迷思概念、相異構想與兒童數學教學

汪樹林

（如皋市港城實驗學校 江蘇 如皋 226532）

兒童在正式的數學學習之前，通過對日常生活的現象觀察和體驗，形成了一些前數學概念、經驗和兒童階段特有的思維方式。當兒童正式學習數學時，這些非正式的數學概念、經驗或思維方式會同正式的數學概念、新知混淆、“打架”，甚至某些錯誤的前數學概念、經驗會占上風，學者將這類錯誤概念稱為“迷思概念”，將這類錯誤的認知、思維結構或方式稱為“相異構想”或“不同的解釋框架”。兒童數學的迷思概念、相異構想干擾著兒童的新知理解，甚至讓兒童錯誤地“同化”新知。作為教師，必須高度重視這一現象，盡量降低迷思概念、相異構想對學生數學學習帶來的消極作用。

一、聚焦：兒童數學迷思概念、相異構想的特質解讀

兒童頭腦中的迷思概念、相異構想是兒童在數學學習過程中的正常現象，它與其他學習問題諸如聽課注意力不集中、做題粗心大意、作業磨蹭等現象相比，有著自身獨特的性質。

1.自發性。兒童的迷思概念、相異構想是兒童在其觀察與體驗周圍世界的過程中通過直覺與無科學根據的想象自發形成的，是零散的、無組織、無系統的。如兒童會認為“扇形就是像扇子一樣形狀的圖形”“角的兩條邊畫得越長角越大”“周長長的長方形面積就大”等。

2.膚淺性。由于兒童自發性的認識，他們在大腦中形成的概念、判斷與推理往往缺乏邏輯性，他們認識概念、思考問題往往比較膚淺，只停留在表象階段，不能正確地通過具體表象形成抽象概念，自然也就無法把握數學的本質。如兒童會認為“一千克鐵比一千克棉花重”“甲數比乙數多，乙數就比甲數少”“平行四邊形都是軸對稱圖形”等。

3.隱蔽性。由于教師對兒童迷思概念、相異構想并不去深究其成因，這就讓迷思概念、相異構想暗藏于兒童的學習過程之中。如兒童可能會準確地背誦出“每相鄰兩個長度單位、面積單位、體積單位之間的進率”，但一到做具體習題時，總是把相鄰體積單位之間的進率誤解為面積單位之間的進率，或把相鄰面積單位之間的進率誤解為長度單位的計算進率等。

4.頑固性。由于迷思概念、相異構想并不是兒童主觀意識的產物，所以，即使經教師或同伴提醒當時能糾正過來，但在遇到同類信息對象時，兒童可能還會因淡忘其數學本質從而導致“錯過的”還是“一錯再錯”。如兒童在學習小數前可能具有“小數很小”的迷思概念，通過學習可能表面上澄清了這一錯誤認識，但到一定時候，兒童潛意識中還會把小數與正純小數混淆從而導致解題錯誤。

二、剖析：兒童數學迷思概念、相異構想的成因透視

迷思概念、相異構想廣泛地存在于小學各年級段的兒童頭腦中，也廣泛地存在于小學數學各個知識模塊中（計算、概念、問題解決等）。其主要來源即成因可以歸結為以下幾方面：

1.兒童的直覺經驗

兒童由于缺乏必要的數學方法和“數學式思維”,往往憑借自己的直覺形成了樸素、片面的認識。如兒童看到題目中“一共”二字就用“加法”，看到“還剩”二字就用減法；畫幾條直線，兒童往往認為斜畫的不是直線，只有水平方向和鉛垂方向的才是直線；學習“圓錐的認識”，兒童憑直覺往往會認為圓錐的側面展開圖是三角形。教學中教師必須引導兒童開展“數學實驗”進行驗證，如可以讓兒童用直尺驗證斜線的曲直，用軟紙做圓錐，然后再讓兒童沿著圓錐的母線剪開。通過數學實驗，兒童會驚奇地發現，原來圓錐的側面展開圖是扇形。如此，不僅改變了兒童由直覺而帶來的迷思概念、相異構想，而且讓兒童領悟到學習的重要方法——“做中學”。

2.類化概念的干擾

數學學科中存在著許多字面相近、屬性相關、含義相似而不同的概念，即類化概念。由于它們之間對比度小，個性欠鮮明而導致兒童感知結果接近。在思維過程中，兒童會產生誤導性聯想和思維分歧化，出現概念間本質屬性的混淆。如“擴大”與“增加”、“縮小”與“減少”、“速度的平均數”與“平均速度”、“倍”與“倍數”、“半圓的周長”與“圓周長的一半”等。

3.日常生活的影響

兒童在日常生活中對周圍獲得了一些感性表象，積累了感性經驗，其中有一些是正確的，有助于理解和掌握數學新知，而更多的則是片面的、錯誤的。如“生活角”（“墻角”“桌角”等）對學習“數學角”的干擾，生活中“質量”概念對數學中“質量”概念的干擾，生活中在水平線參照基礎上的“豎直線”對數學中“垂直線”的干擾等。

4.兒童的記憶、思維定勢或心理暗示

兒童因先前累積的學習經驗而初步形成了記憶定勢，當遇到類似的學習情境時，容易“想當然”地將新問題按以往解決舊問題的方式解決，并潛意識地想象著結果朝著自己所期待的方向發生。如兒童受“一個數除以同一個數等于1”的心理暗示，容易誤認為“4×5÷4×5=1”；受“甲比乙多多少，乙就比甲少多少”的思維定勢或心理暗示，容易誤認為“甲比乙多25%，乙就比甲少25%”等。

除上述主要成因外，兒童的知識基礎、兒童因逆反心理而對正確概念的排斥、生活中的傳統觀念、兒童的消極思維惰性、某些資料對數學概念的不科學闡釋等，也無時無刻不在影響著兒童對數學新知的理解和掌握。

三、突破：兒童數學迷思概念、相異構想的轉變策略

針對兒童數學學習過程中客觀存在的迷思概念、相異構想，教師要理性地分析其產生根源，運用多種途徑、方法去探尋處于隱蔽地帶的迷思概念、相異構想，幫助兒童判斷、識別、糾正自己的已有經驗與概念，盡量降低迷思概念、相異構想對兒童數學學習的副作用，從而提升兒童的學習品質。

1.探尋兒童“前數學經驗”，是糾正迷思概念、相異構想的前提

探尋兒童“前數學經驗”最有效的方法是對兒童的已有知識經驗進行診斷性評價。教師要把握兒童原有知識與認知結構，尤其是那些錯誤的概念、思維方式或學習習慣。可以對兒童進行數學問卷調查，與兒童進行數學座談、數學討論等，讓兒童暴露迷思概念、相異構想，據此確定教學起點、教學方法，進而準確地預設教學。

教學國標蘇教版小學數學四年級下冊《三角形》單元時，筆者將教學目標鎖定為：（1）概括三角形的定義。（2）認識三角形各部分的名稱及底和高的含義，學習用字母表示三角形，學會畫高。（3）了解三角形的穩定性。分析學情后發現，孩子們有很多知識已掌握或部分掌握，但也存在著認識誤區，這里筆者用表格說明（參見表1）。

表1 對學生“三角形”知識的學情分析

通過學情分析，筆者認為本單元的教學關鍵就是在上述兒童不會或不理解的方面取得突破。例如“三角形高”的教學，一方面要突破學生對底和高的認識誤區，可以在認識典型底和高的基礎上，用課件將三角形旋轉，讓學生判斷原來的底和高現在是否還是三角形的底和高；另一方面在畫高的指導上，要充分利用兒童的已有知識經驗（兩點之間的距離、兩平行線之間的距離、點到直線的距離）對三角形高的畫法進行探究，引導兒童思考這些距離有什么特點——最短與垂直。后一單元教學平行四邊形、梯形高時要與三角形高進行比較，將三角形的高概括為“過直線外一點作已知直線的垂直線段”，即“頂點到對邊的距離”，將平行四邊形、梯形的高概括為“兩條平行線之間的距離”等。由此凸顯三角形、平行四邊形與梯形高的數學本質。

2.暴露兒童的“原初思維”，是糾正迷思概念、相異構想的契機

傳統教學中，一方面兒童不敢暴露自己的真實想法，怕回答不符合要求，惹人笑話；另一方面教師擔心兒童的“奇談怪論”會干擾教學預設，導致師生雙方顧慮重重，本該生動活潑的課堂變得單調、呆板。教學中教師應創造更多暴露兒童“原初思維”的機會，并有意按兒童常見的、多發的思維歧路適當出錯，然后分析錯誤類型。在此基礎上引領兒童展開數學思考，讓兒童分享彼此觀點，進而識別、糾正迷思概念、相異構想，建立正確的數學概念。

教學國標蘇教版小學數學四年級下冊《因數與倍數》一課時，筆者先讓學生從3、5、6、18、35這五個數中，選擇兩個說說誰是誰的因數，誰是誰的倍數。

師：如果我們把以上各個數所有的因數都寫出來，估計一下，這五個數中哪個數的因數會最多？

生（異口同聲）：35。

師：為什么？

生1：因為這么多數里面35最大。

師：大家都是這么認為的嗎？

生（齊聲）：是。

師：那是不是數越大，這個數的因數個數就越多？肯定嗎？

學生經過列舉統計，發現18的因數個數比35多。

師（小結）：看來并不是這個數越大，其因數就越多啊。

上述教學環節，兒童由原有的相異構想得出了錯誤結論。如果教師不去解決，這個想法還將存在。所以，教師必須為兒童提供暴露相異構想的機會，通過舉例闡釋，讓兒童辨析判斷，消除兒童對數學概念的曲解，進而準確地把握數學概念。

3.引發兒童的“認知沖突”，是糾正迷思概念、相異構想的關鍵

所謂“認知沖突”，就是兒童原有認知結構與新知之間的矛盾。兒童在學習新知時，總是試圖用原有認知圖式來同化“新知”。當遇到不能解釋的新知時，就會引發認知沖突。教學中教師要設法給兒童一個“震顫”，動搖兒童迷思概念、相異構想的信念基礎，并引領兒童反思，組織兒童討論、爭辯，最終揭露兒童迷思概念、相異構想的不合理性。

教學國標蘇教版小學數學六年級上冊《長方體和正方體》中“包裝的學問”，兒童憑借生活經驗，都認為不論包裝怎樣的物品（指長方體物體），包裝多少盒，只要是用大面重疊的方法，就是最省包裝紙的，因為重疊的面積越大，需要包裝的面積就越小。筆者引導學生利用生活中的磁帶、牙膏盒、牛奶箱等物品，親自動手擺、量、算、比，之后兒童發現：如果包裝1盒到3盒，一般用大面重疊的方法最省包裝紙；如果包裝4盒或4盒以上，就要分析、比較多種包裝方案，從中選取最省包裝紙的一種方案。因為研究對象不同，最省包裝紙的方案也就不同。如包裝4盒磁帶是重疊6個大面的包裝，最省包裝紙；而包裝4盒牙膏或4箱伊利牛奶，則是重疊4個大面、4個中面，比重疊6個大面更省包裝紙。經過探究性實踐，兒童檢視自己頭腦中原存的相異構想，對“如何拼接長方體而節省包裝材料”有了更為理性的認識。

4.發展兒童的“邏輯思辨力”，是糾正迷思概念、相異構想的保證

兒童邏輯思辨力的良好發展，是糾正迷思概念、相異構想的基礎。首先，要培養兒童對于概念的細微分辨力。對于有微妙差別的數學概念，必須引領兒童分辨，例如“提高了”和“提高到”、“是甲的一倍”和“比甲大一倍”等。其次，教師組織兒童學習時，要有意識地將新知和兒童的迷思概念、相異構想聯系起來進行揭示、比較、批駁，可采用變式，如學習“等腰三角形”，由于受標準圖形的影響，兒童容易把“兩邊相等”這一本質特征誤解為“左右兩邊相等”，這加深了“頂角在上，底角在下”的印象。教學時可以用多媒體將圖形旋轉（不同位置的呈現），將圖形變形（不同形狀的呈現——銳角等腰三角形、直角等腰三角形和鈍角等腰三角形），從而讓學生掌握等腰三角形“兩邊相等”的數學本質。再次，要重視培養兒童思維的嚴密性和全面性，讓兒童不僅能進行“點”式、“線”式思維，而且能進行“面”式、“體”式思維。如教學面積單位要聯系長度單位，教學體積單位要聯系長度單位和面積單位等。再如教學“圓柱的體積”計算，筆者首先讓學生整體感悟，建立一種上位認識：長方體、正方體、圓柱體的體積計算都可以用本質方法——“底面積×高”，然后讓學生從圓柱體的本質方法出發，建構圓柱體體積計算的多元性方法（如，從整體把握局部。這種“整體感悟式”教學策略的運用，可以發展兒童的邏輯思辨力。▲

[1]于國海.相異構想與小學數學教學[J].現代中小學教育,2005(2)：46.

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