線性規劃在經濟管理中的應用研究

【摘要】線性規劃是運籌學中發展較快，方法較成熟的一個重要分支，已經被廣泛的應用于工業、 農業、 交通運輸、 商業、 國防、 郵電及經濟管理等領域，幫助決策人員科學地制定方針和決策。本文主要闡述了線性規劃的原理以及計算方法，并通過若干實際案例來說明如何應用線性規劃來解決經濟管理中所遇到的問題。

【關鍵詞】線性規劃 經濟管理

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0251-03

線性規劃是運籌學中發展最成熟，應用最廣泛的一個重要分支。在1951年，美國經濟學家庫普曼斯首次將線性規劃應用于經濟領域，并以此與康托羅維奇一起獲得了1957年的諾貝爾經濟學獎[1]。從此，線性規劃便被廣泛的應用于經濟領域，為人類進行經濟管理和分析決策提供科學依據。

1.線性規劃簡介

1.1線性規劃的基本思想

線性規劃的主要研究內容是求解線性目標函數在一定約束條件下的極值問題。而在經濟管理領域，許多實際問題都能夠轉化為線性規劃問題，求解線性規劃問題的最優解就是得到這些實際問題的解，也就是指導經濟生活的最佳方案。實際問題轉化為線性規劃問題的首要步驟就是建立線性規劃數學模型。求解數學模型的過程即為解決實際問題得到最佳方案的過程。數學模型建立的一般步驟為：第一，列出約束條件及目標函數；第二，畫出約束條件所表示的可行域；第三，在可行域內求目標函數的最優解及最優值[2]。線性規劃問題的滿足線性約束條件的解叫作可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標函數是線性規劃問題的三要素。其中決策變量對應實際問題中出現的未知因素。約束條件對應實際問題中的限制因素，而目標函數即為實際問題的數學表達形式。

1.2線性規劃的發展概況

早在1823年，法國數學家傅里葉便提出了線性規劃的概念，然而并未足夠的引起重視。1911年，另一個法國數學家瓦萊有一次獨立的提出了線性規劃的想法，依然沒有引起關注。直到1947年的夏天，美國數學家G.B.丹齊克提出了單純形法從而為線性規劃奠定了基礎。

50年代后線性規劃取得了較大的進展，許多學者對其進行了大量的理論研究，并涌現出一大批新計算方法。例如，1954年C.萊姆基提出了對偶單純形法，同年S.加斯和T.薩迪等人解決了線性規劃的靈敏度分析和參數規劃問題，1956年A.塔克提出互補松弛定理，1960年G.B.丹齊克和P.沃爾夫提出分解算法等。線性規劃的研究成果還直接推動了其他數學規劃問題包括整數規劃、隨機規劃和非線性規劃的算法研究。由于數字電子計算機的發展，出現了許多線性規劃軟件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解幾千個變量的線性規劃問題。隨著線性規劃算法以及電子計算機的出現，線性規劃的應用領域隨著逐步擴大。

2.線性規劃的數學模型建立和求解方法

2.1 線性規劃的數學模型

線性規劃的數學模型分為一般形式和標準形式兩種，其一般形式表示如下：

由于在實際應用過程當中，實際問題的復雜化，多樣化都會導致建立數學模型時約束條件以及目標函數在內容和形式上的巨大差異，為了方便討論以及規范計算方法，可以將一般形式轉化為標準形式，轉化過程必須掌握三個原則：目標最值化，約束等式化以及變量非負化[3]。轉化之后的標準表示形式如下：

其中算是（1）、（4）、（7）均為目標函數，而（2）、（3）、（4）、（6）、（8）為約束條件。

2.2 線性規劃的求解方法

線性規劃問題的求解方法多種多樣，早在1947年，美國數學家G. B. Dantzig便提出了求解線性規劃問題的單純形方法，而這種方法也日益成熟，成為求解線性規劃問題的通用方法。單純形法的理論根據是：線性規劃問題的可行域是 n維向量空間 Rn中的多面凸集， 其最優值如果存在必在該凸集的某頂點處達到。頂點所對應的可行解稱為基本可行解[4-6]。其主要思想是先找到一個初始基本可行解，鑒別此初始基本可行解是否為最優解，如不是，則從此初始基本可行解出發，經過一定的轉化法則求得一個使目標函數值有所改善的基本可行解，再進行鑒別，如仍不是最優解，繼續進行轉化和鑒別，通過不斷改進基本可行解，力圖得到最優基本可行解；由于基本可行解的個數有限，經過有限次轉換必能得到一個最優解。然而單純形法有一個弱點，那就是它們首先要找出一組基本可行解，再從這個基本可行解出發求改進的基本可行解，目前較常見的求初始基本可行解的方法有兩種，一種是兩階段法；另外一種是大M法[7]。

除卻單純形算法，另外一種方法也得到了廣泛的應用，即Karmarkar算法。Karmarkar算法是由印度科學家Karmarkar于1984年提出，一經提出便引起了轟動。Karmarkar算法極大的提高了線性規劃的求解時間，因此也被稱為多項式時間算法。Karmarkar算法與單純形算法的不同之處在于，兩者的出發點不同，單純形從邊界出發，而Karmarkar算法從內部出發，并永不從邊界走。

3.線性規劃在經濟管理中的應用案例

在經濟管理中時常會遇到譬如如何獲得最大產出率或者利潤率的問題。如何解決這些問題都是在線性規劃研發的范疇內。

3.1 最大利潤問題

先假設某工廠需要在計劃期內生產三種產品x1， x2， x3。這三種產品都分別需要使用四臺設備進行加工，四臺設備分別以A， B， C， D表示。 根據生產工藝，產品 x1、x2、x3各需要使用四臺設備的加工臺時數見下表（表1）。已知各設備在計劃期內有效臺時數分別是16 ， 14 ， 20 ， 16。（一臺設備工作一小時稱為一臺時），該工廠每生產一件x1產品可得利潤 2萬元，而每生產一件x2產品可得利潤 3萬元，每生產一件x3產品可獲得利潤1萬元。問題是工場如何安排生產計劃， 才能獲得最大的利潤？

表1 三種產品所需要的臺時數

第一步，建立模型。

第二步，將其化為線性規劃的標準形。

引入松弛變量：

x4—設備A的閑置臺時數

x5—設備B的閑置臺時數

x6—設備C的閑置臺時數

x7—設備D的閑置臺時數

標準型表示式為：

3.2 投資收益率最大問題

假設某人利用10萬元現金進行投資，并具有以下3種投資項目：

項目A：從第一年到第四年每年年初需要投資， 并于次年末回收本利 110 % ；

項目B：第三年年初需要投資， 到第五年末回收本利 125 %， 但規定最大投資額不超過 5萬元；

項目C：五年內每年初可買公債，于當年末歸還，并加利息7%。問如何確定這些項目每年的投資額， 使得此人第五年末擁有的資金本利總額最大？

第一步，可根據投資情況建立投資份額表，如下表（表2）：

表2 投資份額表

上表中xia，xib，xic（i=1，2，3，4，5）分別代表第i年年初向項目A，B，C項目投入的投資額。

第二步：確定目標函數，在此例中如何獲得最大的本利總額，設Z為最大的本利總額。目標函數應該是三項投資在第五年末回收的本利之和。

第三步：確定函數的約束條件。在此例中，要想獲得最大的收益，必須在每年年初就將手頭全部資金投出去，這是原則一。每年年底收獲的本息總額即為第二年年初的投資總額，這為原則二。根據這兩個原則，可以確定如下關系式：

第五步，求解此模型。根據單純形法的迭代運算（具體步驟此處省略）求得最佳的投資方案如下：

第一年： x1a =30000元， x1c =70000元

第二年： x2a =2249元， x2c =5000元

第三年： x3a = 0元， x3b = 50000元， x2c = 0

第四年： x4a = 45000元， x4c = 0

第五年： x5c = 0

到第五年末期擁有總金額為 126250元， 即盈利 26.25 %。

3.3 成本最小化問題

先假設某公司要對其生產的某產品進行電視廣告宣傳。廣告的受眾群體是婦女和兒童。電視廣告的收費根據時段的不同而不同。上午時段，播放一次廣告節目的收費為1000元，中午時段，播放一次廣告節目的收費為1300元，晚上時段，播放一次廣告節目的收費為5000元。而每個時段，受眾全體的收看人次也不一樣。先假設上午時段，每次廣告節目總共有500位婦女和500位兒童觀看；中午時段則有1000位婦女和1500位兒童觀看；晚上時段則有8000位婦女和6000位兒童觀看。該公司要求每天至少有90000位婦女和75000位兒童能觀看到此廣告節目。問如何安排廣告節目的播出時間以達到此要求又能最節省廣告成本。

根據以上描述，首先確定決策變量為x1，x2，x3分別為上午，中午，晚上播放廣告節目的次數。可確定總觀看人數表（表3）：

表 3 每時段觀看廣告人數

第一步，確定目標函數，此例中目標函數為最小的廣告成本，設廣告總成本為Z，則

minZ=1000x1+1300x2+5000x3

第二步，確定約束條件為：

500x1+1000x2+8000x3≥90000500x1+1500x2+6000x3≥75000x1，x2，x3≥0

第三步，運用單純形法計算得到最優解為：x1=1，x2=10，x3=10，minZ=64000元。也就是說上午時段播一次，中午時段播10次，晚上時段播10次既能滿足受眾群的觀看要求，也使得播放成本最低。

4.結論

線性規劃通過建立數學模型，描述在經濟管理工作中所遇到的各種實際問題，求解其最優解或最佳方案，指導企業，政府機構，銀行部門等進行整體統籌規劃，力求使用最少的人力物力資源達到最大的經濟效益；或在一定的人力物力資源約束條件下，進行合理的統籌規劃以達到獲得最大的利益。運用線性規劃方法能夠使得企業的決策具有科學性和可靠性，能夠使得企業積極的適應激烈的市場競爭，進行合理的資源配置，制定科學的生產計劃和投資計劃，從而提高企業的效率獲得最大的經濟效益。線性規劃將管理和科學完美的結合在一起，將在管理領域具有廣泛的發展和應用空間。

參考文獻：

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