在數學中導數思想的應用

摘 要 導數是數學中的重要內容，并且已由解決問題的輔助工具上升為解決問題必不可少的工具。導數題目注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識的交互點上設計試題，所以解決導數問題需要一定的策略。

關鍵詞 數學；導數；思想

一、分類討論思想的應用

解答導數問題時，往往需要按某一標準把問題分成若干部分或情況，分別加以研究逐一解之，從而得到清楚完整的結果，分類要注意分類要科學，既不重復，又不遺漏。導數中需要分類情況很多：如對參數討論、對根的大小關系討論、對極值點與區間的位置討論等等。

例1.已知函數f（x）=x2e-ax（a>0），求函數在[1，2]上的最大值。

分析：通過求導先判斷單調性再求最值。在求最值時，對a的情況要進行討論。

解：f（x）=x2e-ax（a>0），

∴f′（x）=2xe-ax+x2·（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）。

點評：求函數在閉區間上的最值，首先應判斷函數的單調性，一般情況下是先利用導數求出單調區間，分清單調區間與已知區間的關系，本題實質上就是對極值點與區間的相對位置進行討論分別求解。

二、數形結合思想

數形結合思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，即在代數與幾何的結合上尋找解題思路。最常用的是以形助數的解題方法，其實質就是對圖形性質的研究，使要解決的數的問題轉化為形的討論，實現“由一種代數形式轉化為幾何形式”的數學化歸。導數中研究函數的單調性、極值以及恒成立等問題都需要利用數形結合直觀的求解。

點評：本題考查導數的幾何意義、切線方程、定積分求曲線圍成圖形面積的計算等，解決本題的關鍵之一是正確畫出函數的圖象，利用數形結合思想求解，題目有一定的難度。

三、轉化化歸思想

點評：以上兩種解法，法1是從集合關系入手，而法2則轉化為一個恒成立問題，各有優點。