充分利用教材資源，拓展變式教學思路

全日制義務教育《新數學課程標準》指出：“重要的數學概念與思想方法的學習可以遵循逐級遞進、螺旋上升的原則。”與此相應地，人教版第三學段（七～九年級）數學教材對一些重要的內容都采用了分散編排的方式，使學生對所學知識的理解和掌握有一個逐步發展、不斷深化的過程。那么在具體的教學實踐中，如何充分運用教材資源，體現這一原則呢？下面是筆者在教學七年級教材中一個知識點時進行了變式訓練，通過對這個探究問題的兩次再現，既充分地運用了教材資源，又成功地體現了逐級遞進、螺旋上升的原則。

一、試題原型

七年級數學（上）第二章2.4《再探實際問題與一元一次方程》共設計了三個探究活動，結合其中的探究問題我作了如下變式：

用哪種燈省錢？

小明想在兩種燈中選購一種。其中一種是11瓦（即0.011千瓦）的節能燈，售價60元；另一種是60瓦（即0.06千瓦）的白熾燈，售價3元。兩種燈的照明效果一樣，使用壽命也相同（3000小時以上）。節能燈售價高，但是較省電；白熾燈售價低，但是用電多。如果電費是0.5元/（千瓦時），選哪種燈可以節省費用（燈的售價加電費）？

這是一個方案選擇問題，而此時學生的知識狀況是僅學習了一元一次方程及其解法，為了讓學生在目前的狀況下解決這個問題，我在此設計了一系列填空及兩個“討論”問題，引導學生思考。其中選擇方案通過代入特殊值試驗得出，探究活動后可以歸納這個問題的解答如下：

設：照明時間t小時，兩種燈的費用相等，則

白熾燈的費用為（3+0.5€？.06t）元，節能燈的費用為（60+0.5€？.011t）元。

根據題意，列出方程：3+0.5€？.06t=60+0.5€？.011t

解這個方程得：t≈2327

分別在時間小于2327小時和大于2327小時中選取一個特殊值代入兩種燈的費用：

（1）取t=2000

白熾燈的費用為：3+0.5€？.06€？000=63（元）

節能燈的費用為：60+0.5€？.011€？000=71（元）

（2）取t=2500

白熾燈的費用為：3+0.5€？.06€？500=78（元）

節能燈的費用為：60+0.5€？.011€？500=63.75（元）

所以，當照明時間小于2327小時，選白熾燈費用較低；當照明時間等于2327小時，兩種燈的費用相同；當照明時間大于2327小時，選節能燈費用較低。

至此，這個問題已經解決，這里有兩個關鍵：一是建立方程模型；二是用特殊值試驗。但是，由于問題涉及數值大小的比較，如此解答是不嚴密的。嚴格地說，解決這個問題要用到不等式。

二、首次再現，走向嚴密

七年級數學（下）第九章內容是《不等式與不等式組》。在學生學習了不等式的解法后，再現這一問題時機恰到好處。這時學生已學習了不等式的有關知識，基于學生現在的知識水平，探究過程的設計就應體現在如何建立不等式模型上。問題再現后，設計以下問題：

1.設照明時間為t小時，分別寫出兩種燈的費用。

2.當白熾燈的費用小于節能燈的費用時，求t的取值范圍（精確到1小時，下同）；當白熾燈的費用等于節能燈的費用時，求t的取值范圍；當白熾燈的費用大于節能燈的費用時，求t的取值范圍。

3.由以上問題，你能得出怎樣的結論？

通過這幾個問題的引導，學生很容易歸納出這個問題的解答：

設：照明時間t小時時，兩種燈的費用相等，則

白熾燈的費用為 元，節能燈的費用為 元。

由3+0.5€？.06t<60+0.5€？.011t得t<2327

由3+0.5€？.06t=60+0.5€？.011t得t=2327

由3+0.5€？.06t>60+0.5€？.011t得t>2327

所以，當照明時間小于2327小時，選白熾燈費用較低；當照明時間等于2327小時，兩種燈的費用相同；當照明時間大于2327小時，選節能燈費用較低。

這里，利用兩種燈的費用建立不等式模型，從而利用解不等式得出結論，較之用特殊值試驗顯然更具說服力，這種說服力來自于解答的嚴密性。

三、再次再現，體現函數的統領作用

這一問題的再次再現——即第三次呈現，是在八年級上學期。八年級數學（上）第十一章的內容為《一次函數》，這一章的第11.3節“用函數觀點看方程（組）與不等式”，是用函數的觀點對一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組重新進行分析。此時再現這一問題，有利于加強知識間橫向與縱向的聯系，發揮函數對相關內容的統領作用。

再現此問題時，不是原題照搬，而是從函數觀點出發、以建立函數模型和運用函數思想解決問題的角度提出問題。為簡化計算，對數據作了相應處理。題目如下：

小明想在兩種燈具中選購一個。其中一種是節能燈，貼有“220v，10w”的標牌，零售價60元/個；另一種是白熾燈，印有“220v，60w”字樣，零售價2元/個。兩種燈照明效果相同，當地的電價是0.5元/千瓦時。

（1）若照明x（小時）時，節能燈的總費用（含購買費用和照明用電費用，下同）為y1（元）；白熾燈的總費用為y2（元），分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式；

（2）若兩種燈使用壽命相同，請你幫助小明選擇比較合理的購買方案。

此時，這個問題的解答首先要建立一次函數，然后運用一次函數的有關知識得出答案。解答過程如下：

（1）y1=60+0.5€？.01x=60+0.005x

y2=2+0.5€？.06x=2+0.03x

（2）由y12320

由y1=y2即：60+0.005x=2+0.03x得：x=2320

由y1>y2即：60+0.005x>2+0.03x得：x<2320

所以：當照明時間大于2320小時，選節能燈費用較低，應選擇購買節能燈；當照明時間等于2320小時，兩種燈的費用相同，選擇哪種燈均可；當照明時間小于2320小時，選白熾燈費用較低，應選擇購買白熾燈。

教學中，通過對同一個素材的三次變式使用，學生經歷了利用方程思想、不等式思想和函數思想解決同一問題的過程。一方面，使學生體驗了用一次函數可以把前面學習的方程和不等式等數學對象統一起來，體會到函數的重要性，顯示了函數思想的統領作用；另一方面，從方程到不等式，學生體會了從相等關系（問題的特殊性）到不等關系（問題的普遍性）的辯證方法；再由方程和不等式到函數，學生又從常量思維提升為變量思維，在數學思想上產生了質的飛躍；同時也充分地體現了逐級遞進、螺旋上升的新課程理念。

（責任編輯 劉 馨）