高考解析幾何方法探究

近幾年來高考解析幾何試題一直穩定在一（或兩）個選擇題，一個填空題，一個解答題上，分值約為30分左右，約占總分值的20%左右。考查的知識點較多，其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線中的基礎知識，大多概念性較強，小巧靈活，思維多于計算，難度不大；而解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點及其綜合運用，重在考查直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡方程，以向量為載體，立意新穎，要求學生綜合運用所學代數、三角、幾何的知識分析問題、解決問題，難度較大。但倘若我們好好研究，可以看到解析幾何看似變化很大，其實通過轉化，每年考查的還是那些常考題型，只要我們能把這些常考題型解題方法弄清，做到融會貫通，那將“兵來將擋，水來土掩”，給高考增加很大信心。

題型一：焦點弦問題

涉及橢圓或雙曲線上一點P與兩個焦點F1、F2之間的距離，就往往可從焦點弦問題考慮，即：設出|PF1|、|PF2|，結合橢圓或雙曲線的第一定義，再用正、余弦定理、平幾知識等；對于拋物線則可以結合焦半徑公式處理。

典型例題 2011遼寧文（14）在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心為原點，焦點F1、F2在x軸上，離心率為。過F1的直線L交C于A，B兩點，且VABF2的周長為16，那么C的方程為 。

題型二：中點弦問題

具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為（x1，y1），（x2，y2），代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式，消去四個參數處理；也可以設出直線方程，再與圓錐曲線聯立，轉化為關于x或y的一元二次方程，利用韋達定理即可。

典型例題：給定橢圓x2+=1，過點A（，1）的直線與橢圓交于兩點p1及p2，求線段p1p2的中點P的軌跡方程。

題型三：直線與圓錐曲線位置關系問題

直線與圓錐曲線位置關系問題是每年必考題，它經常在解答題中出現，并經常還會考查其它內容，題型較為綜合，題目靈活，難度大。基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式，對于雙曲線與拋物線，應特別注意數形結合的辦法，并考慮特殊情況。

典型例題 拋物線方程y2=p（x+1）（p>0），直線x+y=t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。

求證：直線與拋物線總有兩個不同交點。

題型四：圓錐曲線的有關最值（范圍）問題

求最值（范圍）方法多樣，如何選擇方法成為了學生做題的一個難點，也直接影響了學生的解題速度，下列就常見方法進行探究。

（1）化為二次函數，求二次函數的最值：依據條件求出用一個參數表示的二次函數解析式，然后用配方法求出限制條件下函數的最值。

（2）利用圓錐曲線性質求最值：有些問題先利用圓錐曲線的定義或性質給出關系式，再利用幾何或代數方法求最值，可使題目中的數量關系更直觀，解題方法更簡潔。

（3）化為一元二次方程，利用判別式求最值：如果能把圓錐曲線的最值問題轉化為含有一個未知量的一元二次方程，利用解得要求未知量的范圍，然后確定其最值。

（4）利用不等式求最值：列出最值滿足的關系式，利用平均值不等式中等號成立的條件求最值。

（5）利用函數的性質求最值：有些圓錐曲線的最值問題，可以先轉化成函數問題，然后利用函數的單調性、有界性等性質求最值。

（6）利用平面幾何的有關知識求最值：有些圓錐曲線求最值問題可以轉化為平面幾何問題，借助一些平面幾何知識求最值。

典型例題 2011高考（19）已知橢圓G：+y2=1，過點（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A，B兩點。

（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率。（2）將|AB|表示為m的函數，并求|AB|的最大值。

題型五：求曲線的方程問題

1.曲線的形狀已知——這類問題一般可把圓錐曲線的方程設出來，再根據已知條件求出圓錐曲線方程中的參數，即應用待定系數法解決。

2.曲線的形狀未知——求軌跡方程

（1）定義法：如果動點的軌跡符合某種曲線的定義，這時只需判斷軌跡的形狀，然后根據條件求出曲線的方程。

（2）直接法：直接建立動點所滿足的關系式，然后通過化簡方程得到結論。

（3）間接法：分為相關點法，參數法，交軌法等。

2011高考題（21）設€%d>0，點A的坐標為（1，1），點B在拋物線y=x2上運動，點Q滿足BQ=€%dQA，經過Q點與Mx軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足QM=€%dMP，求點P的軌跡方程。

題型六：兩點關于直線對稱問題

在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內；也可以利用韋達定理并結合判別式來解決。

典型例題 已知橢圓C的方程+=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱。

在教學中，學生還普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠巧用定義、活用平幾知識、充分利用韋達定理及“設而不求”的策略、利用整體思想，弦長公式，圖形的特殊位置關系，數形結合，消元法，向量等策略，往往能夠減少計算量，當然，解析幾何中所涉及的題型是千變萬化的，若想真正解好解析幾何題，單單知道這些解題方法是不夠的，還需要學生在學習中提高自己的各方面能力，多思考、多探究、多解題。

（責任編輯 曾 卉）