“教什么”和“怎樣教”都重要

聶艷軍

（邳州市教育局教研室 江蘇 邳州 221300）

《義務教育數學課程標準》在“課程實施建議”部分強調：“數學教學活動要注重課程目標的整體實現”，并指出：“在日常的教學活動中，教師應努力挖掘教學內容中可能蘊涵的、與四個方面目標有關的教育價值，通過長期的教學過程，逐漸實現課程的整體目標。”課程目標的整體實現，是衡量學生獲得良好的數學教育的重要指標；整體實現課程目標，既要深入探尋教材內容背后的教育價值，思考“教什么”的問題，又要精心設計有利于目標整體實現的教學方式，思考“怎樣教”的問題。

一、教什么——深遠謀劃“把學生帶到哪里去”

“教什么”，意味著教師準備在課堂上選擇做哪些事情并為此努力，體現教師的教學訴求。在一節課中，學生將得到怎樣的發展，這是我們進行教學預設首先要考慮的。

以知識為中心的數學教育過度追逐數學的工具性價值，數學教材原本具有的豐富意蘊被簡化為數字、符號、公式、規則、程序的組合。對數學的如此認知和理解，切斷了數學文化中知識性成分和觀念性成分的內在聯系，窄化了數學教材的文化內涵，使得數學課堂以“去情境”和“去過程”為特征，把生動的數學知識變成單調刻板的條文讓學生去記憶和背誦，數學本該擁有的文化氣質被剝落。

原江蘇省教研室主任鄭君威先生說過：“數學教學的任務：一要講清‘是什么’，即數學概念、定理、法則表述要清晰，準確到位地把握內容的數學本質。二要講清‘為什么’，知識是依靠數學思維和數學思想方法聯系起來的，要重視引導學生感悟知識之間的聯系。三要講清‘還有什么’或‘能怎樣’，即重視引導學生反思。”鄭先生的話給我們思考“教什么”以無限的啟迪。

以文化育人為價值取向思考“教什么”，最根本的是對學科本質的把握和領悟。就數學而言，某個具體內容的數學本質既表現為隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性，還表現為統攝具體數學知識與技能的數學思想方法。以此為觀照，在數學教學中，“教什么”具體表現為：對基本數學概念的理解，對分類、轉化、數形結合、模型、歸納等數學思想方法的感悟以及對類比、抽象、猜想等數學特有思維方式的把握，還有對數學美的鑒賞和對理性精神的追求等。

以“平行四邊形面積計算”為例，對數學內容的理解，有“工具性理解”和“關系性理解”兩種模式。工具性理解是“只知道是什么，不知道為什么是”；關系性理解是對數學對象本質的把握，“不僅知道做什么，而且知道為什么這樣做”。學生在上課之前對平行四邊形面積計算的“能”與“會”，大都是屬于工具性理解，因此，通過課堂學習，要實現學生由“工具性理解”到“關系性理解”。由此，“理解、掌握、會運用”應當成為“教什么”的主要構成內容。

從文化的角度看，數學離不開歷史的沉淀過程，這一完整的過程至少包括感知、交流、反思、沉淀等階段。教學平行四邊形面積計算，理應通過與數學文化沉淀過程相適應的教學方式的構建，使學生探索數學的同時，領悟數學特有的思維方式。

平行四邊形面積公式的教學同樣具有“教化”功能，比如數學探索過程中的開拓與超越，公式推導過程中的嚴謹與自律等，借助數學自身所擁有的深沉的文化力量培育數學精神品格，孕育良好的學科情懷，也是教材賦予數學課堂教學的使命。

基于以上思考，本節課教學訴求（教什么）定位在：

使學生通過經歷“是什么—為什么是—怎么用”的研究過程，理解并運用平行四邊形面積計算方法，體會數學知識之間的內在聯系，感悟研究的一般方法。使學生充分經歷猜想、驗證、轉化、推理的思維過程，進一步發展數學思考能力，初步感悟數學思想方法。

二、怎樣教——精心設計“怎樣把學生帶到那里”

“怎樣教”，意味著教師要考慮在課堂上如何更好地完成教學任務，反映教師的教學路徑。為了整體實現課程目標，教師不僅要思考“教什么”的問題，還要對“怎樣教”做出精致的規劃。

1.發端于學生的經驗與需求

學習是學生在特定情境下由于經驗所引起的行為或思維的比較持久的適應性變化，學習的發生是受特定情境下所激活的經驗的影響。教學的本義是通過教引發、引導并促進學生的學。離開了學生和學生的學，教便失去了存在的意義。聯系教學的本義，我們便能夠真正理解并認同“教學應基于學生的現實與需求”這一觀點。

（1）基于學生已有的知識經驗

考慮到學生認知發展的階段性，教材中的數學知識都是循序漸進、螺旋上升地編排的。每一節課新學習的知識總是在以往知識的基礎上發展起來的。為了幫助學生建立科學合理的認知結構，教師在教學設計中要分析并利用學生已有的知識經驗，促進新知識的生長和形成。

（2）基于學生的生活經驗

弗賴登塔爾認為，“數學是系統化了的常識。”小學數學中許多概念所蘊含的數學思想是樸素的，基本上都源于學生的生活經驗，有豐富的“生活概念”。因此，學生的實際生活經驗影響、制約并促進學生對新知的理解。關注、激活并巧妙地利用學生的生活經驗，會使學生覺得新知識是生活中曾經遇到過的、感受過的，心理上容易接納，認知上容易理解。學習“11—20各數的認識”時，理解并建立計數單位“十”的概念，始終是學生難以跨越的坎。一位教師教學這節課，選取低年級學生熟悉的教室里“比比誰最棒”評比欄作為素材，創設數數情境，通過“笑臉貼滿了，如果再貼怎么辦呢？”問題設計，有效激活學生已有的“用獲得的笑臉換成一個更‘高級’的獎品”的生活經驗，將10個笑臉換成1個大拇指的素材，為理解抽象的“10個1可以換成1個10”提供了生動的生活原型。

（3）基于學生內在的心理需求

學生的心理需求是其維持學習活動、朝向一定學習目標的動力傾向。數學知識的學習通常源于這樣一種需要：或是因為解決問題時，原有的知識或方法無法滿足需求，需要一種新的知識、方法介入；或是因為原來的方法過于繁瑣和不便，需要一種更為簡潔的方法介入。教師應通過創設新的問題情境，引發學生的認知沖突，產生“創造”新知識、新方法的愿望和動力。教學“用數對確定位置”時，我們設計“說位置,找朋友”的游戲，讓學生在實際場景中描述自己朋友的位置，然后再來猜。由于學生都是用自己的方式確定位置，容易引發學生的認知沖突，從而體會到原有確定位置方法的局限性，為新知的學習注入動力。在學生感到用第幾列第幾行的方法表示一個同學的位置比較準確、簡便時，我們引導學生用這種方法記錄幾個同學的位置，但由于教師較快的語速，學生無法記錄下來，于是引出問題：“沒有記錄下來，除了老師報得快還有沒有別的原因？”學生意識到既有方法的繁瑣和不便，自然而然地想到對原有記錄進行改進和優化。

2.關注兒童的經歷與體驗

數學課程標準基于數學課程目標，使用了“經歷”“體驗”“探索”等刻畫數學活動水平的過程性目標動詞，這些數學活動是達成結果性目標（基本數學知識的理解）的載體，但其本身也是引導學生感悟數學思想方法、積累數學活動經驗的重要途徑，因而也應成為數學課程追求的目標。

（1）遵循兒童認識事物的一般規律

數學教學，就是兒童、教師、數學之間在課堂場域的真實相遇。兒童世界，更多地充滿著經驗、直觀、形象；而數學，無論怎樣改造，其價值都指向理性、抽象、形式化。化解這一矛盾的有效路徑：教學從直觀入手，沿著兒童認識事物的一般過程展開。

教學“兩位數加兩位數筆算（進位）”，教師出示主題圖，在學生理解圖意、列出算式后，引領學生經歷算法建構過程：

動手操作。教師要求學生取出學具進行操作，探索算式結果。

建立表象。學生操作后，教師組織學生交流算法，并引導學生思考：計算34+16，有的小朋友選擇的是在計數器上撥算珠，有的小朋友選擇的是擺小棒，用的學具不一樣，但他們都有一個“換”的動作，他們是怎樣換的？為什么都要換？

建構模型。教師讓學生將34+16寫成豎式，引導學生觀察并提問：你認為在筆算34+16的時候，需要像我們操作時那樣“換”嗎？怎樣“換”？

小學生學習抽象的數學概念，一般是循著“感知——表象——抽象”的認知歷程。如何讓學生掌握抽象的筆算方法？教師引導學生先通過操作進行動作思維，然后由言語敘述操作要領建立起概念的表象，最后聯系豎式計算促成兒童擺脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過度，實現“滿10進1”的模型構建。

（2）突出數學知識的本質

學生經歷不同的認知過程，對知識的理解就會達到不同的水平。當我們的教學是單純教“定義”時，其認知過程是模仿、記憶與強化訓練，學生對知識的理解可能只處于“工具性理解”水平。學生只有經歷了解知識產生的必要性，充分感知、體驗知識發生、發展、沉淀的過程，把握知識之間的本質聯系，才能創造性地應用知識。

以“用字母表示數”為例，代數的發展歷史告訴我們：字母表示數的過程，不是字母替代文字的過程，而是具體數量符號化的過程。換言之，用字母表示數，不是因為不知道這個數量是多少，而是因為這個已知的數量在不斷的變化中，因而用字母來概括地表示它。有很多教師這樣教學：擺1個三角形用3根小棒，擺2個三角形用6根小棒，擺3個三角形、4個三角形呢?擺5個三角形呢？擺n個三角形呢?進而引出用字母表示的表達式“n×3”。課堂進行得很順利，學生貌似沒有什么不懂的，但是學生既沒有體會到用字母表示的必要性，也沒有理解字母的符號概括作用。對此，我們根據數學文化的沉淀階段理論，引導學生在不斷反思中逐漸提升對字母表示數的感悟層次。

體驗。課件演示用小棒擺三角形，要求學生說出小棒根數。在學生回答“擺兩個三角形用6根小棒”時，教師引導學生認識到此種擺法可以寫成“3×2”根。之后，給一段時間比一比：哪個同學這樣的算式寫得多？待學生紛紛停筆不寫的時候，再引導學生思考：怎樣用一個式子把已經寫的和還沒有寫的算式都包括進來？這時引出“3×a”的寫法。

反思。在學生體驗上面“3×a”中的“a”是個有魔力的字母，可以代表無數個數后，教師引領學生反思：這里的“a”還表示特定的未知數嗎？并討論“a”不可以表示什么數，進而沉淀這樣一種認識：字母不僅可以表示特定的未知量，還可以表示變化的已知量。

運用。設計“編故事”練習，故事的主角是“c×4”。教師先作個示范，之后學生用c代表各種數量，說出“c×4”的意思。通過只要兩個量有4倍關系的，都被概括在“c×4”里，讓學生進一步體會“用字母表示數”的概括性。

（3）體現研究的一般過程

“數學教學不僅要關注“是什么”和“怎樣做”，還應該引導學生探究“為什么”，通過給學生一個模式，帶領學生經歷從現象到本質的探究過程，讓學生知道怎樣思維，掌握作為一種“非言語程序性知識”的思維。

華應龍老師執教《圓的認識》一課沿著“是什么——為什么——怎樣做——為什么這樣做——一定這樣嗎”線索安排教學結構，可以給我們啟示。在這節課上，華老師首先創設小明“尋寶”情境，在思考與嘗試中知道寶物所在的位置是個圓，初步體會“圓是到定點距離等于定長的點的集合”。接著，圍繞“為什么寶物所在位置就形成圓呢？”通過與正多邊形對比研究，再一次感悟圓之所以為圓的關鍵是所有半徑都相等，順理成章引出“怎樣畫圓”的研究。在總結畫圓的方法之后，教師組織學生討論“用圓規就能畫出一個圓，為什么？”“如何在籃球場上畫一個更大的圓？”感悟畫圓不在于是否必須用“規”，而在于必須滿足“到定點的距離等于定長”這一圓的本質。整節課以數學知識為載體，但謀篇布局又超越數學知識、研究方法層面。在這樣的數學課堂里，知識的習得、方法的理解、意義的建構、美感的體驗相互交織，實現了完美的統一。

3.讀懂兒童的真實思維

教師作為成人的代表，其生活經驗、思維方式、知識儲備等，都與兒童存在質的不同，這就構成教學的又一對矛盾。解決這一矛盾的有效策略是尋找兒童思維與“教師思維”的連接點。

（1）傾聽兒童思維

蒙臺梭利認為“我們成人習慣于用自以為是的方法來解釋孩子的行為，用自以為正確的方式來對待孩子，這不僅造成學校教育的偏差和整個教育體制的誤導，更導致社會采取了一連串完全錯誤的行動”。教學中，應多給學生解釋自己想法的機會。只有了解兒童的真實思維，才能選擇適當的時機和方式“介入”。

（2）順應兒童思維

兒童的數學學習是他們利用已有的知識與經驗對新知賦予意義的過程。因此，在知識的客觀意義上，兒童的認識可能出現“不合理性”，甚至是錯誤的，但在兒童已有的知識經驗和新知識間卻是自洽的、“合理的”。順應兒童思維，就要善于發現兒童思維的合理性，尊重兒童的思維方式，不奢望學生的認識一步到位，如“兩位數加兩位數筆算（不進位）”教學中出現的從高位算起現象；順應兒童思維，還要善于琢磨兒童認知提升的障礙在哪里，通過采取針對性措施，引導兒童在舊知經驗和新知之間實現“好的”平衡，如“多位數減法筆算”中的“大減小”現象。簡而言之，順應兒童思維的內核是實踐據學而教的課程理念。

（3）提升兒童思維

建構主義雖然強調學生已有的經驗對數學學習的影響，但學生的經驗畢竟是原始的、粗糙的，甚至夾雜著錯誤；學生的經歷和體驗，所獲得的認識也可能是感性、零碎的，因而教師的引導、提升對于學生的數學學習總是不可或缺的。在情境激活學生已有經驗的基礎上，應通過“二度建構”將主觀經驗進一步明晰化、精致化、系統化；在經歷數學探索、獲得感性認識的基礎上，應及時引導學生將自己所做的過程置于被思考地位上加以審視，將活動中獲得的經驗加以概括、提升和內化。▲

[1]李新.重視概念形式，滲透思想方法——《倍數和因數》教學設計與思考[J].教育研究與評論，2013（6）：54-59.

[2]金雪根.抓住本質突出主線促進發展——例談關注數學學科本質的課堂教學[J].小學數學教師，2011（7-8）：87-98.

[3]蔡宏圣.和諧：小學數學教學設計的新視角[J].課程·教材·教法，2007（8）：37-41.

[4]蔡宏圣.兒童基點數學視野[J].小學教學：數學版,2010(9)：8-10.