數形結合在高中數學中的應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0163-02

恩格斯說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。”數形結合貫穿于整個數學發展中，抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，找出解題之路。下面本人就高中一些常見題型來淺談數形結合的應用：

1.利用數形結合解決集合問題

對一些比較抽象的集合問題，在解題時若借助韋恩圖或用數軸、圖象等數形結合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準確地獲解。請先看看下面的例題：

例1 某校校運會有跳繩18人，跳高17人，10人跳遠，參加跳繩和跳高的有12人，跳繩和跳遠的有6人，跳高和跳遠的有5人，同時參加三個項目的有2人，請問參賽的共有多少人？

我們用一個簡單的韋恩圖來看看：

按照數字填表，圖像就可以很清晰地把答案告訴你。希望在完成這個題后大家能享受到數形結合帶來的一絲甜意。

2.函數中的數形結合

函數，是貫穿整個高中的一個重要章節，而函數的圖象和解析式是函數關系的主要表現形式，在解題時經常要相互轉化。如果在解決函數問題，尤其是較為繁瑣的（如分類討論、求參數的范圍等）問題時能充分發揮圖象的直觀作用，就事半功倍。

例2 設函數 若 f（x）=（■）1+x，x≤0x■，x>0， f（x0）>1，則x0的取值范圍是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞ ）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

利用函數的單調性，畫出函數的大概模型，請看下圖1，它是求函數的y值大于1所對應的x值范圍，就是在直線上面的圖像就是所求的部分，那么只要圖像交點所對應x值求出，問題就迎刃而解。

圖1

3.利用數形結合解決數列問題

一般來說，數列是一個對數規律進行研究的章節，然而我們也同樣可以給數列賦予幾何的意義，這樣在處理一些數據問題時是較為清晰的。一般數列可看成以n為自變量的函數，如等差數列可看成自然數n的“一次函數”函數都會有它對應的圖像，從這個角度來看，我們無形中就給數列賦予了相應的幾何意義。

例3 若數列{an}為等差數列，ap=q，aq=p，求ap+q。（如圖2）

現在我們來給數列賦予圖像，題目已明確這是等差數列，根據等差數列中，an關于n的圖象是一條直線上均勻排開的一群孤立的點，這個問題變成求解一次函數的坐標問題了。

4.不等式與解析幾何中的數形結合

高中里不等式的章節在解析幾何中，借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐的特點，可從圖形上尋求解題思路，啟發思維，難題巧解。

例4 如果實數x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么y∕x的最大值是（ ）。

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

圖3

等式（x-2）2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r=■為半徑的圓（如圖5）。而■=■則表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率。如此一來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以■為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值。答案即可“浮出水面”。

5.求極值問題中的數形結合

許多代數極值問題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數形結合中找出問題的邏輯關系，啟發思維，難題巧解。

例5 直線y=a與函數f（x）=x3-3x的圖象有相異的三個公共點，則a的取值范圍為（ ）。

A.（-2，1） B.（-1，2） C.（-2，2） D.[-2，2]

函數f（x）=x3-3x的導數為f '（x）=3x2-3。令f '（x）≥0，解得x≥1或x≤-1；令f '（x）≤0，解得-1≤x≤1；則函數f （x）在（1，+∞）上單調遞增，在（-∞，-1）上單調遞增。在（-1，1）上單調遞減。由此畫出f （x）的草圖（圖4）。這樣我們又回到解決交點問題了。

6.數形結合在復數中的應用

復數的幾何意義包括兩方面內容：一是與復平面上的點一一對應，二是與復平面上從原點出發的向量一一對應，這使得復數可以從解析幾何的角度來審視，可借助數與形的互化來解題。

例8 已知z∈C，且|z|≤■，求|z+1|的取值范圍。

利用復數在復平面上所對應的圖形及其幾何意義解決此類問題。|z|≤■在復平面上對應的圖形為以原點為圓心，以■為半徑的圓周及圓內部，|z+1|表示在復平面上z對應的點與-1對應點間的距離。由圖5，|z+1|最大值為|AC|=32，|z+1|最小值為|AB|=■。故|z+1|∈[■，■]。

結束語

應用數形結合解題時要注意以下兩點：一、注意數與形轉化的等價性，將復雜的問題轉化成簡單、熟知的數學問題，轉化前后的問題應是等價的；二、注意利用“數”的精確性和“形”的全面性。上面的例子只是個例，學生要真正掌握數形結合思想的精髓，必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧。教師在平日的教學中，要緊緊抓住數形轉化的策略，溝通知識聯系，激發學生學習興趣，提高學生的思維能力。只有這樣，學生運用數形結合的能力才會不斷深化提高。