圓錐曲線中的一類最值問題

一、問題

（1）已知橢圓■+■=1，（a>b>0），焦點F1，F2，點P（x，y）為橢圓上任意一點，P為何位置時，|PF2|最小。

（2）已知雙曲線■-■=1，（a>0，b>0），焦點F1，F2，點P（x，y）為雙曲線上任意一點，P為何位置時，|PF2|最小。

（3）已知拋物線y2=2px（p>0），焦點F，點P（x，y）為拋物線上任意一點，P為何位置時，|PF2|最小。

解：（1），（2），（3），當P為相應頂點時，|PF1|最小。

證明：（1）由橢圓的第二定義，■=e，當P為A2時，|PF2|最小（A2為橢圓右頂點）。

（2）由雙曲線的第二定義，■=e，當P為A2時，|PF2|最小（A2為雙曲線右頂點）。

（3）由拋物線的定義，|PF|=d，當P為原點時，|PF|最小|。

二、知識延伸

在上述三個問題中，若點M（m，0）為X軸上任意一點，求P位于何位置時，|PM|最小。

證明：（1）|PM|=■，由■+■=1，

得|PM|=■

=■

對稱軸方程x=■，

①當-a<■

②當■≥a，即m≥■，在x=a時，|PM|最小。

③當■≤-a，即m≤-■，在x=-a時，|PM|最小。

（2）|PM|=■，由■-■=1，

得|PM|=■

=■

對稱軸方程x=■，

①當■>a時，即m>■，在x=■時，|PM|最小。

②當0≤■≤a時，即0≤m≤■，在x=a時，|PM|最小。

③當-a≤■<0時，即-■≤m<0，在x=-a時，|PM|最小。

④當■<-a時，即m<-■，在x=■時，|PM|最小。

（3）|PM|=■，由y2=2px，

得|PM|=■

=■

對稱軸方程x=m-p，

①當m-p≤0時，即m≤p，在x=0時，|PM|最小。

②當m-p>0時，即m>p，在x=m-p時，|PM|最小。

三、應用

例1（2012德州模擬）：對拋物線y2=2x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍（ ）

A.[0，1] B.（0，1）C.（-∞，1] D.（-∞，0]

解析：當a≤1=P時，（P為拋物線焦準距），在原點時|PQ|最小，顯然滿足|PQ|≥|a|，故選C。

例2（2011重慶卷）：設圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所圍成的封閉區域（包含邊界）內，則圓C的半徑能取到的最大值為 。

解析：設圓心M（m，0），半徑為r，P（x，y）為拋物線上動點，

則m>1=P（P為拋物線焦準距），

在x=m-1時，即P（m-1，■，|PM|最小，

即圓M與拋物線相切于點P。

r=|PM|=■=3-m（m<3），

m=4-■，r=■-1。

例3：已知橢圓C：■+y2=1（m>1），P是曲線C上的動點，M是曲線C的右頂點，定點A（2，0）。若|PA|的最小值為|MA|，求實數m的取值范圍？

解析：當■≥a，即m≥■，在x=a時，|PM|最小（見上文），所以2≥■，即m2-2m-1≤0，即1

上述幾個結論為圓錐曲線一類最值問題，若能記住并能掌握實質和推導過程，對于我們解決填空題和選擇題還是比較方便的。