數學解題錯誤分類例析

【摘要】數學解題錯誤是學生在數學學習過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯誤進行合理分類，從心理上、知識上、邏輯上和策略上等進行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學反饋，以便適時調整教學方案；又可提升學生自我糾錯能力，并獲得有益的心理發展。

【關鍵詞】解題錯誤 認知結構 心理性錯誤

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0156-02

在數學教與學的過程中，我們一直都在面對錯誤，而錯誤其實是一種資源。英國心理學家貝恩布里奇（R. Bainbridge）認為，差錯人皆有之，作為教師不去利用這些差錯是不能原諒的。無獨有偶，錢學森先生也曾對學習中的錯誤給出這樣的認識：正確的結果，是從大量錯誤中得出來的；沒有大量錯誤作臺階，也就登不上最后正確的高座。

對于高中數學教學，數學錯誤分析的意義顯而易見：

1.它是教師檢查教學方案執行情況，及時地調整教學方案的依據。學生數學習題的錯誤往往是教學效果最可靠的反饋，通過分析，教師可據此確定重、難點，使教學的針對性更強，提高教學效能。

2.它有助于發展學生的自我糾錯能力。英國劍橋大學心理學教授巴特利特（F.C. Bartlett）說，測定智力技能的唯一最佳標準可能是檢測并摒棄謬誤的速度。自我糾錯能力是與學生的思維的正確性、嚴密性、完整性和批判性密切相關的。學生只有先成為獨立的學習者，才會是一個互助學習者，從數學習題的錯誤中，意識到自己的思維過程中的缺陷，自覺調整，以達到能靈活運用各種方法和技能進行思維操作。

在數學解題中，學生表現的錯誤是多種多樣的，而數學解題錯誤的終極表現反映在知識上，因此大多數人認為錯誤都可以歸結為知識性的，故此題海戰術依然大行其道。但是從行為科學和腦科學的觀點來看，學生的認知結構包括知識結構和認識結構兩個方面，當學生的認知結構不能同化他所面對的問題，就會發生解題錯誤，這樣的錯誤可能是由于知識盲點而產生的，也有可能是信息提取失敗而造成的。因此數學解題錯誤的原因，除了學生的知識結構不完善以外，更應該考慮到學生的認識結構。

所以，為了有效地利用錯誤，以達到糾正錯誤提升思維能力的目的，必須對各種錯誤進行分析與歸類。錯誤分類問題，其理論意義是其次的，教學實踐上的意義是它的真正價值體現。為了有利于教師設計和選擇克服錯誤的教學方法，我們應該從學生的認知結構方面的原因對解題錯誤進行分類，但必須要看清一點，錯誤的原因往往是交織的，甚至，即使是同一個錯誤，不同的學生要結合個體特點進行具體的分析。在教學實踐中，我們嘗試按心理性錯誤、知識性錯誤、邏輯性錯誤和策略性錯誤等幾類進行具體分析。

本文著重闡述心理性錯誤。

數學教育家弗賴登塔爾曾在第四屆國際數學教育大會上講過一個例子，一個學過分數的12歲女孩，把■約分成■，女孩解釋說：16=2×8，24=3×8所以得到■。這屬于計算中間結果的存儲或再現中的錯誤，是短時記憶的問題，可以通過心算訓練來解決。如果把女孩的錯誤歸于“粗心”是不準確的，也無法達到糾錯的目的。事實上，不論數學習題的復雜性如何，學生在解答的過程中一般都經過問題的識別、記憶、理解、激活背景觀念、選擇調整解題方法等步驟。這說明主體能否順利地解決所接觸的問題，除了依賴原有的知識技能之外，還和本身的心理能力和智力品質分不開。有的數學習題，學生雖然具備解決問題的必要的知識技能，但是由于某種心理障礙，仍然可能產生錯誤，因此分析并確定學生解題錯誤中的心理方面的原因，是提高解題能力的迫切需要。

一、粗心的背后是習慣

對于數學解題錯誤，無論是教師還是學生，“粗心”是使用率最高的評價用語，這不但對糾錯無益，反而會有一種誤導。我們通常所說的“粗心”（審題不仔細、看錯了條件、抄錯了答案、寫錯了小數點……），涉及記憶提取，思維的嚴密與連續，思考與書面的同步性等等，都和多感官的協調有關，筆者在多年的實踐中，總結了從讀題到解后反思的流程，擇要說明如下。

讀題規則：“筆慢指，眼緊跟，口輕讀，腦細想”——所謂“筆慢指”，要求我們在讀題時手握著筆，讓筆尖在正在讀的每個字下劃過。“眼緊跟”，是指筆尖劃到哪里眼睛就看到哪里，確保信息無遺漏。“口輕讀”，是指把筆尖指到的和眼睛看到的輕輕地讀出來。而“腦細想”，就是把指到的、看到的、讀到的這些信息快速分析、篩選、歸納，找到關鍵詞，理解題意，為初步動手解題做好準備。這樣做的原因之一是，同時調動了四個器官參與進來，大腦高度興奮，思維高度集中，利于進入最佳解題狀態。

書寫規則：“格式規范，一題一線，一氣呵成，不用橡皮或膠帶紙”——規范指的是答題格式與步驟的規范把課本或者參考書的例題當作習題來做，然后對比、修正。不用或少用計算器，計算器使用過于頻繁，一方面淡化了對算理的認識，另一方面導致計算能力急劇下降。同時，在運算的過程中，不跳步，少心算。一題一線是指，完成一題后，在下面畫一條橫線以便與下一題清楚地隔離開，排除信息干擾。橡皮或膠帶紙是掩蓋錯誤的工具，對心理和思維發展有害無益，這是日本著名教育學家系川英夫的實驗成果。

在校本研究的過程中，對學生的解題提出上述要求，同時配合波利亞的經典解題四階段說，可以大大降低學生的出錯，實踐證明，所謂“粗心”出錯和學生的解題習慣完全相關。

二、心理能力的不足導致出錯

學生在解答題目過程中需要具備多種心理能力，如識別能力、記憶能力、信息加工能力、想象能力等。如盧仲衡先生曾指出圖形交錯對于感知識別能力較低的學生會產生消極的影響。此外，心理學家通過反復實驗研究發現：大腦在短暫時間里只能存儲、處理7±2個記憶單元（例如5～9個隨機數字、無意義音節等），這種能力稱為工作記憶。高中的學生在心算時屢屢出錯，而筆算時“顧此失彼”等現象都屬于“工作記憶”的缺陷，可以通過專注力（如舒爾特方格）、記憶力的訓練來發展短時記憶能力。

例1. 折疊問題（教材必修二P69練習）如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，生命后的點記為G，則在四面體S-EFG中必有（ ）

A. SG⊥△EFG所在平面

B. SD⊥△EFG所在平面

C. GF⊥△SEF所在平面

D. GD⊥△SEF所在平面

很多學生在解決這個問題的過程中，無法把平面與空間中的不變量對應，從腦科學的角度來看，這是典型的思維功能右腦偏弱，導致心理能力不足，提升的最好辦法是借助于實物、模型，或動手操作折疊過程，逐步實現模型或實物到平面直觀圖的過渡。

例2. 過平面內一點與雙曲線只有一個交點的直線有幾條？

筆者就此題在高二兩個班級內做實驗，課內5分鐘無人給出正確答案，留做思考題第二天課上給出正確答案的只有近35%，部分同學因為忽視圖形的對稱性質而分類層次不清，導致記憶序列困難，造成疏漏。本題的正解如下：

區域①：即含焦點區域內，無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區域③、④：2條切線（過區域③內一點的切線分別切于兩支；而過區域④內一點的兩條切線切于一支），2條與漸近線平行的直線，合計4條；區域⑤：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區域⑥：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線。小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條。

三、停留性錯誤（順序心理與思維定勢）

這也是數學學習與解題過程中的普遍性錯誤。所謂停留性錯誤，就是概念已經發展了，但學生的思維還停留在原來的地方，這種由思維的惰性而產生的錯誤稱為停留性錯誤。比如，初中學過了乘法對加法的分配律，到高中學習對數運算和三角和差展開式時，由于思維定勢，而產生如下錯誤：lga+lgb=lg（a+b）；sin（α+β）=sinα+sinβ（極特殊情況下有成立的可能）；若■·■=■·■，則■=■……這需要教師在學生學習新概念時，要對概念的外延與內涵作出充分解釋，log、sin是對數和正弦運算的符號，它們在內涵上與分配律沒有任何關聯。此外，一定要從反例上進行突破，如lg10+lg100=3=lg1000≠lg110；sin（30o+60o）≠sin30o+sin60o……讓學生在與原有認知的巨大沖突中強化對概念的認識。

此外，信息的存儲過程需要編碼，而編碼則要求信息順序化。例如，學生在學習對數運算的公式log■bn=■logab（a>0，a≠1.b>0）時，即使這個公式的結構很復雜，但因為字母的相對位置存在一種對應關系，這種順序與心理的感覺非常和諧，所以記憶的準確率非常高。而在學習指數運算時把分數指數冪x■化成根式形式，很多同學會寫成x■=■，之所以產生這樣的錯誤，是因為舊知識的固有順序形成了順序心理，正確的解法應該是分數指數的分母變成根指數，分子變成冪指數，剛好是一個逆序的過程，與順序心理形成抗拒，從而出錯。教師可以利用心理學中的“免疫效應”，在要求學生預習或在上課過程中，要重點強調，以達到“免疫”作用。

四、忽視隱含條件

例3. 若實數x，y滿足4x+4y=2x+1+2y+1，則t=2x+2y的取值范圍是____。

這是一道高三的訓練題，所涉及的考點并不復雜，但一個班級有64%的同學是這樣做的：2=■=■=2x+2y-■≥2x+2y-■=■（2x+2y）？圯t≤4，又2x>0，2y>0故t∈（0，4]。有什么問題嗎？事實上，在第三個“-”號處，可知2x+2y=2+■>2，即t>2。或者，原條件可化為t2-2t=2·2x·2y>0？圯t<0（舍），或t>2，所以，正確答案應該是t∈（2，4]。

調查發現，很多學生在解題過程中受局部滿足感的驅使，出現了“想當然”的錯誤，正是這種忽視隱含條件的心理性錯誤，導致學生在解題過程中出錯的例子不勝枚舉。這是觀察、分析能力欠缺的表現，而觀察、分析能力和思維的深刻性緊密相關，引導學生積累典例，并有意在短周期內反復出現同類問題，讓學生養成解后反思的習慣。

五、潛在假設

例4. 由人教必修四P141例4拓展：在半徑為R的60o扇形內，求內接矩形面積S的最大值。

絕大多數同學的解法：如圖3，內接方式是矩形的兩個頂點在扇形的一條半徑上，另兩個頂點分別在扇形的圓弧及另一條半徑上。設∠COA=α？圯∠COB=■-α，∠ODC=■，CF=Rsinα，CD=■=■=■Rsin（■-α），

S=CF·CD=■R2sinα·sin（■-α）=[■sin（2α+■）-■]R2，則當α=■時，Smax=■R2。

事實上，還有不同的內接方法：如圖4，M是弧的中點，OM是內接矩形的對稱軸，設∠COM=α？圯∠COB=■-α，∠ODC=■，CF=2Rsinα，CD=■=■=2Rsin（■-α），

S=CF·CD=4R2sinα·sin（■-α）=[2sin（2α+■）-■]R2，則當α=■時，Smax=（2-■）R2。比較可得，■>2-■，故圖3的內接方式的最大面積大于圖4的。

在沒有說明的情況下，有的同學默認圖3的內接方式，也有的同學默認圖4的內接方式，這都屬于解題心理中的“潛在假設”。美國數學家豪夫斯德脫（D.R. Hofstadter）給潛在假設作過如下定義：潛在假設就是不曾討論過什么事情時，你總是認為正確的那個就是“最簡單的”或“最自然的”或“最有可能的”那個模型。從心理上分析“潛在假設”，是在缺乏對事物作深入、細致、全面的考察的情況下，基于一種不正確的心理勢態的誘導，而作出直覺性的判斷，這種直覺性的判斷是下意識的，或者是存在于潛意識層，一旦題目背景“吻合”，便對直覺深信不疑。

我們再次回到例4的問題上，試問：扇形的內接矩形只會有這兩種嗎？如果你認為只有這兩種，這是不是也算是一種“潛在假設”？

問題聚焦到是否存在矩形，C、F兩點并不關于扇形的對稱軸對稱？我們可以用反證法的思維來思考。事實上，假設這樣的矩形存在（如圖5），即CDEF為矩形，設CF的中點為M，連接OM，則CF⊥OM，DE⊥OM。設點B關于OM的對稱點為B’，連結OB’，交EF于點G，則點G異于點E，由扇形BOB’關于OM軸對稱知，四邊形CDGF為矩形，則DG⊥EF。但矩形CDEF中DE⊥EF，產生矛盾，故CDEF不可能是矩形。

由此可見，“潛在假設”實質上是一種判斷，是在某些數學概念未完全清晰建立起來前自動形成的，是主觀經驗的潛在作用。教師在課堂教學過程中要追求思維的嚴謹性，盡可能減少或避免使用可能在學生的思維中誘發“潛在假設”的用語，這也正是數學教育價值的一種體現。

參考文獻：

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[4]劉銳鋒.《高效學習的密碼》.上海：上海科學普及出版社 2011