式、線性方程組與矩陣是高等代數的基本內容，但單純用傳統的教學方式講授以上內容，板書十分復雜，可結合多媒體課件輔助教學.如行列式性質、矩陣運算等的教學，結合課件演示，一方面節省了板書的時間，另一方面也使教學內容達到了直觀的效果，形式的改變使學生有新鮮感，也激發了學生的學習興趣.此外，教學中可將數學軟件Maple引入教學.Maple是加拿大滑鐵盧大學(University of Waterloo)和Waterloo Maple Software公司注冊的一套為微積分、線性代數和微分方程等高等數學使用的軟件包，它是當今世界上最優秀的幾個數學軟件之一.Maple的線性代數庫可提供豐富的代數運算指令，幾乎可以完成高等代數中的各種運算，為高等代數的學習和教學提供了強有力的工具.引導學生運用Maple解決高等代數問題，一方面鞏固了基礎知識，另外學生通過上機實踐，提高了實踐能力，為數學建模打下良好的基礎.

3 善于總結數學思想，加強與其它課程的聯系

數學思想方法是數學知識與基本方法的概括與升華，是數學理論的最高體現，是數學知識結構的精髓.日本數學教育家米山國藏說：“即使學生把所教的知識(概念、定理、法則和公式等)全忘了，銘記在他心中的數學精神、思想和方法卻能使他終身受益”.因此，高等代數教學中滲透相應的數學思想，對提高學生數學思維能力和培養學生數學素養有重要作用.同構思想是代數學中重要而常見的思想，兩個代數系統之間若能建立一個同構映射，即保持所有運算的一一對應，則稱這兩個代數系統同構.兩個同構的代數系統的運算性質是完全一樣的.“數域P上兩個線性空間V與V′稱為同構的，如果由V到V′有一個雙射 σ，具有性質：①σ(α +β)= σ(α)+σ(β).②σ(kα)=kσ(α).其中 α，β 是V中任意向量，k是P中任意數.這樣的映射σ稱為同構映射.”在學習了線性空間同構的定義之后總結同構的思想，對學生后面學習歐氏空間的同構大有益處，學生接受起來十分自然.同時，同構思想可平行運用于后續課近世代數中，定義群同構與環同構.而群同態、環同態是群同構與環同構的推廣.同構思想的滲透為后續課的學習打下了良好的基礎.又如多項式的整除理論與初等數論中整數的整除理論相平行，線性方程組解的結構理論與常微分方程中線性微分方程組解的結構理論相平行.因此，教學中滲透類比的思想方法有助于學生知識體系的培養和形成.

4 注重習題課的教學

習題難解是學生學習高等代數的普遍困惑.教學中通過習題課鞏固和強化基礎知識，使學生掌握分析問題、解決問題的思路與技巧，十分重要.行列式是高等代數的重要工具，行列式的計算是行列式理論中的重要問題，學習行列式性質之后，結合例題總結計算行列式的各種基本方法，如化三角形法、逐行(列)相加減法、拆成幾個行列式法、遞推法等.學生掌握了計算行列式的基本方法，收到了良好的教學效果.又如，初等矩陣與初等變換有密切關系.“對一個s×n矩陣A作一初等行(列)變換就相當于在A的左(右)邊乘上相應的s×s(n×n)的初等矩陣”.這種對應有“左行右列”特點，其對應關系在矩陣論中有重要作用.為了計算方便，可轉化矩陣乘法為矩陣的初等變換，為了定量分析和理論推導，又可轉化矩陣的初等變換為矩陣乘法.另外，線性變換與矩陣有密切關系，解題中應充分掌握好二者互化的思想方法.凡涉及線性變換及與之相關的問題，可轉化為矩陣問題，用矩陣工具解決.反之，凡只涉及矩陣運算的有關矩陣問題，可考慮轉化為線性變換及有關的問題，用線性變換的理論予以解決.通過習題教學，使學生體會并掌握它們之間的相互轉化.總之，高等代數習題教學中，挖掘解題技巧與方法，使學生觸類旁通，可以提高學生的解題能力.

5 結論

高等代數是大學數學與應用數學專業的基礎課，也是學生考取相關專業研究生的必考科目.這門課對學生的專業學習與發展起著至關重要的作用.如何通過課堂教學達到更好的教學效果，同時強化學生數學思想的形成，提高學生分析問題、解決問題的能力是專業教師不斷探索的課題.

［1］王萼芳，石生明.高等代數［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2003.

［2］張禾瑞，郝鈵新.高等代數［M］.第3版.北京：高等教育出版社，1983.

［3］石永芳.揭示數學思想，促進高代教學［J］.甘肅聯合大學學報(自然科學版)，2006，20(1)：93-96.

［4］杜玉琴.數學思想方法在數學教學中的滲透［J］.高等理科教育，2009(3)：34-37.

［5］朱天輝，陳益智.同構思想在高等代數解題中的若干應用［J］.惠州學院學報，2011，31(3)：122-124.

［6］白述偉.高等代數選講——通過問題學方法［M］.哈爾濱：黑龍江教育出版社，1996.