一道高考題的探究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0161-02

每年的高考題都是命題人嘔心瀝血的精心之作，對來年的高考具有一定的指導與示范作用。對高考題的解題方法以及推廣出的一般結論的研究，可以讓學生了解考題的側重點以及命題思路，以便學生在來年的高考中取得更加優異的成績。下面筆者結合剛剛結束的2013年江蘇高考19題進行探究，望同行批評指正。

一、試題呈現：

設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和，記bn=■，n∈N*，其中c為實數。

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk。

（2）若[bn]是等差數列，證明：c=0。

二、探究過程：

1.解法探究

本題主要考察等差、等比數列的定義、通項、求和等基礎知識，考察分析轉化能力及推理論證能力。下面對其解法作簡要探究：

（1）an=a+（n-1）d（d≠0），Sn=na+■d

c=0時， bn=■ ∴b1，b2，b4成等比，∴b1b4=b22

∴d=2a，∴Sn=n2a，Snk=n2k2a，n2Sk=n2k2a

∴Snk=n2Sk

（2）解法一（基本量法）

由已知bn=■=■

∵bn是等差數列

∴設bn=kn+b（k，b為常數）

∴有（2k-d）n3+（2b+d-2a）n2+2ckn+2bc=0對任意n∈N+恒成立

∴2k-d=02b+d-2a=02ck=02bc=0 ∵d≠0， ∴k≠0∴c=0 此時 k=■b=■

命題得證。

評析：這種解法主要運用等差數列的通項公式為一次函數的性質，直接設一次通項公式，代入化簡得到關于n的恒等式，再用待定系數法求解參數c，學生比較難想到。

解法二（特殊值法） 因為{bn}是等差數列，所以b1，b2，b3成等差數列，從而2b2=b1+b3，代入bn=■=■，得2■=■+■，整理得■a+■d=（■+■）a+■d，所以■=■+■■=■，解得 c=0。

評析：這種解法學生較容易想到，運用等差數列前三項b1，b2，b3等差中項的性質化簡得到關于a，d的等式，求解參數c。

2.縱向探究

解決了一道高考題，我們就會思索：第（2）題的逆命題是否成立呢？

探究1：設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和，記bn=■，n∈N*，c=0，{bn}是否為等差數列呢？

證：直接運用等差數列的定義證明后項與前項的差為常數即可。

因為bn=■=a+■d，

所以bn+1-bn=■d-■d=■。且■≠0為常數。命題得證。

此時我們驚奇地發現c=0是{bn}是等差數列的充要條件。

靜下心來想想，我們平時的練習中有類似的題目嗎？

舊題回顧：an=4n-3，Sn是其前n項和，若{bn}是等差數列，且bn=■，求常數c。

此題bn=■中與原考題中的bn=■從形式上很相似，分式的分母是一次和二次的情形，c的值是否也與原題相同呢？

解：a1=1，Sn=n（2n-1）則bn=■成等差數列。

因為{bn}是等差數列，所以b1，b2，b3成等差數列，從而2b2=b1+b3，

因為b1=■，b2=■，b3=■，所以■=■+■，從而c=-■或0，經檢驗c=-■或0時，{bn}是等差數列。

變式：等差數列an=2n-1，是其前n項和，若{bn}是等差數列，且bn=■，則常數c為多少呢？

同上面解法，解得c=0， 經檢驗c=0時，{bn}是等差數列。

通過上述兩例我們發現：對于兩個不同的等差數列{an}，滿足題意的c都有相同的解c=0。那么筆者猜想是否對所有的等差數列，即當等差數列的首項a與公差d都在變動時，滿足題意的c是否一定為0呢？我們作如下探究：

探究2：設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和，bn=■，不論a與d取何值，則c=0是{bn}是等差數列的充要條件嗎？

證：充分性同探究1的證明，必要性證明：

因為{bn}是等差數列，所以b1，b2，b3成等差數列，從而2b2=b1+b3，因為Sn=na+■d，所以bn=■。

進而b1=■，b2=■，b3=■，代入2b2=b1+b3

得■=■+■整理得：■a+■d=（■+■）a+■d

所以■=■+■■=■，解得c=0。

至此，我們已經得到當bn與Sn的分式關系中分母為關于n的一次情形時，c=0是{bn}是等差數列的充要條件。

筆者繼續思索，試題背后是否隱藏著一般性的規律？它所體現的性質或結論能否有特殊推廣到一般情形？

探究3：設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和，bn=■，n∈N*，k∈N，不論a與d取何值，c=0是{bn}是等差數列的充要條件嗎？

證：k=1時已證。

易見，充分性同探究1的證明。

下證必要性：類似原試題第（2）小題的證法，因為{bn}是等差數列，所以b1，b2，b3成等差數列，從而2b2=b1+b3，將bn=■代入上式，2■=■+■對任意的a∈R，d≠0恒成立，整理得

■a+■d=（■+■）a+■d，

所以■=■+■（*）■=■（**）， 將（**）代入（*），2■=■+■，

從而有（3k+1-1）c=0對任意的k∈M恒成立，所以c=0。

命題得證。

對于原試題的第（1）小問，我們是否也能推廣到一般情形呢？

探究4：設{an}是首項為a，公差為d的等差數列（d≠0），Sn是其前n項和，bn=■，若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，Snk=n2Sk也成立嗎？

證：c=0時，bn=■，，證明同原試題的證法。

可見，高考題的結論只是一個特例，他只是將一次的情形推廣到了二次，我們已經將二次推廣到一般情形了，這是一個多么完美的結論。

3.橫向探究

我們知道，等差數列和等比數列是兩種相似的數列，相似的結構，往往也有相似的性質、相似的結論。所以我們在研究等比數列時，常將其與等差數列進行類比研究，得到了很多相似的性質，例如：等比中項，求和公式等等。類比推理是一種非常好的研究方法。

如果考題中任意的數列{an}是等比數列，那會有同樣的結論嗎？當然，我們也要嘗試對數列bn與Sn關系進行改變，這里就不一定是分式關系了。

首先，我們嘗試bn與Sn關系與原題相同，且分母是關于n的一次式，從特殊的情形開始研究：

探究1：設{an}是首項為a，公比為q的等比數列（q>0且q≠1），Sn是其前n項和，bn=■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數列的充要條件嗎？

證：因為{an}是等比數列，所以Sn=■。

當c=0時，bn=■=■，則■=■·■，不是常數。

反之，若{bn}是等比數列，則b22=b1·b3，因為bn=■，

代入上式得：■=■，

整理得：（c2+4c+3）（q2+2q+1）=（c2+4c+4）（q2+q+1），對任意的q≠1恒成立，顯然c無解。

從探究1發現c=0是{bn}是等比數列的既不充分也不必要條件。嘗試bn與Sn關系與原題相同，這是失敗的，不能得到我們想要的結論。

那么我們考慮換條件，我們知道等差數列中求和可以類比等比數列中的求積，我們考慮引進Tn=a1a2…an前n項積這個量。

探究2：設{an}是首項為a，公比為q的等比數列（q>0且q≠1），Tn是其前n項積，bn=■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數列的充要條件嗎？

證：Tn=a1a2…an=a（aq）…（aqn-1）=anq■，當c=0時，bn=■=■，■=aqn·■不是常數。反之，若{bn}是等比數列，則b22=b1·b3，證明可同探究1的證明。說明c=0是{bn}是等比數列也是既不充分也不必要條件，這次嘗試也是失敗的。

再進一步考慮，除了求和要改成求積外，等差數列中的乘除類比就相當于等比數列中的次冪運算，基于這樣的類比思路，我們考慮將分母變成開方。

探究3：設{an}是首項為a，公比為q的等比數列（q>0且q≠1），Tn是其前n項積，bn=■=（Tn）■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數列的充要條件嗎？

證：當c=0時，Tn=anq■，bn=■=aq■，所以■=q■為常數，從而{bn}是等比數列。反之，若{bn}是等比數列，bn=■=（Tn）■，Tn=anq■，

從而bn=（anq■）■=a■q■，因為{bn}是等比數列，則b22=b1·b3，代入上式整理得a■q■=a■q■，對任意的a∈R，q≠1恒成立，所以■=■+■■=■，解得c=0。命題得證。

與等差數列相同，等比數列是否也能將特殊性的結論推廣到一般情況呢？

探究4：設{an}是首項為a，公比為q的等比數列（q≠1），Tn是其前n項積，bn=■=（Tn）■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數列的充要條件嗎？

證：當c=0時，bn=■，證明同探究3。

反之，若{bn}是等比數列，則b22=b1·b3，b22=（（T2）■）2=■q■，

b1·b3=（T1）■（T3）■=a■q■對任意的a∈R，q≠1恒成立，所以■=■+■■=■，同等差數列探究3的證明，解得c=0。

至此，筆者已經將等差數列上的一般性結論運用歸納推理推廣到了等比數列，得到更一般性的結論，在探索和證明過程中，我們驚奇地發現證明的方法和內容等差和等比數列有著驚人的相似性，這對于我們研究等差、等比數列，加深對其內在聯系有著深刻的意義。