關于解析幾何命題方向的幾點思考

近幾年高考解析幾何在主觀題考查中，整體平衡，對直線、圓、圓錐曲線知識考查全面，更注意突出重點，對支撐數學學科知識體系的主干知識，保持著必要的深度，其命題方向更體現多元化、創新性。

一、以有關定元素問題的命題方向

定元素主要以考查定直線、定點居多。所謂定直線、定點，是指它們在某些量的變化下不受影響，始終是確定的。解析幾何的定點、定值問題也是高考常考查的知識，由于解題前不知道定點或定直線，加大了解題的盲目性，也有一定的難度。

解此類問題的一種方法是通過取特殊值、特殊位置等，求得定直線、定點，然后證明它們滿足一般情形；方法二是根據題意建立出相關函數的解析式，通過整理函數使其獲得恒滿足函數關系式且與參數無關的最直接的條件。

例1：已知圓M的方程為x2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B。

（1）若∠APB=60€埃鄖蟮鉖的坐標；

（2）若點P的坐標為（2，1），過點P作直線與圓M交于C，D兩點，當CD=時，求直線CD的方程；

（3）求證：經過A，P，M三點的圓必經過定點，并求出所有定點的坐標。

本題考查內容是圓和直線的位置關系，在第（3）問中這是考查圓過定點的問題，它與直線過定點的解題方法一樣，可以直接求出圓的參數方程，從而獲得與參數有關的方程組，求得圓所過的定點。

二、以轉化劃歸的數學思想入手的命題方向

高考解析幾何的考查中，常常分析問題后，借助轉化與劃歸思想將問題簡單化，尤其是向量思想在解析幾何中的應用是近年來常見的命題方向。這方面需要學生對幾何知識與代數知識之間的關系熟悉掌握。例如要證明兩條直線相交于點A，且與x軸相交于B、C兩點，求證三角形ABC為等腰三角形，其實是轉化為求證KAB+KAC=0。

例2：（04高考重慶）設p>0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px相交與相異的兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心），試證明拋物線頂點在圓H的原周上。

分析：要證點O在圓H上，只要證OA⊥OB，轉化為向量只要證OA€HhOB=0即x1x2+y1y2=0.

例3：已知圓C：x2+（y-3）2=4，一動直線l過點A（-1，0）與圓C相交于點P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N。

（1）求證：當l與m垂直時，l必經過圓心C；

（2）當PQ=2時，求直線的方程；

（3）探索AM€HhAN是否與直線的傾斜角有關，若無關，請求出值；若有關，請說明理由。

分析：要證明AM€HhAN與直線的傾斜角無關，即證明AM€HhAN為定值，本道題可以通過聯立方程求得點M、點N的坐標再運算，但是計算量大；可以利用AM€HhAN=（AC+CM）€HhAN，而CM⊥AN，故只需要轉化為求AC€HhAN為定值，由于點C坐標知道，這樣大大減少了計算量。

三、以生活背景為材料的命題方向

數學的發展源于生活，生活是數學之母，是數學發展的不盡源泉，正因如此，解析幾何的命題方向應該走向生活。解析幾何以應用題出現，學生根據分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，依據數學思想方法轉化為解析幾何中的問題，情感、態度、價值觀就很自然地得到體現。

例4：（2011泉州質檢）如圖所示的矩形OABC是某城鎮的一塊非農業用地，已知圖中的點D在邊OA上，OC=3km，OD=4km，DA=akm，曲線段CD是分別以OD、OC為長、短半軸的一段橢圓弧。當地政府在新城鎮建設中，將圖中陰影部分規劃為居民區，同時規劃過曲線段CD上一點P修建一條筆直的公路EF，分別與OA、BC交于E、F，且∠OEF=45€埃ㄒ蠊凡淮┰驕用袂患撲閌焙雎怨返目磯齲？

（1）試探求a的最小值；

（2）如果在四邊形ABFE用地內再規劃建造一個半徑為1.5km的圓形公園M，為使該規劃得以實現，四邊形OABC的面積至少為多少？

本題考查橢圓與直線的位置關系和圓與直線的位置關系的知識。題目中“公路不穿越居民區”，在幾何中位置關系是橢圓與直線相切，其解題入手點是聯立方程，方程有唯一解；而在第二問“在四邊形ABFE用地內建造圓形公園”則是考查直線與圓相切，解題入手是利用圓的特點轉化為求圓心到直線的距離等于半徑。學生解題時要有生活實際的經驗，不能把矩形OABC認為是固定的，而應該將邊AB看成是可移動的。

（責任編輯 劉 馨）